第2单元 第7讲 一元二次方程及其应用解析版Word格式文档下载.docx

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填空题

4

一元二次方程

判断根与系数的关系

3.3%

2011

8

选择题

3

列二次方程

2.5%

2012

利用根与系数的关系解题

2013

二次方程简单求解

本部分近几年涉及到的问题基本都是由事实问题中抽象出一元二次方程等有关概念的过程，引导学生体会到通过一元二次方程也是刻画现实世界中的数量关系的一个有效数学模型；

从而在把握用配方法、公式法、分解因式法解一元一次方程的过程，体会到转化等数学思想；

预测2014年本部分内容考察结合实际情况列出一个二次方程，并注意判断根与系数的关系。

2、一元二次方程的具体应用：

一元二次方程的应用

利用根与系数的关系求值

结合实际情景列一元二次方程

17

结合实际列方程解答

22

解答题

5

4.5%

本部分主要是近几年的中考命题发生了明显的变化，既强调了由知识层面向能力层面的转化，又强调了基础知识与能力并重。

注重在知识的交汇处设计命题，对学生能力的考查也提出了较高的要求。

预测2014年本部分内容会结合一元二次方程的实际运用加强对学生观察力、类比能力及其联想能力等数学思维方法的考查，同时会对学生探究创新能力的考查。

三、知识梳理

知识点一：

一元二次方程的概念

　在整式方程中，只含有一个未知数，并且含未知数项的最高次数是2，这样的整式方程叫一元二次方程，一元二次方程的标准形式是ax2＋bx＋c＝0（a≠0）．

知识点二：

一元二次方程的常用解法

1．直接开平方法：

如果x2＝a（a≥0），则x＝±

，即x1＝，x2＝－.

2．配方法

如果x2＋px＋q＝0且p2－4q≥0，则2＝－q＋2.

x1＝－＋，x2＝－－.

3．公式法：

若ax2＋bx＋c＝0（a≠0）且b2－4ac≥0，则x1,2＝.

4．因式分解法

若ax2＋bx＋c＝（ex＋f）（mx＋n），则ax2＋bx＋c＝0的根为x1＝－，x2＝－.

知识点三：

一元二次方程的根的判别式

关于x的一元二次方程ax2＋bx＋c＝0（a≠0）的根的判别式为b2－4ac.

（1）b2－4ac＞0⇔一元二次方程ax2＋bx＋c＝0（a≠0）有两个不相等的实数根，则x1,2＝；

（2）b2－4ac＝0⇔一元二次方程ax2＋bx＋c＝0（a≠0）有两个相等的实数根，即x1＝x2＝

－；

（3）b2－4ac＜0⇔一元二次方程ax2＋bx＋c＝0（a≠0）没有实数根．

知识点四：

列一元二次方程解应用题

列一元二次方程解应用题的步骤和列一元一次方程（组）解应用题步骤一样，即审、找、设、列、解、答六步．

四、基础自测

1.（2013陕西，12，3分）一元二次方程的根是．

2.（2013四川绵阳，17，4分）已知整数k＜5，若△ABC的边长均满足关于x的方程，则△ABC的周长是10。

3．（2013江西，12，3分）若一个一元二次方程的两个根分别是Rt△ABC的两条直角边长，且

S△ABC=3，请写出一个符合题意的一元二次方程．

4．（2013白银，18，4分）现定义运算“★”，对于任意实数a、b，都有a★b=a2﹣3a+b，如：

3★5=32﹣3×

3+5，若x★2=6，则实数x的值是　　．

5.（2013四川泸州，8，2分）若关于的一元二次方程有两个不相等的实数根，则实数的取值范围是（　　）

A．B．且C．且D．且

6.（2013四川泸州，10，2分）设是方程的两个实数根，则的值为（　　）

A．5B．－5C．1D．－1

8.（2013四川宜宾，17，6分）　解方程：

【思路分析】本题只能用配方法或公式法来解，根据一元二次方程的求根公式x=（b2-4ac≥0）可求出原方程的解.

【解】∵a=1，b=-3，c=-1

∴

五、题型详解

类型一：

一元二次方程解的相关问题

例题1、3．（2013山东临沂，19，3分）对于实数a、b，定义运算“*”：

a*b＝例如：

4*2，因为4＞2，所以4*2＝42－4×

2＝8．若x1，x2是一元二次方程x2－5x＋6＝0的两个根，则x1*x2＝_________________．

【变式题】

1.已知x1、x2是一元二次方程x2＋2ax＋b＝0的两根，且x1＋x2＝3，x1x2＝1，则a，b的值分别是（　　）

A．a＝－3，b＝1B．a＝3，b＝1

C．a＝－，b＝－1D．a＝－，b＝1

解析：

由题意可得x1＋x2＝－2a＝3，x1·

x2＝b＝1，

∴a＝－，b＝1.

答案：

D

2.（2013湖北黄冈，6，3分）已知一元二次方程x2－6x＋c＝0有一个根为2，则另一根为（）

A．2B．3C．4D．8

【答案】C．

类型二：

一元二次方程的解法

例题2、解方程：

x2－4x＋1＝0.

1.解方程：

（x－3）2＋4x（x－3）＝0.

