高中数学人教版必修二第二章Word格式.doc
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其中真命题的序号是（）．
A．①② B．③④ C．①④ D．②③
4．给出下列四个命题：
①垂直于同一直线的两条直线互相平行
②垂直于同一平面的两个平面互相平行
③若直线l1，l2与同一平面所成的角相等，则l1，l2互相平行
④若直线l1，l2是异面直线，则与l1，l2都相交的两条直线是异面直线
其中假命题的个数是（）．
A．1 B．2 C．3 D．4
5．下列命题中正确的个数是（）．
①若直线l上有无数个点不在平面a内，则l∥a
②若直线l与平面a平行，则l与平面a内的任意一条直线都平行
③如果两条平行直线中的一条直线与一个平面平行，那么另一条直线也与这个平面平行
④若直线l与平面a平行，则l与平面a内的任意一条直线都没有公共点
A．0个 B．1个 C．2个 D．3个
6．两直线l1与l2异面，过l1作平面与l2平行，这样的平面（）．
A．不存在 B．有唯一的一个 C．有无数个 D．只有两个
7．把正方形ABCD沿对角线AC折起，当以A，B，C，D四点为顶点的三棱锥体积最大时，直线BD和平面ABC所成的角的大小为（）．
A．90°
B．60°
C．45°
D．30°
8．下列说法中不正确的是（）．
A．空间中，一组对边平行且相等的四边形一定是平行四边形
B．同一平面的两条垂线一定共面
C．过直线上一点可以作无数条直线与这条直线垂直，且这些直线都在同一个平面内
D．过一条直线有且只有一个平面与已知平面垂直
9．给出以下四个命题：
①如果一条直线和一个平面平行，经过这条直线的一个平面和这个平面相交，那么这条直线和交线平行
②如果一条直线和一个平面内的两条相交直线都垂直，那么这条直线垂直于这个平面
③如果两条直线都平行于一个平面，那么这两条直线互相平行
④如果一个平面经过另一个平面的一条垂线，那么些两个平面互相垂直
其中真命题的个数是（）．
A．4B．3 C．2 D．1
10．异面直线a，b所成的角60°
，直线a⊥c，则直线b与c所成的角的范围为（ ）．
A．[30°
，90°
]B．[60°
] C．[30°
，60°
] D．[30°
，120°
]
二、填空题
11．已知三棱锥P－ABC的三条侧棱PA，PB，PC两两相互垂直，且三个侧面的面积分别为S1，S2，S3，则这个三棱锥的体积为．
12．P是△ABC所在平面a外一点，过P作PO⊥平面a，垂足是O，连PA，PB，PC．
（1）若PA＝PB＝PC，则O为△ABC的心；
（2）PA⊥PB，PA⊥PC，PC⊥PB，则O是△ABC的心；
（3）若点P到三边AB，BC，CA的距离相等，则O是△ABC的心；
（4）若PA＝PB＝PC，∠C＝90º
，则O是AB边的点；
J
（第13题）
（5）若PA＝PB＝PC，AB＝AC，则点O在△ABC的线上．
13．如图，在正三角形ABC中，D，E，F分别为各边的中点，G，H，I，J分别为AF，AD，BE，DE的中点，将△ABC沿DE，EF，DF折成三棱锥以后，GH与IJ所成角的度数为．
14．直线l与平面a所成角为30°
，l∩a＝A，直线m∈a，则m与l所成角的取值范围
是．
15．棱长为1的正四面体内有一点P，由点P向各面引垂线，垂线段长度分别为d1，d2，d3，d4，则d1＋d2＋d3＋d4的值为．
16．直二面角a－l－b的棱上有一点A，在平面a，b内各有一条射线AB，AC与l成45°
，ABa，ACb，则∠BAC＝．
三、解答题
17．在四面体ABCD中，△ABC与△DBC都是边长为4的正三角形．
（1）求证：
BC⊥AD；
（第17题）
（2）若点D到平面ABC的距离等于3，求二面角A－BC－D的正弦值；
（3）设二面角A－BC－D的大小为q，猜想q为何值时，四面体A－BCD的体积最大．（不要求证明）
18．如图，在长方体ABCD—A1B1C1D1中，AB＝2，BB1＝BC＝1，E为D1C1的中点，连结ED，EC，EB和DB．
平面EDB⊥平面EBC；
（2）求二面角E－DB－C的正切值.
