高考数学一轮总复习专题定积分练习理Word下载.doc
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(1)微积分基本定理:
如果是区间上的连续函数,并且,那么
使用微积分基本定理,关键是能够找到以为导函数的原函数。
所以常见的初等函数的导函数公式要熟记于心:
①寻找原函数通常可以“先猜再调”,先根据导函数的形式猜出原函数的类型,再调整系数,例如:
,则判断属于幂函数类型,原函数应含,但,而,所以原函数为(为常数)
②如果只是求原函数,则要在表达式后面加上常数,例如,则,但在使用微积分基本定理时,会发现计算时会消去,所以求定积分时,不需加上常数。
(2)利用定积分的几何含义:
若被积函数找不到原函数,但定积分所对应的曲边梯形面积易于求解,则可通过求曲边梯形的面积求定积分。
但要注意曲边梯形若位于轴的下方,则面积与所求定积分互为相反数。
4、定积分的运算性质:
假设存在
(1)
作用:
求定积分时可将的系数放在定积分外面,不参与定积分的求解,从而简化的复杂程度
(2)
可将被积函数拆成一个个初等函数的和,从而便于寻找原函数并求出定积分,例如
(3),其中
当被积函数含绝对值,或者是分段函数时,可利用此公式将所求定积分按区间进行拆分,分别求解。
5、若具备奇偶性,且积分限关于原点对称,则可利用奇偶性简化定积分的计算
(1)若为奇函数,则
(2)若为偶函数,则
6、利用定积分求曲面梯形面积的步骤:
(1)通过作图确定所求面积的区域
(2)确定围成区域中上,下曲线对应的函数
(3)若时,始终有,则该处面积为
7、有的曲面梯形面积需用多个定积分的和进行表示。
需分段通常有两种情况
(1)构成曲面梯形的函数发生变化
(2)构成曲面梯形的函数上下位置发生变化,若要面积与定积分的值一致,则被积函数要写成“上方曲线的函数下方曲线函数”的形式。
所以即使构成曲面梯形的函数不变,但上下位置发生过变化,则也需将两部分分开来写。
融会贯通
题型一 定积分的计算
典例1
(1)(2017·
九江模拟)若ʃ(2x+λ)dx=2(λ∈R),则λ等于( )
A.0B.1C.2D.-1
(2)定积分ʃ|x2-2x|dx等于( )
A.5B.6C.7D.8
【答案】
(1)B
(2)D
【解题技巧与方法总结】
运用微积分基本定理求定积分时要注意以下几点:
(1)对被积函数要先化简,再求积分;
(2)求被积函数为分段函数的定积分,依据定积分“对区间的可加性”,先分段积分再求和;
(3)对于含有绝对值符号的被积函数,要先去掉绝对值号再求积分.
【变式训练】
(1)若则实数a的值为( )
A.-1B.1C.-D.
(2)设f(x)=则ʃf(x)dx等于( )
A.B.C.D.
【答案】
(1)A
(2)C
【解析】
=0-a-(-1-0)=1-a=2,
∴a=-1.
(2)ʃf(x)dx=ʃx2dx+ʃ(2-x)dx
=x3|+(2x-x2)|
=+(4-×
4)-(2-)
=.
题型二 定积分的几何意义
命题点1 利用定积分的几何意义计算定积分
典例2
(1)计算:
ʃdx=________.
(2)若ʃdx=,则m=________.
【答案】
(1)π
(2)-1
命题点2 求平面图形的面积
典例3 (2017·
青岛月考)由曲线xy=1,直线y=x,y=3所围成的封闭平面图形的面积为______.
【答案】 4-ln3
【解析】 由xy=1,y=3可得交点坐标为(,3).
由xy=1,y=x可得交点坐标为(1,1),
由y=x,y=3得交点坐标为(3,3),
由曲线xy=1,直线y=x,y=3所围成图形的面积为
=(3-1-ln3)+(9--3+)=4-ln3.
(1)根据定积分的几何意义可计算定积分;
(2)利用定积分求平面图形面积的四个步骤
①画出草图,在直角坐标系中画出曲线或直线的大致图象;
②借助图形确定出被积函数,求出交点坐标,确定积分的上、下限;
③把曲边梯形的面积表示成若干个定积分的和;
④计算定积分,写出答案.
(1)定积分ʃdx的值为( )
A.9π B.3π
C.π D.π
(2)由曲线y=2x2,直线y=-4x-2,直线x=1围成的封闭图形的面积为________.
【答案】
(1)C
(2)
题型三 定积分在物理中的应用
典例4 一辆汽车在高速公路上行驶,由于遇到紧急情况而刹车,以速度v(t)=7-3t+(t的单位:
s,v的单位:
m/s)行驶至停止.在此期间汽车继续行驶的距离(单位:
m)是( )
A.1+25ln5 B.8+25ln
C.4+25ln5 D.4+50ln2
【答案】 C
【解析】 令v(t)=0,得t=4或t=-(舍去),
∴汽车行驶距离s=ʃ(7-3t+)dt
=|
=28-24+25ln5=4+25ln5.
