线性代数课件(完整版)同济大学PPT文件格式下载.ppt

线性代数课件(完整版)同济大学PPT文件格式下载.ppt

《线性代数课件(完整版)同济大学PPT文件格式下载.ppt》由会员分享，可在线阅读，更多相关《线性代数课件(完整版)同济大学PPT文件格式下载.ppt（489页珍藏版）》请在冰豆网上搜索。

分母相同，由方程组的四个系数确定分母相同，由方程组的四个系数确定.分子、分母都是四个数分成两对相乘再分子、分母都是四个数分成两对相乘再相减而得相减而得.其求解公式为其求解公式为二元线性方程组二元线性方程组我们引进新的符号来表示我们引进新的符号来表示“四个四个数分成两对相乘再相减数分成两对相乘再相减”.记号记号数表数表表达式表达式称为由该称为由该数表所确定的数表所确定的二阶行列式二阶行列式，即，即其中，其中，称为称为元素元素.i为为行标行标，表明元素位于第，表明元素位于第i行；

行；

j为为列标列标，表明元素位于第，表明元素位于第j列列.原则：

横行竖列原则：

横行竖列二阶行列式的计算二阶行列式的计算主对角线主对角线副对角线副对角线即：

主对角线上两元素之积副对角线上两元素之积即：

主对角线上两元素之积副对角线上两元素之积对角线法则对角线法则二元线性方程组二元线性方程组若令若令（方程组的系数行列式方程组的系数行列式）则上述二元线性方程组的解可表示为则上述二元线性方程组的解可表示为例例1求解二元线性方程组求解二元线性方程组解解因为因为所以所以二、三阶行列式二、三阶行列式定义定义设有设有9个数排成个数排成3行行3列的数表列的数表原则：

横行竖列引进记号引进记号称为称为三阶行列式三阶行列式.主对角线主对角线副对角线副对角线二阶行列式的对角线法则二阶行列式的对角线法则并不适用！

并不适用！

三阶行列式的计算三阶行列式的计算对角线法则对角线法则注意：

注意：

对角线法则只适用于二阶与三阶行列式对角线法则只适用于二阶与三阶行列式.实线上的三个元素的乘积冠正号，实线上的三个元素的乘积冠正号，虚线上的三个元素的乘积冠负号虚线上的三个元素的乘积冠负号.例例2计算行列式计算行列式解解按对角线法则，有按对角线法则，有方程左端方程左端解解由由得得例例3求解方程求解方程2全排列及其逆序数全排列及其逆序数问题问题把把n个不同的元素排成一列，共有多少种不同的个不同的元素排成一列，共有多少种不同的排法？

排法？

定义定义把把n个不同的元素排成一列，叫做这个不同的元素排成一列，叫做这n个元个元素的素的全排列全排列.n个不同元素的所有排列的种数，通常用个不同元素的所有排列的种数，通常用Pn表示表示.显然显然即即n个不同的元素一共有个不同的元素一共有n!

种不同的排法种不同的排法.所所有有6种种不不同同的的排排法法中中，只只有有一一种种排排法法（123）中中的的数数字字是是按按从从小小到到大大的的自自然然顺顺序序排排列列的的，而而其其他他排排列列中中都都有有大大的的数排在小的数之前数排在小的数之前.因因此此大大部部分分的的排排列列都都不不是是“顺顺序序”，而是而是“逆序逆序”.3个不同的元素一共有个不同的元素一共有3!

=6种不同的排法种不同的排法123，132，213，231，312，321对于对于n个不同的元素，可规定各元素之间的标准次序个不同的元素，可规定各元素之间的标准次序.n个不同的自然数，规定从小到大为标准次序个不同的自然数，规定从小到大为标准次序.定义定义当某两个元素的先后次序与标准次序不同时，当某两个元素的先后次序与标准次序不同时，就称这两个元素组成一个就称这两个元素组成一个逆序逆序.例如例如在排列在排列32514中，中，32514逆序逆序逆序逆序逆序逆序思考题：

思考题：

还能找到其它逆序吗？

答：

2和和1，3和和1也构成逆序也构成逆序.20定义定义排列中所有逆序的总数称为此排列的排列中所有逆序的总数称为此排列的逆序数逆序数.排列排列的逆序数通常记为的逆序数通常记为.奇排列：

奇排列：

逆序数为奇数的排列逆序数为奇数的排列.偶排列：

偶排列：

逆序数为偶数的排列逆序数为偶数的排列.思考题：

符合标准次序的排列是奇排列还是偶排列？

符合标准次序的排列（例如：

123）的逆序数）的逆序数等于零，因而是偶排列等于零，因而是偶排列.计算排列的逆序数的方法计算排列的逆序数的方法则此排列的逆序数为则此排列的逆序数为设设是是1,2,n这这n个自然数的任一排列，并规个自然数的任一排列，并规定由小到大为标准次序定由小到大为标准次序.先看有多少个比先看有多少个比大的数排在大的数排在前面，记为前面，记为；

再看有多少个比再看有多少个比大的数排在大的数排在前面，记为前面，记为;

最后看有多少个比最后看有多少个比大的数排在大的数排在前面，记为前面，记为;

例例1：

求排列求排列32514的逆序数的逆序数.解：

解：

练习：

求排列求排列453162的逆序数的逆序数.解：

3n阶行列式的定义阶行列式的定义一、概念的引入一、概念的引入规律：

规律：

1.1.三阶行列式共有三阶行列式共有6项，即项，即3!

