江苏省南京市届高三年级第三次模拟考试数学试题及答案5Word下载.docx

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16．（本小题满分14分）

如图，在四棱锥P－ABCD中，O为AC与BD的交点，AB⊥平面PAD，△PAD是正三角形，

DC//AB，DA＝DC＝2AB.

（1）若点E为棱PA上一点，且OE∥平面PBC，求的值；

（2）求证：

平面PBC⊥平面PDC.

17．（本小题满分14分）

某种树苗栽种时高度为A（A为常数）米，栽种n年后的高度记为f（n）．经研究发现f（n）近似地满足f（n）＝，其中t＝2，a，b为常数，n∈N，f（0）＝A．已知栽种3年后该树木的高度为栽种时高度的3倍．

（1）栽种多少年后，该树木的高度是栽种时高度的8倍；

（2）该树木在栽种后哪一年的增长高度最大．

18．（本小题满分16分）

已知椭圆C：

＋＝1（a＞b＞0）过点P（－1，－1），c为椭圆的半焦距，且c＝b．过点P作

两条互相垂直的直线l1，l2与椭圆C分别交于另两点M，N．

（1）求椭圆C的方程；

（2）若直线l1的斜率为－1，求△PMN的面积；

（3）若线段MN的中点在x轴上，求直线MN的方程．

19．（本小题满分16分）

已知函数f（x）＝lnx－mx（mR）．

（1）若曲线y＝f（x）过点P（1，－1），求曲线y＝f（x）在点P处的切线方程；

（2）求函数f（x）在区间[1，e]上的最大值；

（3）若函数f（x）有两个不同的零点x1，x2，求证：

x1x2＞e2．

20．（本小题满分16分）

已知a，b是不相等的正数，在a，b之间分别插入m个正数a1，a2，…，am和正数b1，b2，…，

bm，使a，a1，a2，…，am，b是等差数列，a，b1，b2，…，bm，b是等比数列．

（1）若m＝5，＝，求的值；

（2）若b＝λa（λ∈N*，λ≥2），如果存在n（n∈N*，6≤n≤m）使得an－5＝bn，求λ的最小值及此时m的值；

（3）求证：

an＞bn（n∈N*，n≤m）．

数学附加题2014.05

1．附加题供选修物理的考生使用．

2．本试卷共40分，考试时间30分钟．

3．答题前，考生务必将自己的姓名、学校、班级、学号写在答题纸内．试题的答案写在答题纸上对应题目的答案空格内．考试结束后，交回答题纸．

21．【选做题】在A、B、C、D四小题中只能选做2题，每小题10分，共计20分．请在答卷卡指定区域内作答．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．

A．选修4—1：

几何证明选讲

已知圆O的内接△ABC中，D为BC上一点，且△ADC为正三角形，点E为BC的延长线上一

点，AE为圆O的切线，求证：

CD2＝BD·

EC．

B．选修4—2：

矩阵与变换

已知矩阵A＝（k≠0）的一个特征向量为α＝，A的逆矩阵A－1对应的变换将点

（3，1）变为点（1，1）．求实数a，k的值．

C．选修4—4：

坐标系与参数方程

在平面直角坐标系xOy中，已知M是椭圆＋＝1上在第一象限的点，A（2，0），B（0，2）

是椭圆两个顶点，求四边形OAMB的面积的最大值．

D．选修4—5：

不等式选讲

已知a，b，cR，a2＋2b2＋3c2＝6，求a＋b＋c的最大值．

【必做题】第22题、第23题，每题10分，共计20分．请在答卷卡指定区域内作答．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．

22．（本小题满分10分）

如图，在正四棱锥P－ABCD中，PA＝AB＝，点M，N分别在线段PA和BD上，BN＝BD．

（1）若PM＝PA，求证：

MN⊥AD；

（2）若二面角M－BD－A的大小为，求线段MN的长度．

23．（本小题满分10分）

已知非空有限实数集S的所有非空子集依次记为S1，S2，S3，……，集合Sk中所有元素的平均

值记为bk．将所有bk组成数组T：

b1，b2，b3，……，数组T中所有数的平均值记为m（T）．

（1）若S={1，2}，求m（T）；

（2）若S＝{a1，a2，…，an}（n∈N*，n≥2），求m（T）．

数学参考答案2014.05

说明：

1．本解答给出的解法供参考．如果考生的解法与本解答不同，可根据试题的主要考查内容比照评分标准制订相应的评分细则．

2．对计算题，当考生的解答在某一步出现错误时，如果后续部分的解答未改变该题的内容和难度，可视影响的程度决定给分，但不得超过该部分正确解答应得分数的一半；

如果后续部分的解答有较严重的错误，就不再给分．

3．解答右端所注分数，表示考生正确做到这一步应得的累加分数．

4．只给整数分数，填空题不给中间分数．

一、填空题：

本大题共14小题，每小题5分，计70分.

