高中数学竞赛(07-11)试题之立体几何教师版Word文件下载.doc

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cm)的正方体的表面积之和为564cm2,则这三个正方体的体积之和为(A)

A.764cm3或586cm3B.764cm3 

C.586cm3或564cm3D.586cm3

[解]设这三个正方体的棱长分别为,则有,,不妨设,从而,.故.只能取9,8,7,6.若,则,易知,,得一组解.

若,则,.但,,从而或5.若,则无解,若,则无解.此时无解.

若,则,有唯一解,.

若,则,此时,.故,但,故,此时无解.综上,共有两组解或

体积为cm3或cm3.

3.(08江苏)设a,b是夹角为30°

的异面直线,则满足条件“,,且”的平面,答:

[D]

A.不存在B.有且只有一对C.有且只有两对D.有无数对

解任作a的平面,可以作无数个.在b上任取一点M,过M作的垂线.b与垂线确定的平面垂直于.选D.

4.(08湖南)连结球面上两点的线段称为球的弦.半径为4的球的两条弦AB、CD的长度分别等于和,、分别为、的中点,每两条弦的两端都在球面上运动,有下面四个命题:

①弦、可能相交于点②弦、可能相交于点

③的最大值为5④的最小值为1

其中真命题为()

A.①③④B.①②③C.①②④D.②③④

解答:

假设、相交于点,则、共面,所以、、、四点共圆,而过圆的弦的中点的弦的长度显然有,所以②是错的.容易证明,当以为直径的圆面与以为直径的圆面平行且在球心两侧时,最大为5,故③对.当以为直径的圆面与以为直径的圆面平行且在球心同侧时,最小为1,故④对.显然是对的.①显然是对的.故选A.

5.(08江西)四面体的六条棱长分别为,且知,则.

 、 ;

、 ;

 、.

答案:

.

四面体中,除外,其余的棱皆与相邻接,若长的棱与相邻,不妨设,据构成三角形条件,可知,,

,于是中,两边之和小于第三边,矛盾。

6.(08浙江)圆锥的轴截面SAB是边长为2的等边三角形,O为底面中心,M为SO的中点,动点P在圆锥底面内(包括圆周)。

若AM⊥MP,则P点形成的轨迹的长度为(B)

A.B.C.3D.

7.(10浙江)在正三棱柱ABC—A1B1C1中,若AB=BB1,则CA1与C1B所成的角的大小是(C)

A.60°

B.75°

C.90°

D.105°

C。

建立空间直角坐标系,以所在的直线为轴,在平面上垂直于的直线为轴,所在的直线为轴。

,。

8.(11浙江)设有一立体的三视图如下,则该立体体积为(A)

2

3

1

2

2

正视图侧视图俯视图(圆和正方形)

A.4+B.4+C.4+D.4+

该几何体是一个圆柱与一个长方体的组成,其中重叠了一部分(),所以该几何体的体积为。

正确答案为A。

二、填空题

1.(07全国)已知正方体ABCD−A1B1C1D1的棱长为1,以顶点A为球心,为半径作一个球,则球面与正方体的表面相交所得到的曲线的长等于___。

如图,球面与正方体的六个面都相交,所得的交线分为两类:

一类在顶点A所在的三个面上,即面AA1B1B、面ABCD和面AA1D1D上;

另一类在不过顶点A的三个面上,即面BB1C1C、面CC1D1D和面A1B1C1D1上。

在面AA1B1B上,交线为弧EF且在过球心A的大圆上,因为,AA1=1,则。

同理,所以,故弧EF的长为,而这样的弧共有三条。

在面BB1C1C上,交线为弧FG且在距球心为1的平面与球面相交所得的小圆上,此时,小圆的圆心为B,半径为,,所以弧FG的长为。

这样的弧也有三条。

于是,所得的曲线长为。

2.(08全国)一个半径为1的小球在一个内壁棱长为的正四面体容器内可向各个方向自由运动,则该小球永远不可能接触到的容器内壁的面积是.

[解]如答12图1,考虑小球挤在一个角时的情况,记小球半径为,作平面//平面,与小球相切于点,则小球球心为正四面体的中心,,垂足为的中心.

答12图1

故,从而.

记此时小球与面的切点为,连接,则

考虑小球与正四面体的一个面(不妨取为)相切时的情况,易知小球在面上最靠近边的切点的轨迹仍为正三角形,记为,如答12图2.记正四面体

的棱长为,过作于.

答12图2

因,有,故小三角形的边长.

小球与面不能接触到的部分的面积为(如答12图2中阴影部分)

.         

又,,所以

由对称性,且正四面体共4个面,所以小球不能接触到的容器内壁的面积共为.

3.(09湖北)已知正方体的棱长为1,O为底面ABCD的中心,M,N分别是棱A1D1和CC1的中点.则四面体的体积为.

4.(10全国)正三棱柱的9条棱长都相等,是的中点,二面角,则.

如图,.

设与交于点则

.

从而平面.

过在平面上作,垂足为.

连结,则为二面角的平面角.

设,则易求得

在直角中,,

即.

又.

5.(08河北)在三棱锥中,,,,,,.则三棱锥体积的最大值为.

设,根据余弦定理有,

故,.由于棱锥的高不超过它的侧棱长,所以.事实上,取,且时,可以验证满足已知条件,此时,棱锥体积可以达到最大.

6.(08江西)四面体中,面与面成的二面角,顶点在面上的射影是的垂心,是的重心,若,,则.

设面交于,则因,故在上,且,

,于是,,,在三角形中,由余弦定理得

7.(11浙江)直三棱柱,底面是正三角形,P,E分别为,上的动点(含端点),D为BC边上的中点,且。

则直线的夹角为__。

因为平面ABC⊥平面,AD⊥BC,所以AD⊥平面,所以

AD⊥PE,又PE⊥PD,PE⊥平面APD,所以PE⊥PD。

即夹角为。

8.(11模拟)如图,有一个半径为20的实心球,以某条直径为中心轴挖去一个半径为12的圆形的洞,再将余下部分融铸成一个新的实心球,那么新球的半径是16。

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