哈夫曼树毕业论文(修改版).doc
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教学单位数学系
学生学号
编号
本科毕业论文
论文题目哈夫曼树及其应用
学生姓名
专业班级 信息与计算科学专业2008级1班
指导教师
2012年5月20日
目录
一、论文正文
（1）
1哈夫曼树
（1）
1.1哈夫曼树的基本概念
（1）
1.2哈夫曼算法证明
（2）
2哈夫曼算法构造 （4）
2.1哈夫曼树的构造算法 （4）
2.2举例说明其构造过程 （5）
3哈夫曼树的应用 （6）
3.1用于最佳判断过程 （6）
3.2用于通信编码 （7）
4C++程序实现 （8）
5总结 （11）
参考文献 （11）
二、附录
1.开题报告 （13）
2.结题报告 （14）
3.答辩报告 （15）
哈夫曼树及其应用
（宝鸡文理学院数学系,陕西宝鸡721013）
摘要:
简要介绍了哈夫曼树的相关概念,阐述了哈夫曼树的基本原理,探讨了它在相关领域的实际应用,并采用C++对其进行了算法实现.
关键词:
哈夫曼树;二叉树;带权路径长度;根结点;叶结点
哈夫曼树是由哈夫曼于1951年所创立并改进的,他本人也根据哈夫曼树提出了相应的编码.由于哈夫曼树是具有最小加权路径长度的二叉树,故哈夫曼编码能产生较短的码文.基于这个优势,在信息化高度发达的当今社会,对信息的传递也有着较高要求的我们,希望信息在传递过程中,能够保持节省性和保密性,哈夫曼编码则很好的满足了这方面的要求,因而对其的研究是相当有必要的.
1哈夫曼树
1.1哈夫曼树的基本概念
首先要了解树的概念.树是一种数据结构,是由一个或多个结点组成的有限集合.因其存放方式颇像一棵树又有树杈,因而称其为树.现简要介绍一下相关概念.
定义1.1在一棵树中,从一个结点往下可以达到的孩子或子孙结点之间的通路,称为路径.
定义1.2若将树中结点都赋给一个具有某种含义的数值,则这个数值称为该结点的权.
定义1.3由根结点到所有叶结点的路径长度之和称为二叉树的路径长度.
定义1.4从根结点到叶结点的路径长度与相应结点权值之积的和叫做二叉树的带权路径长度.
定义1.5最优二叉树,也称哈夫曼树,实质是对一组带有确定权值的叶结点,构造的具有最小带权路径长度的二叉树.
如果二叉树中的叶结点都具有一定的权值,则可将这一概念推广,设二叉树有个带权值的叶结点,那么,二叉树的带权路径长度应记为:
其中为第个叶结点的权值;为第个叶结点的路径长度.
现用下图解释上述相关概念
图
在图中,即为根结点,而则为叶结点,若的权值分别为则二叉树路径长度为2,二叉树的带权路径长度为7,即.
例下面我们结合实例来说明哈夫曼树.如果我们给定叶子结点的个数及每个叶子结点的权值构造出若干棵形态各异的二叉树如图所示,其中根结点和叶结点之间的数字表示各叶子结点的权值.
按照的计算方法,经过计算比较后,我们发现,图的值最小,它即为哈夫曼树.
由此可见,由相同权值的一组叶子结点所构成的二叉树有不同的形态和不同的带权路径长度.那么如何找到带权路径长度最小的二叉树呢？
根据哈夫曼树的定义,一棵二叉树要使其值最小,必须使权值越大的叶结点越靠近根结点,而权值越小的叶结点越远离根结点,这样计算树的带权路径长度时,自然树会具有最小的带权路径长度,这是生成算法的一种基本思想.
1.2哈夫曼算法证明
定理1如果是带权的哈夫曼树,其中我们有下述结论成立.
（1）若和是兄弟,则;
（2）和是兄弟,且在所有分支点中,的层数最大;
（3）将带权的分支点改为带权的树叶,得带权为的树,则也是哈夫曼树.
证明:
（1）由顶点的层数定义即知结论显然成立.
（2）若只有2片树叶,则,和是兄弟,是和的父亲,也是根,是唯一的分支点.
设,在所有分支点中,的层数最大,的两个儿子分别是和,
则
,,.
假如,将和互换,得到新的树,记为,
则
因为,当时,,此时显然是兄弟,从而只需考虑的情形,于是有
这与是哈夫曼树矛盾,所以.
同理可证明,因此.这样分别是和,否则将分别与互换,得到一棵树,但
与是哈夫曼树矛盾.
（3）首先可知.假设不是哈夫曼树,是带权的哈夫曼树.在中以的两个儿子和为树叶,成为分支点,得到一棵带权的二叉树,则
因为和都是带权的二叉树,而是哈夫曼树,所以
.
假如,则
.
这与是带权的哈夫曼树矛盾,因此.即为带权的哈夫曼树.
2哈夫曼算法构造
哈夫曼树,实质是对一组带有确定权值的叶结点,构造的具有最小带权路径长度的二叉树.尽管哈夫曼树可以通过比较后得出,可是在运算过程中往往会出现一些问题,使其实现起来并不容易,因而我们可以应用编程来有效地解决这个问题.