定积分在物理中的两个应用
(1)变速直线运动的位移:
如果变速直线运动物体的速度为v=v(t),那么从时刻t=a到t=b所经过的路程s=ʃv(t)dt.
(2)变力做功:
一物体在变力F(x)的作用下,沿着与F(x)相同方向从x=a移动到x=b时,力F(x)所做的功是W=ʃF(x)dx.
【变式训练】一物体在变力F(x)=5-x2(力单位:
N,位移单位:
m)作用下,沿与F(x)成30°
方向作直线运动,则由x=1运动到x=2时,F(x)做的功为( )
A.JB.JC.JD.2J
【知识链接】
1.定积分的概念
在ʃf(x)dx中,a,b分别叫做积分下限与积分上限,区间叫做积分区间,函数f(x)叫做被积函数,x叫做积分变量,f(x)dx叫做被积式.
2.定积分的性质
(1)ʃkf(x)dx=kʃf(x)dx(k为常数);
(2)ʃdx=ʃf1(x)dx±
ʃf2(x)dx;
(3)ʃf(x)dx=ʃf(x)dx+ʃf(x)dx(其中a<
c<
b).
3.微积分基本定理
一般地,如果f(x)是区间上的连续函数,且F′(x)=f(x),那么ʃf(x)dx=F(b)-F(a),这个结论叫做微积分基本定理,又叫做牛顿—莱布尼茨公式.
为了方便,常把F(b)-F(a)记作F(x)|,即ʃf(x)dx=F(x)|=F(b)-F(a).
练习检测
1.【河北省衡水中学2017届高三下学期第二次摸底考试数学(理)试题】已知,则二项式的展开式中的常数项为()
A.B.C.D.
【答案】B
2.【辽宁省实验中学2017届高三下学期第六次模拟考试数学(理)试卷】如图所示,正弦曲线,余弦曲线与两直线,所围成的阴影部分的面积为()
A.1B.C.2D.
【答案】D
,选D.
3.【江西省重点中学盟校2017届高三第二次联考数学(理)试题】如图,在边长为的正方形中,是的中点,过三点的抛物线与围成阴影部分,则向正方形内撒一粒黄豆落在阴影部分的概率是()
4.【重庆市巴蜀中学2017届高三三诊考试理科数学试卷】若,则二项式展开式中的常数项是()
A.20B.-20C.-540D.540
【答案】C
【解析】由题意可知,二项式变为,,所以,系数为-540.所以选C.
5.(2017甘肃兰州第一中学冲刺模拟,8).任取实数,则满足的概率为
A.B.C.D.
【解析】如图示:
,
,∴满足条件的概率为:
故选D.
6.(2017重庆巴蜀中学高三三诊,6).若,则二项式展开式中的常数项是()
7.(2017河北石家庄高三冲刺模考,10).在抛物线与直线围成的封闭图形内任取一点,为坐标原点,则直线被该封闭图形解得的线段长小于的概率是()
【解析】
如图圆的方程为,由圆方程,直线方程,抛物线方程知,.
整个密闭区域的面积为,满足条件的区域面积为.由几何概型知所求概率为.故本题答案选.
8.(2017太原市高三年级模拟试题(三),14).=__________.
【答案】
【解析】由定积分的几何意义可知表示的是半径为1的半圆的面积,即:
,而函数是奇函数,则,
由微积分的运算法则可得=.
9.(2017厦门外国语学校高三适应性考试,14).二项式的展开式的第二项的系数为,则的值为__________.
【答案】3
10.(2017河北省石家庄二中三模,13).__________.
【解析】试题分析:
其中表示半径为的圆的面积的,,,因此原式等于,故填.
考点:
定积分的计算.
11.(2017湖北襄阳四中5月适应性考试,14).已知函数()的图象和直线围成一个封闭的平面图形,则这个封闭图形的面积是__________.
【解析】由定积分的定义结合题意可得这个封闭图形的面积是.
12.(2017福州一中高三最后一模,13).__________.
13.(2017甘肃西北师大附中四诊,13).设,则二项式的展开式中含项的系数为__________.
【答案】12
【解析】因为,所以,由于通项公式,令,则,应填答案。
14.【湖北省襄阳第四中学2017届高三下学期5月适应性考试数学(理)试题】已知函数()的图象和直线围成一个封闭的平面图形,则这个封闭图形的面积是__________.
15.【吉林省实验中学2017届高三第九次模拟考试数学(理)试题】
边界在直线及曲线上的封闭的图形的面积为_______
16.【河北省2017届衡水中学押题卷理数I】已知实数,满足不等式组且的最大值为,则=__________.
【答案】
17.【江西省赣州市2017届高三第二次模拟考试数学(理)试题】如图所示,由直线,及轴围成的曲边梯形的面积介于小矩形与大矩形的面积之间,即.类比之,若对,不等式恒成立,则实数等于__________.
【答案】2
【解析】因为,所以
即
18.【2017届天津市南开中学高三第五次月考数学(理工类)试卷】函数在点(1,2)处的切线与函数围成的图形的面积等于__________.