学年人教A版选修23疑难规律方法第1章 计算原理学案Word文档下载推荐.docx

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解析　本题数字不大，可用树形图法，结果一目了然．

如下图，易知不同的传球方法种数为10.

答案　10

点评　应用两个计数原理时，如果涉及的问题较抽象，且数量不太多时，可以用树状结构直观体现．

3．列表法

例3　四个人各写一张贺年卡，放在一起，然后每个人取一张不是自己写的贺年卡，共有多少种不同的取法？

解　把四个人分别编号①、②、③、④，他们写的4张贺年卡的各种方法全部列举出，如下表

四个人

取贺年卡的方法

①

2

3

4

②

1

③

④

方法编号

5

6

7

8

9

由表格可知，共有9种不同的方法．

点评　本题是一个错排问题，难以直接运用两个计数原理计算．借助表格，把各种情况一一列出，使问题直观解决．

4．直接法

例4　已知某容器中，H有3种同位素，Cl有2种同位素，Na有3种同位素，O有4种同位素，请问共可组成多少种HCl分子和NaOH分子？

解　因为HCl分子由两个原子构成，所以分两步完成第1步，选择氢原子，共有3种；

第2步，选择氯原子，共有2种．由分步计数原理得共有6种HCl分子．

同理，对于NaOH而言，分三步完成第1步，选择钠原子，有3种选法；

第2步，选择氧原子，有4种选法；

第3步，选择氢原子，有3种选法．由分步计数原理知，共有NaOH分子种数为3×

4×

3＝36（种）．

点评　当问题情景中的规律明显，已符合分类计数原理或分步计数原理中的某一类型时，可直接应用公式计算结果，但此法的关键是分清是“分类”还是“分步”问题.

2　排列、组合的破解之术

排列、组合，说它难吧，其实挺简单的，就是分析事件的逻辑步骤，然后计算就可．说简单吧，排列、组合却是同学们（包括很多学习很好的同学）最没把握的事情，同样难度的几道题，做顺了，三下五除二，几分钟内解决问题；

做不顺，则如一团乱麻，很长时间也理不顺思路．下面就谈谈破解常见排列、组合模型的常用方法！

1．特殊元素——优先法

对于有特殊要求的元素的排列、组合问题，一般应对有特殊要求的元素优先考虑．

例1　将数字1,2,3,4,5,6排成一列，记第i个数为ai（i＝1,2，…，6），若a1≠1，a3≠3，a5≠5，a1<

a3<

a5，则不同的排列方法有________种．

解析　由题意，a1≠1，a3≠3，a5≠5，a1<

a5.第一步，可以先排a1，a3，a5，只有5种方法；

第二步，再排a2，a4，a6，有A种方法．由分步计数原理得，不同的排列方法有5A＝30（种）．

答案　30

2．相邻问题——捆绑法

把相邻的若干个特殊元素“捆绑”为一个大元素，然后再与其余“普通元素”全排列，最后再“松绑”，将特殊元素在这些位置上全排列．

例2　记者要为5名志愿者和他们帮助的2位老人拍照，要求排成一排，2位老人相邻但不排在两端，不同的排法共有________种．

解析　先将两位老人排在一起有A种排法，再将5名志愿者排在一起有A种排法，最后将两位老人插入5名志愿者间的4个空位中有C种插入方法，由分步计数原理可得，不同的排法有A·

A·

C＝960（种）．

答案　960

3．不相邻问题——插空法

某些元素不能相邻或某些元素要在某个特殊位置时可采用插空法，即先安排好没有限制条件的元素，然后再把有限制条件的元素按要求插入排好的元素之间．

例3　高三

（一）班需要安排毕业晚会的4个音乐节目，2个舞蹈节目和1个曲艺节目的演出顺序，要求两个舞蹈节目不连排，则不同排法的种数是________．

解析　先排4个音乐节目和1个曲艺节目有A种方法，这5个节目之间以及两端共有6个空位，从中选两个放入舞蹈节目，共有A种放法．所以两个舞蹈节目不连排的排法共有A·

A＝3600（种）．

答案　3600

4．至多至少问题——间接法

对于某些排列、组合问题的正面情况较复杂而其反面情况较简单，可先考虑无限制条件的排列，再减去其反面情况的种数．

例4　从班委会5名成员中选出3名，分别担任班级学习委员、文娱委员与体育委员，其中甲、乙二人不能担任文娱委员，则不同的选法共有________种．

解析　从班委会5名成员中选出3名，分别担任班级学习委员、文娱委员与体育委员共有A种选法，其中甲、乙中有一人担任文娱委员的选法有CA种，故共有A－CA＝36（种）选法．

