高考数学专题轨迹方程问题汇总已可排版打印详细解析新人教A版Word文档下载推荐.doc

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∴

又|NF2|=|PN|－|PF2|=|PF1|－|PF2|=2a=4,

∴（x0－2）2+y02=16.

∴（2x+2－2）2+（2y）2=16.∴x2+y2=4.

评注:

适当运用平面几何知识把条件进行转化，会给我们解题带来方便.

17.（本小题满分12分）如图，某农场在P处有一堆肥，今要把这堆肥料沿道路PA或PB送到庄稼地ABCD中去，已知PA=100m，PB=150m，∠APB=60°

.能否在田地ABCD中确定一条界线，使位于界线一侧的点，沿道路PA送肥较近；

而另一侧的点，沿道路PB送肥较近?

如果能，请说出这条界线是一条什么曲线，并求出其方程.

设M是这种界线上的点，

则必有|MA|+|PA|=|MB|+|PB|,

即|MA|－|MB|=|PB|－|PA|=50.

∴这种界线是以A、B为焦点的双曲线靠近B点的一支.建立以AB为x轴，AB中点O为原点的直角坐标系，则曲线为－=1,

其中a=25,c=|AB|.

∴c=25,b2=c2－a2=3750.

∴所求曲线方程为－=1（x≥25,y≥0）.

18.（本小题满分12分）已知点F（1，0），直线l:

x=2.设动点P到直线l的距离为d,且|PF|=d,≤d≤.

（1）求动点P的轨迹方程；

（2）若·

=，求向量与的夹角.

（1）根据椭圆的第二定义知，点P的轨迹为椭圆.由条件知c=1,=2,∴a=.

e===满足|PF|=d.

∴P点的轨迹为+=1.

又d=－x,且≤d≤,

∴≤2－x≤.∴≤x≤.

∴轨迹方程为+y2=1（≤x≤）.

（2）由

（1）可知，P点的轨迹方程为+y2=1（≤x≤）,∴F（1,0）、P（x0,y0）.

=（1,0）,=（x0,y0）,=（1－x0,－y0）.

∵·

=,∴1－x0=.

∴x0=,y0=±

.

又·

=||·

||·

cosθ,

∴1·

x0+0·

y0=·

1·

cosθ.

∴cosθ====.

∴θ=arccos.

1．【苍山诚信中学·

文科】21．（本小题满分12分）

如图所示，已知圆为圆上一动点，点P在AM上，

点N在CM上，且满足的轨迹为曲线E.

（I）求曲线E的方程；

（II）过点A且倾斜角是45°

的直线l交曲线E于两点H、Q，求|HQ|.

【解】

（1）

∴NP为AM的垂直平分线，∴|NA|=|NM|.……2分

又

∴动点N的轨迹是以点C（－1，0），A（1，0）为焦点的椭圆.

且椭圆长轴长为焦距2c=2.……………5分

∴曲线E的方程为………………6分

（2）直线的斜率

∴直线的方程为…………………………8分

由………………10分

设，

12分

2．【09届苍山·

文科】22．（本小题满分12分）设椭圆过点分别为椭圆C的左、右两个焦点，且离心率

（1）求椭圆C的方程；

（2）已知A为椭圆C的左顶点，直线过右焦点F2与椭圆C交于M、N两点。

若AM、AN的斜率满足求直线的方程；

【解】

（1）由题意椭圆的离心率

∴∴∴

∴椭圆方程为………………3分

又点（1，）在椭圆上，∴∴=1

∴椭圆的方程为………………6分

（2）若直线斜率不存在，显然不合题意；

则直线l的斜率存在。

……………………7分

设直线为，直线l和椭交于，。

将

依题意：

………………………………9分

由韦达定理可知：

………………10分

而

从而………………13分

求得符合

故所求直线MN的方程为：

………………14分

3．【09届济宁·

文科】22．（本小题满分14分）

已知椭圆C的中心在原点，焦点在x轴上，它的一个顶点恰好是抛物线的焦点，离心率为．

（1）求椭圆C的标准方程；

（2）过椭圆C的右焦点F作直线l交椭圆C于A、B两点，交y轴于M点，若，，求的值．

【解】

（1）设椭圆C的方程为，

抛物线方程化为，其焦点为，

椭圆C的一个顶点为，即，…………………………………………3分

由，得，

∴椭圆C的方程为．……………………………………………………6分

（2）由

（1）得，…………………………………………………………7分

设，，显然直线的斜率存在，

设直线的方程为，代入，并整理得

，………………………………………9分

∴．………………………………………10分

又，

，

由，，得

，，

∴，………………………………………………12分

∴．………………14分

4．【临沂一中·

文科】21．（本小题满分12分）已知椭圆的中心在原点，焦点在轴上，一个顶点为，且其右焦点到直线的距离为．

（Ⅰ）求椭圆的方程；

（Ⅱ）是否存在斜率为，且过定点的直线，使与椭圆交于两个不同的点，且？

若存在，求出直线的方程;

若不存在,请说明理由．

（Ⅰ）设椭圆的方程为,

由已知得.……………………………………………………………………1分

设右焦点为，由题意得…………………………2分.……………………………………………………………………3分

椭圆的方程为.………………………………………………………4分

（Ⅱ）直线的方程，

代入椭圆方程,得

…………………………………5分

设点

则…………………………………………………………………6分

设、的中点为，

则点的坐标为.……………………………………………7分

点在线段的中垂线上.

