高考数学专题轨迹方程问题汇总已可排版打印详细解析新人教A版Word文档下载推荐.doc
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∴
又|NF2|=|PN|-|PF2|=|PF1|-|PF2|=2a=4,
∴(x0-2)2+y02=16.
∴(2x+2-2)2+(2y)2=16.∴x2+y2=4.
评注:
适当运用平面几何知识把条件进行转化,会给我们解题带来方便.
17.(本小题满分12分)如图,某农场在P处有一堆肥,今要把这堆肥料沿道路PA或PB送到庄稼地ABCD中去,已知PA=100m,PB=150m,∠APB=60°
.能否在田地ABCD中确定一条界线,使位于界线一侧的点,沿道路PA送肥较近;
而另一侧的点,沿道路PB送肥较近?
如果能,请说出这条界线是一条什么曲线,并求出其方程.
设M是这种界线上的点,
则必有|MA|+|PA|=|MB|+|PB|,
即|MA|-|MB|=|PB|-|PA|=50.
∴这种界线是以A、B为焦点的双曲线靠近B点的一支.建立以AB为x轴,AB中点O为原点的直角坐标系,则曲线为-=1,
其中a=25,c=|AB|.
∴c=25,b2=c2-a2=3750.
∴所求曲线方程为-=1(x≥25,y≥0).
18.(本小题满分12分)已知点F(1,0),直线l:
x=2.设动点P到直线l的距离为d,且|PF|=d,≤d≤.
(1)求动点P的轨迹方程;
(2)若·
=,求向量与的夹角.
(1)根据椭圆的第二定义知,点P的轨迹为椭圆.由条件知c=1,=2,∴a=.
e===满足|PF|=d.
∴P点的轨迹为+=1.
又d=-x,且≤d≤,
∴≤2-x≤.∴≤x≤.
∴轨迹方程为+y2=1(≤x≤).
(2)由
(1)可知,P点的轨迹方程为+y2=1(≤x≤),∴F(1,0)、P(x0,y0).
=(1,0),=(x0,y0),=(1-x0,-y0).
∵·
=,∴1-x0=.
∴x0=,y0=±
.
又·
=||·
||·
cosθ,
∴1·
x0+0·
y0=·
1·
cosθ.
∴cosθ====.
∴θ=arccos.
1.【苍山诚信中学·
文科】21.(本小题满分12分)
如图所示,已知圆为圆上一动点,点P在AM上,
点N在CM上,且满足的轨迹为曲线E.
(I)求曲线E的方程;
(II)过点A且倾斜角是45°
的直线l交曲线E于两点H、Q,求|HQ|.
【解】
(1)
∴NP为AM的垂直平分线,∴|NA|=|NM|.……2分
又
∴动点N的轨迹是以点C(-1,0),A(1,0)为焦点的椭圆.
且椭圆长轴长为焦距2c=2.……………5分
∴曲线E的方程为………………6分
(2)直线的斜率
∴直线的方程为…………………………8分
由………………10分
设,
12分
2.【09届苍山·
文科】22.(本小题满分12分)设椭圆过点分别为椭圆C的左、右两个焦点,且离心率
(1)求椭圆C的方程;
(2)已知A为椭圆C的左顶点,直线过右焦点F2与椭圆C交于M、N两点。
若AM、AN的斜率满足求直线的方程;
【解】
(1)由题意椭圆的离心率
∴∴∴
∴椭圆方程为………………3分
又点(1,)在椭圆上,∴∴=1
∴椭圆的方程为………………6分
(2)若直线斜率不存在,显然不合题意;
则直线l的斜率存在。
……………………7分
设直线为,直线l和椭交于,。
将
依题意:
………………………………9分
由韦达定理可知:
………………10分
而
从而………………13分
求得符合
故所求直线MN的方程为:
………………14分
3.【09届济宁·
文科】22.(本小题满分14分)
已知椭圆C的中心在原点,焦点在x轴上,它的一个顶点恰好是抛物线的焦点,离心率为.
(1)求椭圆C的标准方程;
(2)过椭圆C的右焦点F作直线l交椭圆C于A、B两点,交y轴于M点,若,,求的值.
【解】
(1)设椭圆C的方程为,
抛物线方程化为,其焦点为,
椭圆C的一个顶点为,即,…………………………………………3分
由,得,
∴椭圆C的方程为.……………………………………………………6分
(2)由
(1)得,…………………………………………………………7分
设,,显然直线的斜率存在,
设直线的方程为,代入,并整理得
,………………………………………9分
∴.………………………………………10分
又,
,
由,,得
,,
∴,………………………………………………12分
∴.………………14分
4.【临沂一中·
文科】21.(本小题满分12分)已知椭圆的中心在原点,焦点在轴上,一个顶点为,且其右焦点到直线的距离为.
(Ⅰ)求椭圆的方程;
(Ⅱ)是否存在斜率为,且过定点的直线,使与椭圆交于两个不同的点,且?
