抛物线的简单几何性质练习题Word下载.doc
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【解析】 据题意知,△FPM为等边三角形,|PF|=|PM|=|FM|,∴PM⊥抛物线的准线.设P,则M(-1,m),等边三角形边长为1+,又由F(1,0),|PM|=|FM|,得1+=,得m=2,∴等边三角形的边长为4,其面积为4,故选D.
【答案】 D
3.已知抛物线y2=2px(p>0),过其焦点且斜率为1的直线交抛物线于A、B两点,若线段AB的中点的纵坐标为2,则该抛物线的准线方程为( )
A.x=1 B.x=-1
C.x=2 D.x=-2
【解析】 设A(x1,y1),B(x2,y2),代入抛物线方程得:
①-②得,
(y1+y2)(y1-y2)=2p(x1-x2).
又∵y1+y2=4,∴===k=1,∴p=2.
∴所求抛物线的准线方程为x=-1.
【答案】 B
4.(2014·
课标Ⅱ)设F为抛物线C:
y2=3x的焦点,过F且倾斜角为30°
的直线交C于A,B两点,则|AB|=( )
A.B.6C.12D.7
【解析】 焦点F的坐标为,直线AB的斜率为,所以直线AB的方程为y=,
即y=x-,代入y2=3x,
得x2-x+=0,
设A(x1,y1),B(x2,y2),则x1+x2=,
所以|AB|=x1+x2+=+=12,故选C.
二、填空题
5.抛物线y2=x上到其准线和顶点距离相等的点的坐标为________.
【解析】 设抛物线上点的坐标为(x,±
),此点到准线的距离为x+,到顶点的距离为,由题意有x+=,∴x=,∴y=±
,∴此点坐标为.
【答案】
6.(2014·
临沂高二检测)直线y=kx+2与抛物线y2=8x有且只有一个公共点,则k=________.
【解析】 当k=0时,直线与抛物线有唯一交点,当k≠0时,联立方程消y得k2x2+4(k-2)x+4=0,由题意Δ=16(k-2)2-16k2=0,∴k=1.
【答案】 0或1
7.(2014·
湖南)平面上一机器人在行进中始终保持与点F(1,0)的距离和到直线x=-1的距离相等.若机器人接触不到过点P(-1,0)且斜率为k的直线,则k的取值范围是________.
【解析】 设机器人为A(x,y),依题意得点A在以F(1,0)为焦点,x=-1为准线的抛物线上,该抛物线的标准方程为y2=4x.
过点P(-1,0),斜率为k的直线为y=k(x+1).
由得ky2-4y+4k=0.
当k=0时,显然不符合题意;
当k≠0时,依题意得Δ=(-4)2-4k·
4k<
0,
化简得k2-1>
0,解得k>
1或k<
-1,因此k的取值范围为(-∞,-1)∪(1,+∞).
【答案】 (-∞,-1)∪(1,+∞)
三、解答题
8.若抛物线的顶点在原点,开口向上,F为焦点,M为准线与y轴的交点,A为抛物线上一点,且|AM|=,|AF|=3,求此抛物线的标准方程.
【解】 设所求抛物线的标准方程为
x2=2py(p>0),设A(x0,y0),由题知M.
∵|AF|=3,∴y0+=3,
∵|AM|=,
∴x+2=17,
∴x=8,代入方程x=2py0得,
8=2p,解得p=2或p=4.
∴所求抛物线的标准方程为x2=4y或x2=8y.
9.已知直线l经过抛物线y2=6x的焦点F,且与抛物线相交于A,B两点.
(1)若直线l的倾斜角为60°
,求|AB|的值;
(2)若|AB|=9,求线段AB的中点M到准线的距离.
【解】
(1)因为直线l的倾斜角为60°
,所以其斜率k=tan60°
=.
又F,所以直线l的方程为y=.
联立消去y得x2-5x+=0.
设A(x1,y1),B(x2,y2),则x1+x2=5,
而|AB|=|AF|+|BF|=x1++x2+=x1+x2+p,
所以|AB|=5+3=8.
(2)设A(x1,y1),B(x2,y2),由抛物线定义知
|AB|=|AF|+|BF|=x1+x2+p=x1+x2+3,所以x1+x2=6,于是线段AB的中点M的横坐标是3.
又准线方程是x=-,所以M到准线的距离为3+=.
1.(2014·
湖南省长沙一中期中考试)已知抛物线x2=2py(p>
0)的焦点为F,过F作倾斜角为30°
的直线与抛物线交于A,B两点,若∈(0,1),则=( )
A.B.C.D.
【解析】 因为抛物线的焦点为F,故过点F且倾斜角为30°
的直线的方程为y=x+,与抛物线方程联立得x2-px-p2=0,解方程得xA=-p,xB=p,所以==,故选C.
2.(2013·
大纲卷)已知抛物线C:
y2=8x与点M(-2,2),过C的焦点且斜率为k的直线与C交于A,B两点,若·
=0,则k=( )
A.B.C.D.2
【解析】 由题意可知抛物线的焦点坐标为(2,0),则过焦点且斜率为k的直线的方程为y=k(x-2),与抛物线方程联立,消去y化简得k2x2-(4k2+8)x+4k2=0,设点A(x1,y1),B(x2,y2),则x1+x2=4+,x1x2=4,所以y1+y2=k(x1+x2)-4k=,y1y2=k2[x1x2-2(x1+x2)+4]=-16,因为·
=0,所以(x1+2)(x2+2)+(y1-2)(y2-2)=0(*),将上面各个量代入(*),化简得k2-4k+4=0,所以k=2,故选D.
3.抛物线x2=2py(p>
0)的焦点为F,其准线与双曲线-=1相交于A,B两点,若△ABF为等边三角形,则p=________.
【解析】 由于x2=2py(p>
0)的准线为y=-,由
解得准线与双曲线x2-y2=3的交点为
,B,所以AB=2.
由△ABF为等边三角形,得AB=p,解得p=6.
【答案】 6
4.已知抛物线x=-y2与过点(-1,0)且斜率为k的直线相交于A,B两点,O为坐标原点,当△OAB的面积等于时,求k的值.
【解】 过点(-1,0)且斜率为k的直线方程为y=k(x+1),
由方程组消去x,整理得ky2+y-k=0,
设A(x1,y1),B(x2,y2),由根与系数之间的关系得y1+y2=-,y1y2=-1.
设直线与x轴交于点N,显然N点的坐标为(-1,0).
∵S△OAB=S△OAN+S△OBN=|ON||y1|+|ON||y2|=|ON||y1-y2|,
∴S△OAB===,
解得k=-或.