…………………………………………………………8分

化简,得.……………………………………………………………………10分

由得,

………………………………………………………………11分

所以,存在直线满足题意，直线的方程为

或.…………………………12分

5．【临沂高新实验中学】21．（本小题满分12分）已知，椭圆的焦点为顶点，以双曲线的顶点为焦点。

（2）若直线与椭圆C相交于M、N两点（M、N不是左右顶点），且以线段MN为直径的圆过点A，求证：

直线l过定点，并求出该定点的坐标。

（1）椭圆方程为（4分）

（2）设M，将代入椭圆方程得

∴（6分）

∵

又以MN为直径的圆过点A（2，0），

∴且满足，（9分）

若，直线l恒过定点（2，0）不合题意舍去，

若

例1：

已知双曲线的两个焦点分别为F1、F2，其中F1又是抛物线y2=4x的一个焦点，且点A（-1,2），B（3,2）在双曲线上．

（1）求点F2的轨迹;

（2）是否存在直线y=x+m与点F2的轨迹有且只有两个公共点，若存在，求出实数m的值，若不存在，说明理由．

解

（1）由题意知F1（1,0），设F2（x,y），则||AF1|-|AF2||=||BF1|-|BF2||=2a>

0．……………………………①

∵A（-1,2），B（3,2）在已知双曲线上，且|AF1|=|BF1|=．于是

（ⅰ）当|AF1|-|AF2|=|BF1|-|BF2|时，有|AF2|=|BF2|,再代入①得：

F2的轨迹为直线x=1除去两个点F1（1,0）,D（1,4）．

（ⅱ）∵当|AF1|-|AF2|=-（|BF1|-|BF2|）时，有|AF2|+|BF2|=|AF1|+|BF1|=>

4=|AB|,

∴点F2的轨迹是以A、B两点为焦点的椭圆Q，且除去F1（1,0），D（1,4）两点，

故所求的轨迹方程为l：

x=1与Q：

（y≠0，y≠4）．

（2）设存在直线L：

y=x+m满足条件．（ⅰ）若L过点F1或点D，

∵F1、D两点既在直线l：

x=1上，又在椭圆Q上，但不在F2的轨迹上，

∴L与F2的轨迹只有一个公共点，不合题意．

（ⅱ））若L不过点F1和D两点，（m≠-1,m≠3），则L与l必有一个公共点E，且E点不在椭圆Q上，

∴要使L与F2的轨迹有且只有两个公共点，则L必与Q有且只有一个公共点．

由得3x2-（10-4m）x+2m2-8m+1=0,

从而，有△=（10-4m）2-12（2m2-8m+1）=-8（m2-2m-11）,

当△=0时，有．即存在符合条件的直线y=x+．

点评这是“定义法”求轨迹的问题．对于轨迹问题的求解，务必要注意轨迹的纯粹性与完备性，这是我们最易忽略的．

考点二：

交轨法求轨迹

例2.已知常数a>

0，c=（0,a），i=（1,0），经过原点O，以c+λi为方向向量的直线与经过定点A（0,a），以i-2λc为方向向量的直线交于点P，其中λ∈R，试问：

是否存在两个定点E,F，使得|PF|+|PF|为定值，若存在，求出E,F的坐标，若不存在，说明理由．

解∵c+λi=（λ,a），i-2λc=（1,-2λa）,

由向量平行关系得OP与AP的方程分别为λy=ax，y-a=-2λax．……………………………………①

由此消去参数λ，得点P（x,y）满足方程为,……………………………………………②

∵a>

0,从而，有

（1）当时，方程②表示的是圆，不存在符合题意的两个定点E，F；

（2）当0<

时，方程②表示的是椭圆，故存在符合题意的两个定点，即为椭圆的两个焦点：

；

（3）当时，方程②表示的是椭圆，故存在合乎题意的两个定点，即为椭圆的两个焦点：

．

点评这是“交轨法”求轨迹的问题．将向量c+λi与i-2λc分别用坐标表出是解题的关键．回答问题时必须要分别回答，这是题目的要求．对于①也可用直线的点斜式方程求得，读者不妨试一试．

考点三：

代入法（相关点法）

例3如图,两点分别在射线OS,OT上移动,

且,O为坐标原点,动点P满足.

（1）求的值

（2）求点P的轨迹C的方程,并说明它表示怎样的曲线.

【解析】

（1）由已知得

（2）设点P坐标为,得

它表示以坐标原点为中心,焦点在轴上,且实轴长为2,