若存在,求出直线的方程;
若不存在,请说明理由.
(Ⅰ)设椭圆的方程为,
由已知得.……………………………………………………………………1分
设右焦点为,由题意得…………………………2分.……………………………………………………………………3分
椭圆的方程为.………………………………………………………4分
(Ⅱ)直线的方程,
代入椭圆方程,得
…………………………………5分
设点
则…………………………………………………………………6分
设、的中点为,
则点的坐标为.……………………………………………7分
点在线段的中垂线上.
…………………………………………………………8分
化简,得.……………………………………………………………………10分
由得,
………………………………………………………………11分
所以,存在直线满足题意,直线的方程为
或.…………………………12分
5.【临沂高新实验中学】21.(本小题满分12分)已知,椭圆的焦点为顶点,以双曲线的顶点为焦点。
(2)若直线与椭圆C相交于M、N两点(M、N不是左右顶点),且以线段MN为直径的圆过点A,求证:
直线l过定点,并求出该定点的坐标。
(1)椭圆方程为(4分)
(2)设M,将代入椭圆方程得
∴(6分)
∵
又以MN为直径的圆过点A(2,0),
∴且满足,(9分)
若,直线l恒过定点(2,0)不合题意舍去,
若
例1:
已知双曲线的两个焦点分别为F1、F2,其中F1又是抛物线y2=4x的一个焦点,且点A(-1,2),B(3,2)在双曲线上.
(1)求点F2的轨迹;
(2)是否存在直线y=x+m与点F2的轨迹有且只有两个公共点,若存在,求出实数m的值,若不存在,说明理由.
解
(1)由题意知F1(1,0),设F2(x,y),则||AF1|-|AF2||=||BF1|-|BF2||=2a>
0.……………………………①
∵A(-1,2),B(3,2)在已知双曲线上,且|AF1|=|BF1|=.于是
(ⅰ)当|AF1|-|AF2|=|BF1|-|BF2|时,有|AF2|=|BF2|,再代入①得:
F2的轨迹为直线x=1除去两个点F1(1,0),D(1,4).
(ⅱ)∵当|AF1|-|AF2|=-(|BF1|-|BF2|)时,有|AF2|+|BF2|=|AF1|+|BF1|=>
4=|AB|,
∴点F2的轨迹是以A、B两点为焦点的椭圆Q,且除去F1(1,0),D(1,4)两点,
故所求的轨迹方程为l:
x=1与Q:
(y≠0,y≠4).
(2)设存在直线L:
y=x+m满足条件.(ⅰ)若L过点F1或点D,
∵F1、D两点既在直线l:
x=1上,又在椭圆Q上,但不在F2的轨迹上,
∴L与F2的轨迹只有一个公共点,不合题意.
(ⅱ))若L不过点F1和D两点,(m≠-1,m≠3),则L与l必有一个公共点E,且E点不在椭圆Q上,
∴要使L与F2的轨迹有且只有两个公共点,则L必与Q有且只有一个公共点.
由得3x2-(10-4m)x+2m2-8m+1=0,
从而,有△=(10-4m)2-12(2m2-8m+1)=-8(m2-2m-11),
当△=0时,有.即存在符合条件的直线y=x+.
点评这是“定义法”求轨迹的问题.对于轨迹问题的求解,务必要注意轨迹的纯粹性与完备性,这是我们最易忽略的.
考点二:
交轨法求轨迹
例2.已知常数a>
0,c=(0,a),i=(1,0),经过原点O,以c+λi为方向向量的直线与经过定点A(0,a),以i-2λc为方向向量的直线交于点P,其中λ∈R,试问:
是否存在两个定点E,F,使得|PF|+|PF|为定值,若存在,求出E,F的坐标,若不存在,说明理由.
解∵c+λi=(λ,a),i-2λc=(1,-2λa),
由向量平行关系得OP与AP的方程分别为λy=ax,y-a=-2λax.……………………………………①
由此消去参数λ,得点P(x,y)满足方程为,……………………………………………②
∵a>
0,从而,有
(1)当时,方程②表示的是圆,不存在符合题意的两个定点E,F;
(2)当0<
时,方程②表示的是椭圆,故存在符合题意的两个定点,即为椭圆的两个焦点:
;
(3)当时,方程②表示的是椭圆,故存在合乎题意的两个定点,即为椭圆的两个焦点:
.
点评这是“交轨法”求轨迹的问题.将向量c+λi与i-2λc分别用坐标表出是解题的关键.回答问题时必须要分别回答,这是题目的要求.对于①也可用直线的点斜式方程求得,读者不妨试一试.
考点三:
代入法(相关点法)
例3如图,两点分别在射线OS,OT上移动,
且,O为坐标原点,动点P满足.
(1)求的值
(2)求点P的轨迹C的方程,并说明它表示怎样的曲线.
【解析】
(1)由已知得
(2)设点P坐标为,得
它表示以坐标原点为中心,焦点在轴上,且实轴长为2,