1．（－2，1）2．－73．304．5．116．7．

8．②9．－10．111．（－∞，－3）∪（1，3）12．[，2]

13．（x－1）2＋y2＝114．2－2

二、解答题：

解：

（1）由＋1＝及正弦定理，得＋1＝，………………………………………2分

所以＝，即＝，则＝．

因为在△ABC中，sinA≠0，sinC≠0，

所以cosB＝．………………………………………5分

因为B（0，π），所以B＝．………………………………………7分

（2）因为0＜C＜，所以＜C＋＜．

因为cos（C＋）＝，所以sin（C＋）＝．………………………………………10分

所以sinA＝sin（B＋C）＝sin（C＋）＝sin[（C＋）＋]………………………………………12分

＝sin（C＋）cos＋cos（C＋）sin

＝．………………………………………14分

证

（1）因为OE∥平面PBC，OE⊂平面PAC，平面PAC∩平面PBC＝PC，所以OE∥PC，

所以AO∶OC＝AE∶EP．………………………………………3分

因为DC//AB，DC＝2AB，所以AO∶OC＝AB∶DC＝1∶2.

所以＝．………………………………………6分

（2）法一：

取PC的中点F，连结FB，FD．

因为△PAD是正三角形，DA＝DC，所以DP＝DC．

因为F为PC的中点，所以DF⊥PC.………………………………………8分

因为AB⊥平面PAD，所以AB⊥PA，AB⊥AD，AB⊥PD．

因为DC//AB，所以DC⊥DP，DC⊥DA．

设AB＝a，在等腰直角三角形PCD中，DF＝PF＝a．

在Rt△PAB中，PB＝a．

在直角梯形ABCD中，BD＝BC＝a．

因为BC＝PB＝a，点F为PC的中点，所以PC⊥FB．

在Rt△PFB中，FB＝a．

在△FDB中，由DF＝a，FB＝a，BD＝a，可知DF2＋FB2＝BD2，所以FB⊥DF．

………………………………………12分

由DF⊥PC，DF⊥FB，PC∩FB＝F，PC、FB⊂平面PBC，所以DF⊥平面PBC．

又DF⊂平面PCD，所以平面PBC⊥平面PDC．………………………………………14分

法二：

取PD，PC的中点，分别为M，F，连结AM，FB，MF，

所以MF∥DC，MF＝DC．

因为DC//AB，AB＝DC，所以MF∥AB，MF＝AB，

即四边形ABFM为平行四边形，所以AM∥BF．………………………………………8分

在正三角形PAD中，M为PD中点，所以AM⊥PD．

因为AB⊥平面PAD，所以AB⊥AM．

又因为DC//AB，所以DC⊥AM．

因为BF//AM，所以BF⊥PD，BF⊥CD．

又因为PD∩DC＝D，PD、DC⊂平面PCD，所以BF⊥平面PCD．……………………………12分

因为BF⊂平面PBC，所以平面PBC⊥平面PDC.………………………………………14分

（1）由题意知f（0）＝A，f（3）＝3A．

所以解得a＝1，b＝8．………………………………………4分

所以f（n）＝，其中t＝2．

令f（n）＝8A，得＝8A，解得tn＝，

即2＝，所以n＝9．

所以栽种９年后，该树木的高度是栽种时高度的8倍．………………………………………6分

（2）由

（1）知f（n）＝．

第n年的增长高度为△＝f（n）－f（n－1）＝－．……………………………9分

所以△＝＝

＝………………………………………12分

≤＝＝．

当且仅当64tn＝，即2＝时取等号，此时n＝5．

所以该树木栽种后第5年的增长高度最大．………………………………………14分

（1）由条件得＋＝1，且c2＝2b2，所以a2＝3b2，解得b2＝，a2＝4．

所以椭圆方程为：

＋＝1．………………………………………3分

（2）设l1方程为y＋1＝k（x＋1），

联立消去y得（1＋3k2）x2＋6k（k－1）x＋3（k－1）2－4＝0．

因为P为（－1，1），解得M（，）．………………………………………5分

当k≠0时，用－代替k，得N（，）．………………………………………7分

将k＝－1代入，得M（－2，0），N（1，1）．

因为P（－1，－1），所以PM＝，PN＝2，

所以△PMN的面积为×

×

2＝2．………………………………………9分

（3）解法一：

设M（x1，y1），N（x2，y2），则

两式相减得（x1＋x2）（x1－x2）＋3（y1＋y2）（y1－y2）＝0，

因为线段MN的中点在x轴上，所以y1＋y2＝0，从而可得（x1＋x2）（x1－x2）＝0．…………………12分

若x1＋x2＝0，则N（－x１，－y１）．

　　因为PM⊥PN，所以·

＝0，得x12＋y12＝2．

又因为x12＋3y12＝4，所以解得x1＝±

1，所以M（－1，1），N（1，－1）或M（1，－1），N（－1，1）．

所以直线MN的方程为y＝－x．………………………………………14分

若x1－x2＝0，则N（x1，－y1），

因为PM⊥PN，所以·

＝0，得y12＝（x1＋1）2＋1．

又因为x12＋3y12＝4，所以解得x1