正态分布及其经典习题和答案Word文件下载.docx
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3
4
5
6
8
10
12
15
20
P
0.1
∴E（X）=8.5.
（5）如图，两个正态分布曲线图：
1为1,1（x），2为22（x），
则12，12（填大于，小于）
＜，＞。
由正态密度曲线图象的特征知。
课内练习】
1．标准正态分布的均数与标准差分别为（）。
A．0与1B．1与0C．0与0D．1与1
A。
由标准正态分布的定义知。
2．正态分布有两个参数与，（）相应的正态曲线的形状越扁平。
A．越大B．越小C．越大D．越小答案：
C。
3．已在n个数据x1,x2,,xn，那么xix是指
ni1
A．B．C．2D．2（）
由方差的统计定义知。
4．设~B（n,p），E12，D4，则n的值是。
4。
Enp12，Dnp（1p）4
23
5．对某个数学题，甲解出的概率为2，乙解出的概率为3，两人独立解题。
记X为解出该题的人数，则E
34
X）=。
17。
P（X0）111,P（X1）21145,P（X2）231。
123412343412342
15117
∴E（X）012。
212212
6．设随机变量服从正态分布N（0,1），则下列结论正确的是
（1）P（||a）P（||a）P（||a）（a0）
（2）P（||a）2P（a）1（a0）
（3）P（||a）12P（a）（a0）
（4）P（||a）1P（||a）（a0）
（1）,
（2）,（4）。
P（||a）0。
7．抛掷一颗骰子，设所得点数为X，则D（X）=
35。
P（Xk）1,k1,2,,6，按定义计算得E（X）7,V（X）35。
126212作业本】
A组
E（X）等于
1．袋中装有5只球，编号为1，2，3，4，5，从中任取3球，以X表示取出球的最大号码，则）
A、4B、5C、4.5D、4.75
X的分布列为
0.3
0.6
故E（X）=30.1+40.3+50.6=4.5。
2．下列函数是正态分布密度函数的是
3．正态总体为0,1概率密度函数f（x）是
4．已知正态总体落在区间0.2,的概率是0．5，那么相应的正态曲线在x时达到最高点。
0.2。
正态曲线关于直线x对称，由题意知0.2。
5．一次英语测验由40道选择题构成，每道有4个选项，其中有且仅有一个是正确的，每个选对得3分，选错或不选均不得分，满分120分，某学生选对一道题的概率为0.7，求该生在这次测验中的成绩的期望
为；
方差为。
84；
75.6。
设X为该生选对试题个数，η为成绩，则X～B（50，0.7），η=3X∴E（X）=40×
0.7=28
V（X）=40×
0.7×
0.3=8.4
故E（η）=E（3X）=3E（X）=84V（η）=V（3X）=9V（X）=75.6
6．某人进行一个试验，若试验成功则停止，若实验失败，再重新试验一次，若试验三次均失败，则放弃试2
验，若此人每次试验成功的概率为，求此人试验次数X的分布列及期望和方差。
3解：
1
9
2211322113238
故E（X）123，V（X）149（）2。
3999399981
7．甲、乙两名射击运动员，甲射击一次命中10环的概率为0.5，乙射击一次命中10环的概率为s，若他们
独立的射击两次，设乙命中10环的次数为X，则EX=，Y为甲与乙命中10环的差的绝对值.求s的值及Y的
3分布列及期望.
42答案：
解：
由已知可得X~B（2,s），故EX2s4,所以s2．
33有Y的取值可以是0，1，2.