解：

（x－3）2＋4x（x－3）＝0，

即（x－3）（x－3＋4x）＝0，（x－3）（5x－3）＝0，

∴x－3＝0或5x－3＝0.

∴x1＝3，x2＝.

2．（2013四川宜宾，5，3分）已知是一元二次方程的一个解，则m的值是　（　　　）

A．-3　　　B．3　　　　C．　0　　　　　D．0或3

解题规律小结：

解一元二次方程时，要注意根据方程的特点来选择适当的方法求解，一般的若方程左边是一个完全平方式，右边是一个非负数或完全平方式，应该采用直接开平方的方法；

若能分解因式则利用因式分解的方法来解答；

当两种方法都不行的时候可考虑采用公式法或者配方法。

类型三：

某汽车销售公司六月份销售某厂家的汽车，在一定范围内，每部汽车的进价与销售量有如下关系；

若当月仅售出1部汽车，则该部汽车的进价为27万元；

每多售出1部，所有售出的汽车的进价均降低0.1万元/部．月底厂家根据销售量一次性返利给销售公司，销售量在10部以内（含10部），每部返利0.5万元；

销售量在10部以上，每部返利1万元．

（1）若该公司当月售出3部汽车，则每部汽车的进价为________万元；

（2）如果汽车的售价为28万元/部，该公司计划当月盈利12万元，那么需要售出多少部汽车？

（盈利＝销售利润＋返利）

1．（2013广东珠海，15，6分）某渔船出海捕鱼，2010年平均每次捕鱼量为10吨，2012年平均每次捕鱼量为8.1吨，求2010年﹣2012年每年平均每次捕鱼量的年平均下降率．

【解析】这是关于一元二次方程的应用中增长率问题．解答此题利用的数量关系是：

2010年平均每次捕鱼量×

（1﹣每次降价的百分率）2=2012年平均每次捕鱼量，设出未知数，列方程解答即可．

【解答】设2010年﹣2012年每年平均每次捕鱼量的年平均下降率x，根据题意列方程得，

10×

（1﹣x）2=8.1，

解得x1=0.1，x2=﹣1.9（不合题意，舍去）．

答：

2010年﹣2012年每年平均每次捕鱼量的年平均下降率为10%．

【点拨】：

本题考查的下降的百分率也就是增长率问题，两年前是10吨，下降后现在是8.1吨，求每年的下降的百分率，可列式求解．

根据解决一元二次方程的基本步骤进行展示，在解决问题之后一定要检验最后的结果是不是增根，对不符合实际问题的未知数的值要舍去。

六、课后练习

基础巩固

一．选择题

1.（2013湖北黄冈，6，3分）已知一元二次方程x2－6x＋c＝0有一个根为2，则另一根为（）

2.（2013贵州安顺，4，3分）已知关于x的方程的一个根为x=3，则实数k的值为（）

A．1　　B．-1　　C．2　D．-2

3．（2013四川宜宾，5，3分）已知是一元二次方程的一个解，则m的值是　（　　　）

【答案】A．

【解析】把代入原方程可得到一个关于m的一元一次方程，再求解，应选A.

【点拨】本题考查了一元一次方程的解法及方程解的定义，解题时遇到方程的解可把解代入原方程，这是常用方法.

4．（2013山东滨州，10，3分）对于任意实数k，关于x的方程程x2－2（k+1）x－k2+2k－1=0的根的情况为

A．有两个相等的实数根B．没有实数根

C．有两个不相等的实数根D．无法确定

5．（2013江苏泰州，3，3分）下列一元二次方程中，有两个不相等的实数根的方程是（　　）

　　A．　　B．　　C．　　D．

6．（2013·

鞍山，6，2分）已知b＜0，关于x的一元二次方程（x－1）2＝b的根的情况是（　　）

　A．有两个不相等的实数根B．有两个相等的实数根

　C．没有实数根D．有两个实数根

7.（2013•东营，11，3分）要组织一次篮球联赛，赛制为单循环形式（每两队之间都赛一场），计划安排21场比赛，则参赛球队的个数是（）

A．5个B．6个C．7个D．8个

二．选择题

1．（2013山东滨州，16，4分）一元二次方程2x2－3x+1=0的解为______________．

2．（2013湖北荆门，16，3分）设x1，x2是方程x2－x－2013＝0的两实数根，则x13＋2014x2－2013＝______．

3．（2013山东临沂，19，3分）对于实数a、b，定义运算“*”：

【易错点分析】忽视讨论思想，会少一种情况.

4．（2013贵州安顺，13，4分）4xa+2b﹣5﹣2y3a﹣b﹣3=8是二元一次方程，那么a﹣b=．

考点：

二元一次方程的定义；

解二元一次方程组．

分析：

根据二元一次方程的定义即可得到x、y的次数都是1，则得到关于a，b的方程组求得a，b的值，则代数式的值即可求得．

解答：

根据题意得：

，

解得：

．

则a﹣b=0．

故答案是：

0．

【点评】主要考查二元一次方程的概念，要求熟悉二元一次方程的形式及其特点：

含有2个未知数，未知数的项的次数是1的整式方程．　

5．（2013·

聊城，13，3分）若x1＝－1是关于x的方程x2＋mx－5＝0的一个根，则方程的另一个根x2＝．

三.解答题