项项2.2.每一项都是位于不同行不同列的三个元素的乘积每一项都是位于不同行不同列的三个元素的乘积3.3.每一项可以写成每一项可以写成（正负号除外），其中（正负号除外），其中是是1、2、3的某个排列的某个排列.1.1.当当是是偶排列偶排列时，对应的项取时，对应的项取正号正号；

2.2.当当是是奇排列奇排列时，对应的项取时，对应的项取负号负号.所以，三阶行列式可以写成所以，三阶行列式可以写成其中其中表示对表示对1、2、3的所有排列求和的所有排列求和.二阶行列式有类似规律二阶行列式有类似规律.下面将行列式推广到一般的情形下面将行列式推广到一般的情形.二、二、n阶行列式的定义阶行列式的定义1.n阶行列式共有阶行列式共有n!

项项2.2.每一项都是位于不同行不同列的每一项都是位于不同行不同列的n个元素的乘积个元素的乘积3.3.每一项可以写成每一项可以写成（正负号除外），其中（正负号除外），其中4.4.是是1,2,n的某个排列的某个排列.5.5.当当是是偶排列偶排列时，对应的项取时，对应的项取正号正号；

6.6.当当是是奇排列奇排列时，对应的项取时，对应的项取负号负号.简记作简记作，其中其中为行列式为行列式D的的（i,j）元元思考题：

成立成立吗？

吗？

符号符号可以有两种理解：

可以有两种理解：

若理解成绝对值，则若理解成绝对值，则；

若理解成一阶行列式，则若理解成一阶行列式，则.注意：

当当n=1时，一阶行列式时，一阶行列式|a|=a，注意不要与，注意不要与绝对值的记号相混淆绝对值的记号相混淆.例如：

一阶行列式例如：

一阶行列式.例：

例：

写出四阶行列式中含有因子写出四阶行列式中含有因子的项的项.例：

计算行列式计算行列式解：

和和解：

其中其中四个结论：

四个结论：

（1）

（1）对角行列式对角行列式

（2）

（2）（3）（3）上三角形行列式上三角形行列式（主对角线下侧元素都为（主对角线下侧元素都为00）（4）（4）下三角形行列式下三角形行列式（主对角线上侧元素都为（主对角线上侧元素都为00）思考题思考题已知已知，求，求的系数的系数.35故故的系数为的系数为1.解解含含的项有两项，即的项有两项，即对应于对应于4对换对换一、对换的定义一、对换的定义定义定义在排列中，将任意两个元素对调，其余的元素在排列中，将任意两个元素对调，其余的元素不动，这种作出新排列的手续叫做不动，这种作出新排列的手续叫做对换对换将相邻两个元素对换，叫做将相邻两个元素对换，叫做相邻对换相邻对换例如例如备注备注1.1.相邻对换是对换的特殊情形相邻对换是对换的特殊情形.2.2.一般的对换可以通过一系列的相邻对换来实现一般的对换可以通过一系列的相邻对换来实现.3.3.如果连续施行两次相同的对换，那么排列就还原了如果连续施行两次相同的对换，那么排列就还原了.m次相邻对换次相邻对换m+1次相邻对换次相邻对换m次相邻对换次相邻对换m+1次相邻对换次相邻对换二、对换与排列奇偶性的关系二、对换与排列奇偶性的关系定理定理11对换改变排列的奇偶性对换改变排列的奇偶性.证明证明先考虑相邻对换的情形先考虑相邻对换的情形注意到除注意到除外，其它元素的逆序数不改变外，其它元素的逆序数不改变.当当时，时，.当当时，时，.因此相邻对换改变排列的奇偶性因此相邻对换改变排列的奇偶性.既然相邻对换改变排列的奇偶性，那么既然相邻对换改变排列的奇偶性，那么2m+1次相邻对换次相邻对换因此，一个排列中的任意两个元素对换，排列的奇偶性改变因此，一个排列中的任意两个元素对换，排列的奇偶性改变.推论推论奇排列奇排列变成标准排列的对换次数为变成标准排列的对换次数为奇数奇数，偶排列偶排列变成标准排列的对换次数为变成标准排列的对换次数为偶数偶数.由定理由定理11知，对换的次数就是排列奇偶性的变化次知，对换的次数就是排列奇偶性的变化次数，而标准排列是偶排列数，而标准排列是偶排列（逆序数为零逆序数为零），因此可知推论，因此可知推论成立成立.证明证明因为数的乘法是可以交换的，因为数的乘法是可以交换的，所以所以n个元素相乘的次个元素相乘的次序是可以任意的，即序是可以任意的，即每作一次交换，元素的行标与列标所成的排列每作一次交换，元素的行标与列标所成的排列与与都同时作一次对换，即都同时作一次对换，即与与同同时改变奇偶性，但是这两个排列的逆序数之和的奇偶性时改变奇偶性，但是这两个排列的逆序数之和的奇偶性不变不变.于是于是与与同时为奇数或同时为偶数同时为奇数或同时为偶数.即即是偶数是偶数.因为对换改变排列的奇偶性，因为对换改变排列的奇偶性，是奇数，是奇数，也是奇数也是奇数.设对换前行标排列的逆序数为设对换前行标排列的逆序数为，列标排列的逆序数为，列标排列的逆序数为.所以所以是偶数，是偶数，因此，交换因此，交换中任意两个元素的位置后，其中任意两个元素的位置后，其行标排列与列标排列的逆序数之和的奇偶性不变行标排列与列标排列的逆序数之和的奇偶性不变.设经过一次对换后行标