哈尔滨工程大学随机过程课后答案.doc

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哈尔滨工程大学随机过程课后答案.doc

标准教材：

随机过程基础及其应用/赵希人，彭秀艳编著

索书号：

O211.6/Z35-2

备用教材：

（这个非常多，内容一样一样的）

工程随机过程/彭秀艳编著

索书号：

TB114/P50

历年试题（页码对应备用教材）

2007

一、习题0.7

（1）

二、习题1.4

三、例2.5.1—P80

四、例2.1.2—P47

五、习题2.2

六、例3.2.2—P99

2008

一、习题0.5

二、习题1.4

三、定理2.5.1—P76

四、定理2.5.6—P80

五、1、例2.5.1—P80

2、例2.2.2—P53

六、例3.2.3—P99

2009（回忆版）

一、习题1.12

二、例2.2.3—P53

三、例1.4.2与例1.5.5的融合

四、定理2.5.3—P76

五、习题0.8

六、例3.2.2

2010

一、习题0.4（附加条件给出两个新随机变量表达式，间接说明老师给出证法不够合理）

二、例1.2.1

三、例2.1.4

四、例2.2.2

五、习题2.6

六、习题3.3

引理1.3.1解法纠正

许瓦兹不等式

证明：

例1.4.2解法详解

已知随机过程的均值为零，相关函数为为常数。

求其积分过程的均值函数和相关函数。

解：

不妨设

同理当时

（此处书上印刷有误）

例1.5.5解法同上

例1.5.6解法详解

普松过程公式推导：

例2.1.2解法详解

设为零均值正交增量过程且，

令，

试证明为平稳过程。

证明：

同理可解出其他情况，整理得：

例2.1.3印刷有误

例2.2.2解法详解

设为平稳正态过程，，且为已知，求作用于平方滤波器时，输出过程的统计性质。

例2.2.3解法详解

例2.3.1解法纠正

此处老师解释为常值函数默认为

例2.3.1，例2.3.2解法详解

，

为狄拉克函数，为而产生

定理2.5.1印刷有误，解法详解

定理2.5.2解法详解

为平稳随机过程，

以下步骤同定理2.5.1

定理2.5.3印刷有误

多处连续错误，可直接覆盖

充分性：

将（2.5.18）式展开，有

定理2.5.4解法详解

即证

剩余步骤同定理2.5.3充分性证明。

定理2.5.5解法详解

记为平稳随机序列，，中心相关函数为，

记进一步

假设为平稳随机序列，

记

则成立的充要条件是

证明：

必要性：

“”：

充分性：

“”：

印刷出错

（3.2.4）

（3.2.5）

（3.2.21）

（3.4.39）

例3.2.3解法详解

书后习题

概率论（第0章）：

1.设随机变量的联合密度函数为

，

试证两两独立，但不相互独立。

解：

两两独立；

不相互独立。

2.设服从普松分布，参数为，

试求（Ⅰ）（Ⅱ）的分布。

解：

（Ⅰ）

；

（Ⅱ）

。

3.设为相互独立且均服从正态分布的随机变量，试求的分布密度函数。

解：

为相互独立

服从柯西分布。

4.设为相互独立且均服从正态分布的随机变量，试证与相互独立。

证明：

设，，

解得，

5.设随机变量X分布函数为

，

试求特征函数试求特征函数。

解：

6.如果随机变量的密度函数为

，试求特征函数。

解：

7.设有如下特征函数：

，

试求分布密度函数。

解：

1）

2）

3）

8.设随机变量均服从柯西分布，其密度函数为

，

，，且，，，试证对特征函数有，但并不独立。

解：

对，

并不独立。

9.设是上的连续、单调上升函数，且，，试证的充要条件是，其中为随机变量序列。

证明：

即证

必要性：

“”：

设

对使，由于，对于该，必，当时有，

对，必，当时有

充分性：

“”：

10.设为独立随机变量序列，密度函数为

，

试问是否服从强大数定理。

解：

服从强大数定理；

证明：

服从强大数定理。

11.设为独立随机变量序列且，试证服从大数定律但不服从强大数定律。

证明：

大数定律：