（第18题）
19*．如图，在底面是直角梯形的四棱锥Ｓ－ABCD中，AD∥BC，∠ABC＝90°
，
SA⊥面ABCD，SA＝AB＝BC＝１，AD＝．
（1）求四棱锥S—ABCD的体积；
（2）求面SCD与面SBA所成的二面角的正切值．
（提示：
延长BA，CD相交于点E，则直线SE是
所求二面角的棱.）
（第19题）
20*．斜三棱柱的一个侧面的面积为10，这个侧面与它所对棱的距离等于6，求这个棱柱的体积．（提示：
在AA1上取一点P，过P作棱柱的截面，使AA1垂直于这个截面.）
（第20题）
第二章点、直线、平面之间的位置关系
参考答案
1．D
解析：
命题②有反例，如图中平面a∩平面b＝直线n，
la，mb，
且l∥n，m⊥n，则m⊥l，显然平面a不垂直平面b，（第1题）
故②是假命题；
命题①显然也是假命题，
2．D
异面直线AD与CB1角为45°
．
3．D
在①、④的条件下，m，n的位置关系不确定．
4．D
利用特殊图形正方体我们不难发现①②③④均不正确，故选择答案D．
5．B
学会用长方体模型分析问题，A1A有无数点在平面ABCD外，但AA1与平面ABCD相交，①不正确；
A1B1∥平面ABCD，显然A1B1不平行于BD，②不正确；
A1B1∥AB，A1B1∥平面ABCD，但AB平面ABCD内，③不正确；
l与平面α平行，则l与a无公共点，l与平面a内的所有直线都没有公共点，④正确，应选B．（第5题）
6．B
设平面a过l1，且l2∥a，则l1上一定点P与l2确定一平面b，b与a的交线l3∥l2，且l3过点P.又过点P与l2平行的直线只有一条，即l3有唯一性，所以经过l1和l3的平面是唯一的，即过l1且平行于l2的平面是唯一的.
7．C
当三棱锥D－ABC体积最大时，平面DAC⊥ABC，取AC的中点O，则△DBO是等腰直角三角形，即∠DBO＝45°
8．D
A．一组对边平行就决定了共面；
B．同一平面的两条垂线互相平行，因而共面；
C．这些直线都在同一个平面内即直线的垂面；
D．把书本的书脊垂直放在桌上就明确了．
9．B
因为①②④正确，故选B．
10．A
异面直线，所成的角为60°
，直线⊥，过空间任一点P，作直线a’∥a，b’∥b，c’∥c.若a’，b’，c’共面则b’与c’成30°
角，否则’与’所成的角的范围为（30°
]，所以直线b与c所成角的范围为[30°
]．
11．．
设三条侧棱长为a，b，c．
则ab＝S1，bc＝S2，ca＝S3三式相乘：
∴a2b2c2＝S1S2S3，
∴abc＝2．
∵三侧棱两两垂直，
∴V＝abc·
＝．
12．外，垂，内，中，BC边的垂直平分．
（1）由三角形全等可证得O为△ABC的外心；
（2）由直线和平面垂直的判定定理可证得，O为△ABC的垂心；
（3）由直线和平面垂直的判定定理可证得，O为△ABC的内心；
（4）由三角形全等可证得，O为AB边的中点；
（5）由
（1）知，O在BC边的垂直平分线上，或说O在∠BAC的平分线上．
13．60°
将△ABC沿DE，EF，DF折成三棱锥以后，GH与IJ所成角的度数为60°
14．[30°
]．
直线l与平面a所成的30°
的角为m与l所成角的最小值，当m在a内适当旋转就可以得到l⊥m，即m与l所成角的的最大值为90°
15．．
作等积变换：
×
（d1＋d2＋d3＋d4）＝·
h，而h＝．
16．60°
或120°
不妨固定AB，则AC有两种可能．
17．证明：
（1）取BC中点O，连结AO，DO．
∵△ABC，△BCD都是边长为4的正三角形，
∴AO⊥BC，DO⊥BC，且AO∩DO＝O，
∴BC⊥平面AOD．又AD平面AOD，
∴BC⊥AD．（第17题）
解：
（2）由
（1）知∠AOD为二面角A－BC－D的平面角，设∠AOD＝q，则过点D作DE⊥AD，垂足为E．
∵BC⊥平面ADO，且BC平面ABC，
∴平面ADO⊥平面ABC．又平面ADO∩平面ABC＝AO，
∴DE⊥平面ABC．
∴线段DE的长为点D到平面ABC的距离，即DE＝3．
又DO＝BD＝2，
在Rt△DEO中，sinq＝＝，
故二面角A－BC－D的正弦值为．
（3）当q＝90°
时，四面体ABCD的体积最大．
18．证明：
（1）在长方体ABCD－A1B1C1D1中，AB＝2，BB1＝BC＝1，E为D1C1的中点．∴△DD1E为等腰直角三角形，∠D1ED＝45°
．同理∠C1EC＝45°
．∴，即DE⊥EC．
在长方体ABCD－中，BC⊥平面，又DE平面，
∴BC⊥DE．又，∴DE⊥平面EBC．∵平面DEB过DE，∴平面DEB⊥平面EBC．
（2）解：
如图，过E在平面中作EO⊥DC于O．在长方体ABCD－中，∵面ABCD⊥面，∴EO⊥面ABCD．过O在平面DBC中作OF⊥DB于F，连结EF，∴EF⊥BD．∠EFO为二面角E－DB－C的平面角．利用平面几何知识可得OF＝，（第18题）
又OE＝1，所以，tanEFO＝．
19*．解：
（1）直角梯形ABCD的面积是M底面＝＝，
∴四棱锥S—ABCD的体积是V＝·
SA·
M底面＝×
1×
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