12121甲、乙两人命中10环的次数都是0次的概率是（）2（）2，
2336
111121122
甲、乙两人命中10环的次数都是1次的概率是（）（），
222233339
11221
甲、乙两人命中10环的次数都是2次的概率是（）（）
22339
12113所以P（Y0）；
369936
12121甲命中10环的次数是2且乙命中10环的次数是0次的概率是（）2（）2，
11221甲命中10环的次数是0且乙命中10环的次数是2次的概率是（）（）
所以P（Y2）115，故P（Y1）1P（Y0）P（Y2）1
369362
所以Y的分布列是
Y
13
36
所以Y的期望是E（Y）=97。
B。
3．在一次英语考试中，考试的成绩服从正态分布（100,36），那么考试成绩在区间88,112内的概率是
A．0．6826B．0．3174C．0．9544D．0．9974答案：
由已知X—N（100，36），
88100112100
故P（88X112）P（Z）P（2Z2）2P（Z2）10.9544。
66
1分，
4．袋中有4个黑球，3个白球，2个红球，从中任取2个球，每取到一个黑球得0分，每取到一个白球得若取到一个红球则得2分，用X表示得分数，则E（X）=；
D（X）=.
14165
14；
165。
由题意知，X可取值是0，1，2，3，4。
易得其概率分布如下：
9162
11
14
E（X）=0
×
+1×
＋2×
＋3×
＋4×
＝
21
211
142
＝165
V（X）=
0×
+
＋2
＋32×
＋
42×
－
162
-5。
2,2,E（2X1）2E（X）12
（2）15。
6．一本书有500页，共有100个错字，随机分布在任意一页上，求一页上错字个数X的均值、标准差。
1111
∵X—B（100,）,E（X）1000.2,V（X）100
（1）0.1996
500500500500
X的标准差V（X）0.04468。
8．一批电池（一节）用于手电筒的寿命服从均值为35.6小时、标准差为4.4小时的正态分布，随机从这批电池
中任意取一节，问这节电池可持续使用不少于40小时的概率是多少？
电池的使用寿命X—N（35.6,4.42）
则P（X40）P（X35.64035.6）P（Z1）1P（Z1）0.1587
4.44.4
即这节电池可持续使用不少于40小时的概率是0.1587。
双基自测
平均数与标准差分别是（）．
A．0.6B．0.4C．0.3D．0.2
解析由P（ξ<
4）＝0.8知P（ξ>
4）＝P（ξ<
0）＝0.2，故P（0<
ξ<
2）＝0.3.故选C.答案C
3．（2010·
广东）已知随机变量X服从正态分布N（3,1），且P（2≤X≤4）＝0.6826，则P（X>
4）等于（）．
A．0.1588B．0.1587C．0.1586D．0.1585
解析由正态曲线性质知，其图象关于直线x＝3对称，∴P（X>
4）＝0.5－2P（2≤X≤4）＝0.5－2×
0.6826
＝0.1587.故选B
4．（2010·
山东）已知随机变量X服从正态分布N（0，σ2），若P（X>
2）＝0.023，则P（－2≤X≤2）等于（）．
A．0.477B．0.628C．0.954D．0.977
解析P（－2≤X≤2）＝1－2P（X>
2）＝0.954.答案C
5．设随机变量X服从正态分布N（2,9），若P（X>
c＋1）＝P（X<
c－1），则c等于（）．
A．1B．2C．3D．4
考向一正态曲线的性质
例1】?
若一个正态分布的概率密度函数是一个偶函数，且该函数的最大值为
（1）求该正态分布的概率密度函数的解析式；
（2）求正态总体在（－4,4]的概率．
（2）P（－4<
X≤4）＝P（0－4<
X≤0＋4）＝P（μ－σ<
X≤μ＋σ）＝0.6826.
【训练1】设两个正态分布N（μ1，σ21）（σ1>
0）和N（μ2，σ22）（σ2>
0）的密度函数图象如图所示，则有（）．A．μ1<
μ2，σ1<
σ2
B．μ1<
μ2，σ1>
C．μ1>
D．μ1>
σ2解析根据正态分布N（μ，σ2）函数的性质：
正态分布曲线是一条关于直线x＝μ
对称，在x＝μ处取得最大值的连续钟形曲线；
σ越大，曲线的最高点越低且较平缓；
反过来，σ越小，曲线的最高点越高且较陡峭，故选A.
考向二
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