对，必，使，必使，于是当时，

服从大数定律；

强大数定律：

不服从强大数定律。

12.设为随机变量序列且方差有界，即，如果相关系数满足，，试证明服从大数定理。

证明：

对第二项，当项数不超过，由于，，

对第三项，当项数不超过，由于，，

服从大数定理。

13.设为正态分布函数列，并且收敛于分布函数，试证是正态分布函数。

证明：

即证和存在

连续且，必使，，

所以存在且；

取积分线路为，，且在积分路径上有，故，

所以存在且。

14.取，为中所有波雷尔点集所构成的代数，为勒贝格测度，则为一概率空间，令

一般地，把分成个等长区间，令

现定义

则为随机变量序列，

试证依概率收敛于零但不几乎处处收敛于零。

证明：

，

当有，；

对，必使，

即，

不几乎处处收敛于零。

15.对于14题中所叙述的随机变量序列试证虽然不成立但却有。

证明：

当有，

，

；

，

不成立。

第一章：

1.设为普松过程，，试求有限维分布函数族。

解：

设，

因为普松过程是马尔科夫过程，

2.设为随机过程，，其中为随机变量且分布函数为已知，求有限维分布函数族。

解：

3.设为二阶矩过程，试证自相关函数在任意处连续等价于在任意处连续。

证明：

充分性显然；

必要性：

在连续，

必要性得证。

4.设二阶矩过程的均值函数为零，相关函数为为常数，试分析均方意义下的连续性，可积性和可微性。

解：

均方连续；

为二阶矩过程，均方可积；

均方可微。

5.设为正态随机过程且，

试证对任意，有

。

备注：

（1）

参见O211.6-42/L80，P7

（2）

参见O211.6-44/Z85-2，P100

证明：

详细步骤参见：

O211.6-42/L80，P17

O211.6-44/Z85-2，P114

6.随机过程的切比雪夫不等式。

设为实值均方可微随机过程，

记，。

试证：

（Ⅰ）

（Ⅱ）

（Ⅲ）

（Ⅳ）

（Ⅴ）于是，随机过程的切比雪夫不等式为：

证明：

（Ⅰ）

（Ⅱ）

同理：

；

（Ⅲ）由（Ⅱ）得：

（Ⅳ）由（Ⅲ）得：

（Ⅴ）由（Ⅰ）、（Ⅳ）得：

7.试证明普松过程均方连续，均方可积，但不均方可微。

证明：

对的分析就等同于对的分析。

均方连续；均方可积；

不均方可微。

8.设为一阶滑动合序列，

，其中

是相互独立服从正态分布的随机变量序列为常数，试问该过程是否为正态过程，平稳过程，马尔科夫过程及独立增量过程？

解：

，为的线性组合；

为正态过程；

，为常数；

且，只与时间差有关；

为平稳过程；

，只与最近时刻有关；

为马尔科夫过程；

不为独立增量过程。

9.设为随机过程的自相关函数，试证也是自相关函数，其中为任意实数。

证明：

设，

为的自相关函数。

10.设为正态随机变量序列，它均方收敛于随机变量，试证是正态随机变量。

证明：

，；

是正态随机变量。

11.设为正态随机过程，且及存在，试证及也是随机过程。

证明：

备注：

正态过程的线性组合为正态过程

为的线性组合

是随机过程；

是随机过程。

12.设为平稳随机过程，且自相关函数及二维密度函数均为已知。

（Ⅰ）试证

（Ⅱ）求出

（Ⅰ）证明：

由切比雪夫不等式

，

设，

则，

（Ⅱ）解：

设，，

，

13.设为随机过程，对任意其一维分布密度函数为正态分布，现规定，试求函数使得在上具有均匀分布。

解：

参见O211.6-44/Z85-2，P68

14.设是具有密度的随机变量，现构成如下微分方程：

，，试求其解过程的均值函数，相关函数及的一维密度函数。

解：

15.设是独立同分布随机变量序列且，，又设为实数列，且，试证明必均方收敛。

证明：

设，

，即均方收敛。

第二章：

1.判断下列函数能否成为平稳随机过程的自相关函数，若是的话，进一步判断所对应的平稳过程是否均方连续？

均方可积？

均方可微？

解：

平稳随机过程的自相关函数性质：

图见下页，结果自理。

2.设为均方连续平稳过程，，相关函数与功率谱密度函数均为已知，取实常数，定义，试证明为均方连续平稳过程，并求，。

解：

，

均值为常数；