答案　36

5．多类元素组合——分类取出

当题目中元素较多，取出的情况也有多种时，可按结果要求，分成不相容的几类情况分别计算，最后总计．

例5　如图，用6种不同的颜色给图中的4个格子涂色，每个格子涂一种颜色，要求最多使用3种颜色且相邻的两个格子颜色不同，则不同的涂色方法共有______种．

解析　如果用两种颜色，则有C种颜色可以选择，涂法有2种．如果用3种颜色涂色，有C种颜色可以选择，涂法有C·

C（C＋1）＝18（种）．

所以，不同涂色种数为C·

2＋C·

18＝390（种）．

答案　390

6．排列、组合混合——先选后排

对于排列与组合的混合问题，宜先用组合选取元素，再进行排列．

例6　某校安排5个班到4个工厂进行社会实践，每个班去一个工厂，每个工厂至少安排一个班，不同的安排方法共有________种．

解析　首先把5个班分成4组，即2,1,1,1，有种方法．然后把4组分配到4个工厂，每个工厂安排一组有A种方法．由分步计数原理可得不同的安排方法有·

A＝240（种）．

答案　240

3　排列、组合中的“分组”与“分配”辨析

分组分配问题在排列组合问题中占有很重要的位置，并且分组分配问题比较复杂，也是大家学习中的一个难点，下面通过实例剖析各种各样的分组分配问题．

1．互异元素的“均匀分组”

例1　6本不同的书，分成三份，每份2本，共有多少种不同的分法？

解　因为平均分组与顺序无关，在C·

C·

C＝90种分法中，每一种分法重复出现了A次，只能算作一次．如将6本书a，b，c，d，e，f分成ab，cd，ef三组是一种分法，而解答中考虑它们之间的顺序有A种分法，具体如下表.

步骤

第一组

第二组

第三组

分法1

ab

cd

ef

分法2

分法3

分法4

分法5

分法6

以上的分法，实际上加入了组的顺序性，但像分法1,2,3,4,5,6，实际上是同一种分法，所以要除以A消除顺序，故共有＝15种分法．

2．互异元素的“均匀分配”

例2　6本不同的书，分给甲、乙、丙三人，每人2本，共有多少种不同的分法？

解　由例1可知，将6本不同的书均匀分成3组，共有种分法，然后将3组书再分配给甲、乙、丙三人，与顺序有关，所以共有·

A＝CCC＝90种分法．

也可这么理解先取2本给甲有C种方法，再取2本给乙有C种方法，余下2本给丙有C种方法，取的过程实际已经将书进行了分配，故共有C·

C＝90种分法．

3．互异元素的“非均匀分组”

例3　6本不同的书，分成三份，一份3本，一份2本，一份1本，共有多少种不同的分法？

解　先取1本作一堆有C种方法，再取2本作一堆有C种方法，余下3本作一堆有C种方法，由于每组的数目不同，所以不会出现重复的分法，故共有C·

C＝60（种）分法．

4．互异元素的“非均匀分配”

例4　6本不同的书，分给甲、乙、丙三人，一人3本，一人2本，一人1本，共有多少种不同的分法？

解　先分组，再分配，甲、乙、丙三人得到的书不同（数目不同或数目相同但书不同）应视作是不同的分配方法，所以与顺序有关．即首先，不平均分成三堆有C·

C种方法，然后再分给甲、乙、丙三人有A种方法，共有C·

A＝360（种）分法．

5．互异元素的“部分平均分组”

例5　6本不同的书，分成三份，有两份各1本，另一份4本，共有多少种不同的分法？

解　三组中有两组是平均分组，这两组是无序的，应对这两组消序．故共有＝15种分法．

以上五类问题是十分典型的“分组分配”问题，它的每一个小题都是一种类型，我们要认真领会．计数时常有下面的结论“无对象的均匀分配”问题，只需按“有对象的均匀分配”问题列式后，再除以组数的全排列数，对于“无对象的非均匀分配”与“有对象的非均匀分配”问题，前者只需分步完成，后者先分组，后排列．

4　“隔板法”在计数问题中的妙用

“隔板法”在计数问题中有其特殊的适用背景，并且“隔板法”往往会使很复杂的问题得到巧妙的解决．下面剖析一下隔板法适用条件，并选择几个实例加以说明．

1．隔板法的适用条件

排列组合中的相同小球放进不同的盒子、名额分配或相同物品的分配等问题，是排列组合中的难点问题，这类问题的基本模型是将n个相同元素分组到m个不同对象中（n≥m），每个对象至少有一个元素．这类问题必须满足三个条件①小球必须相同；

②盒子必须不同；

③每个盒子至少有一个小球．当满足这三个条件时，我们可以采用隔板法．

2．隔板法的实际应用

应用1　20个相同的小球放入编号为1号、2号、3号的三个盒子里，要求每个盒子都不空，问有多少种放法？

解　如下图，用“0”表示小球，

00000000000000000000

在上图中，在0与0之间的19个空档中插入2块隔板即可将小球分成3组，同时能够保证每组中至少有一个小球，所以一共有C＝171种放法．

点评　解决此类问题的关键是，看题目情景是否满足隔板法的条件，若满足，则直接套用公式即可．

应用2　方程x1＋x2＋x3＋x4＝20的正整数解有多少个？

解　该问题转化为将方程左边的x1、x2、x3、x4看成是4个盒子得到的小球数，右边的20看成是20个相同的小球．这样就相当于20个相同的小球放入4个盒子里，要求每个盒子至少有一个小球，共有多少种不同的分配方法？

这样，类似应用1可知，所以共有C＝969种．

点评　不定方程x1＋x2＋x3＋…＋xm＝n（n，m∈N*，n≥m）的正整数解个数问题可以转化为“将n个相同元素分给m个不同对象（n≥m），每个对象至少有一个元素”的模型，进而采用隔板法求解．

整体概括通过对隔板法的应用，可得下列结论．

结论1把n个相同的元素分成m组分配给m个人，每组不允许落空，则可将n个元素排成一排，