高考湖南文科数学试题及答案word解析版Word文档格式.docx
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【解析】抽样比为，所以甲抽取6件，乙抽取4件，丙抽取3件，∴，故选D．
（4）
【2013年湖南，文4，5分】已知是奇函数，是偶函数，且，，则等于（）
（A）4（B）3（C）2（D）1
【答案】B
【解析】∵是奇函数，是偶函数，∴，即①
，即②由①+②得，故选B．
（5）
【2013年湖南，文5】在锐角中，角，所对的边长分别为．若，则角等于（）
（A）（B）（C）（D）
【解析】∵，∴．∵，∴．∵，∴，故选A．
（6）
【2013年湖南，文6，5分】函数的图像与函数的图像的交点个数为（）
（A）0（B）1（C）2（D）3
【答案】C
【解析】利用图象知，有两个交点，故选C．
（7）
【2013年湖南，文7，5分】已知正方体的棱长为1，其俯视图是一个面积为1的正方形，侧视图是一个面积为的矩形，则该正方体的正视图的面积等于（）
（A）（B）1（C）（D）
【解析】如图所示，正方体的俯视图为，侧视图为，此时满足其面积为，故该正方体的正视图应为．又因，故其面积为，故选D．
（8）
【2013年湖南，文8，5分】已知是单位向量，．若向量满足，则||的最
大值为（）
（A）（B）（C）（D）
【答案】C
【解析】可利用特殊值法求解．可令，，．由，得，
∴．即为，可看成上的点到原点的距离，∴，
故选C．
（9）
【2013年湖南，文9，5分】已知事件“在矩形的边上随机取一点，使的最大边是”发生的概率为，则（）
（A）（B）（C）（D）
【解析】如图，设，．由于为最大边的概率是，则在上运动满足条
件，且，即或．∴，即，
即，∴．∴．又∵，故选D．
二、填空题：
本大题共6小题，每小题5分，共30分．把答案填在答题卡的相应位置．
（10）
【2013年湖南，文10，5分】已知集合，则．
【答案】
【解析】，∴．
（11）
【2013年湖南，文11，5分】在平面直角坐标系中，若直线（为参数）和直线（为参数）平行，则常数的值为．
【答案】4
【解析】的普通方程为：
，的普通方程为：
，即，∴．
（12）
【2013年湖南，文12，5分】执行如图所示的程序框图，如果输入，，则输出
的的值为．
【答案】9
【解析】输入，不满足a>
8，故；
不满足，故；
不满足，
故；
不满足，故，满足，终止循环．输出．
（13）
【2013年湖南，文13，5分】若变量满足约束条件，则的最大值为．
【答案】6
【解析】画出可行域，令，易知在处取得最大值6．
（14）
【2013年湖南，文14，5分】设是双曲线，（，）的两个焦点．若
在上存在一点，使，且，则的离心率为．
【解析】如图所示，∵，，可得．由双曲线定义知，，
由得，即，即，
∴，∴．
（15）
【2013年湖南，文15，5分】对于的子集，定义的“特征数列”为
，其中，其余项均为0，例如子集的“特征数列”为0，1，1，0，0，…，0．
（1）子集的“特征数列”的前三项和等于；
（2）若的子集的“特征数列”满足，，；
的子集的“特征数列”满足，，，则的元素个数为．
（1）2；
（2）17
【解析】
（1）的特征数列为1，0，1，0，1，0，…，0，∴前3项和为2．
（2）根据题意知，P的特征数列为1，0，1，0，1，0，…，则有50个元素，的特征数列为1，0，0，1，0，0，1，…，则有34个元素，
∴，共有个．
三、解答题：
本大题共6题，共75分．解答应写出文字说明，演算步骤或证明过程．
（16）
【2013年湖南，文16，12分】已知函数．
（1）求的值；
（2）求使成立的的取值集合．
解：
（1）==．
．等价于，即．
于是．解得．
故使成立的x的取值集合为．
（17）
【2013年湖南，文17，12分】如图，在直棱柱中，，，，是的中点，点在菱上运动．
（1）证明：
；
（2）当异面直线所成的角为时，求三棱柱的体积．
因为，是的中点，所以．①又在直三棱柱
中，平面，而平面，所以．②
由①，②得平面．由点在棱上运动，得平面，所以．
（2）因为，所以是异面直线，所成的角，由题设，，
因为，所以，又，从而平面，于是．
故，又，所以，
从而．
（18）
【2013年湖南，文18，12分】某人在如图3所示的直角边长为4米的三角形地块的每个格点（指纵、横直线的交叉点以及三角形的顶点）处都种了一株相同品种的作物．根据历年的种植经验，一株该种作物的年收货量（单位：
kg）与它的“相近”作物株数之间的关系如下表所示：
这里，两株作物“相近”是指它们之间的直线距离不超过1米．
（1）完成下表，并求所种作物的平均年收获量；
（2）在所种作物中随机选取一株，求它的年收获量至少为48kg的概率．
（1）所种作物的总株数为1+2+3+4+5=15，其中“相近”作物株数为1的作物有2株，“相近”作物株数为2的
作物有4株，“相近”作物株数为3的作物有6株，“相近”作物株数为4的作物有3株．列表如下：
Y
51
48
45
42
频数
2
4
6
3
所种作物的平均年收获量为：
=．
（2）由
（1）知，，．故在所种作物中随机选取一株，它的年收获量至少为48
kg的概率为．
（19）
【2013年湖南，文19，13分】设为数列的前项和，已知，，．
（1）求，，并求数列的通项公式；
（2）求数列的前项和．
（1）令，得，即．因为，所以．令，得．
解得．当时，由两式相减得．即．
于是数列是首项为1，公比为2的等比数列．因此，．所以数列的通项公式为．
（2）由
（1）知，．记数列的前项和为，于是①
．②①-②得：
．
（20）
【2013年湖南，文20，13分】已知，分别是椭圆的左、右焦点，关于直线的对称点是圆的一条直径的两个端点．
（1）求圆的方程；
（2）设过点的直线被椭圆和圆所截得的弦长分别为，．当最大时，求直线的方程．
（1）由题设知，，的坐标分别为，，圆的半径为2，圆心为原点关于直线的对称点．设圆心坐标为，由得，圆的方程为．
（2）由题意，可设直线的方程为，则圆心到直线的距离．
所以．由得．
设与的两个交点坐标分别为，，则，．
于是
．从而
．当且仅当，时等号成立．
故当时，最大，此时，直线的方程为或，
即，或．
（21）
【2013年湖南，文21，13分】已知函数．
（1）求的单调区间；
（2）证明：
当时，．
（1）函数的定义域为．==．
当时，；
当时，．的单调递增区间为，单调递减区间为．
（2）当时，由于，，故；
同理，当时，．当
时，不妨设，由
（1）知，．下面证明：
，，即证
，等价于．令，则．
当时，，单调递减，从而g（x）<
g（0）=0．即．
所以，．而，所以，从而．
由于，，在上单调递增，所以，即．
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