2.1哈夫曼树的构造算法
为了构造权值为的哈夫曼树,哈夫曼提出了一种构造算法,现将其陈述如下:
步骤1根据题目给定的个权值构造有下列棵二叉树的集合
其中每棵二叉树中只有一个带权为的根结点,其
左右树均为空;
步骤2在中选取两棵根结点的权值最小的树作为左、右子树构造一棵新的二
叉树,且置新的二叉树的根结点的权值为其左、右子树上根结点的权值之
和;
步骤3在中删除这两棵树,同时将新得到的二叉树加入中;
步骤4重复步骤2和步骤3,直到只含有一棵树为止,这棵树便是哈夫曼树.
2.2举例说明其构造过程
假设叶结点权值集合为的哈夫曼树的构造
第一步我们根据给定的4个权值来构造4棵二叉树的集合.
第二步在找出权值中最小的两个作为新二叉树的左右子树,且置新的二叉树根结点权值是其左右结点权值之和.
第三步将次小的树与新生成的树再作为左右子树生成权值为6的新树;
第四步再次将权值为4的树在同上一个权值为6的树再次生成新树即可.
从以上过程可以计算出这棵二叉树的带权路径长度为19.
3哈夫曼树的应用
3.1用于最佳判断过程
在考查课记分时往往把百分制转换成优秀,良好,中等,及格,不及格五个等级.若不考虑学生考试分数的分布概率,程序判定过程很容易写成所示的方法.一般来讲学生考分大多分布在70至80分之间,从可看出这种情况的值要比较2至3次才能确定等级.而学生中考试不及格的人数很少,值比较一次即可定等级.能否使出现次数多的在70至80分之间的值比较次数减少,而使很少出现的低于60分的值比较次数多一些,以便提高程序的运行效率是一个问题.
X<60
70<=X<80
N
N
Y
Y
80<=X<90
X<70
中等
不及格
N
Y
Y
N
X<80
60<=X<70
良好
及格
N
Y
Y
N
X<90
中等
X<60
优秀
N
Y
Y
N
优秀
及格
不及格
良好
假设学生成绩对于不及格,及格,中等,良好和优秀的分布概率分别为5%,15%,40%,30%,10%,以它们做为叶子的权值来构造哈夫曼树,如图所示.此时带权路径长最短,其值210%.它可以使大部分的分数值经过较少的比较次数得到相应的等级.但是,事物往往不是绝对的,此时每个判断的框内条件都较为复杂,需比较两次,反而降低运行效率.所以我们采用折中作法,调整后得图判定树,更加切合实际.
X<80
Y
N
X<70
X<90
Y
N
Y
N
X<60
中等
良好
优秀
Y
N
不及格
及格
3.2用于通信编码
在电报通讯中,电文是以二进制的序列传送的.在发送端需要将电文中的字符序列转换成二进制的序列,而在接收端又需要把接收的序列转换成对应的字符序列.
例如给出一段电文:
电文中只使用了这四种字符,各字符出现的频度分别是,若进行等长编码,需要两位二进制位,可依次编码为
则所发电文是:
采用不等长编码要避免译码的二义性.例如,字符的编码是字符的编码的前缀部分.这样对于代码串,既是的代码,也是和的代码,因此,这样的编码不能保证译码的唯一性.
所以,若对某一字符集进行不等长编码,可用该字符集中的每个字符作为叶子结点生成一棵编码二叉树,且约定左子树表示字符,右子树表示字符,则可以用从根结点到叶结点路径上的分支字符组成的字符串作为该叶子结点字符的编码.为了获得传送电文的最短长度,可将每个字符出现的频率作为字符结点的权值赋给该结点,从而求出此树的最小带权路径长度就等于求出了传送电文的最短长度.
因此,求传送电文的最短长度问题就转化为求由字符集中所有字符作为叶子结点和由字符的出现频度作为其权值所产生的哈夫曼树的问题.
例如,,各字符出现的概率为,对各概率取整,得到各字符的权值,利用它们构造哈夫曼树,如图所示,则各字符的编码为:
.
在构造了哈夫曼树之后,为求编码需从叶子结点出发走一条从叶子到根的路径,而为求译码需从根出发走一条根到叶子的路径.故哈夫曼编码成功地应用于离散数学与数据结构中的最优二叉树寻找.
4C++程序实现
#include
#include
#include
#defineMax32767/*int型最大可取值*/
typedefstructNode
{
intweight;/*定义权值*/
intparent,Lchild,Rchild;/*定义双亲结点,左、右孩子结点*/
}
HTNode;
typedefchar*HuffmanCode;/*双重指针存储哈夫曼编码*/
voidselect（intw[],intn,int&xb1,int&xb2）/*xb指的是下标*/
{
intmin1,min2;/*min1最小,min2次小*/
min1=w[1];xb1=1;
min2=w[2];xb2=2;
if（min1>min2）
{
min1=w[2];xb1=2;
min2=w[1];xb2=1;/*安排第一和第二个数的显示顺序*/
}
for（inti=3;i<=n;i++）/*n=7遍历>2的数组元素*/
{
if（w[i] {
min2=min1;xb2=xb1;/*第一次遍历,下标
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