整理11级数学一轮复习18函数与方程函数模型及其应用第2325课时Word格式.docx

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（1）通过函数的零点、二分法及函数模型的运用进一步体会函数与方程、数形结合、等

价转化、分类讨论等数学思想方法；

（2）通过对函数的零点、二分法及函数模型的复习和应用，进一步体会函数知识的本质联系以及数学工具应用的广泛性与重要性；

（3）培养分析问题、解决问题的能力及钻研精神，培养运算能力以及严谨的思维习惯

以及解题的规范性。

3、情态与价值观

（1）通过函数的零点、二分法及函数模型的的进一步复习、巩固和运用，体会数学知识抽象性、概括性和广泛性，培养学习数学的兴趣，形成学数学、用数学的思维和意识，培养学好数学的信心，为远大的志向而不懈奋斗。

（2）通过对函数的零点、二分法及函数模型的系统复习及探索，不断培养自主学习、主动探索、善于反思、勤于总结的科学态度和锲而不舍的钻研精神，并提高参与意识和合作精神。

教学重点：

1．判断函数的零点所在的位置及求零点的方法．

2．运用基本函数模型解决实际问题．

教学难点：

1．有关零点的综合性问题；

2.运用基本函数模型解决综合性实际问题．

教具：

多媒体、实物投影仪

教学方法：

合作探究、分层推进教学法

教学过程：

最新考纲建构整合

1.结合二次函数的图象，了解函数的零点与方程根的联系，判断一元二次方程根的存在性及根的个数；

2.了解指数函数、对数函数、幂函数的增长特征,结合具体实例体会直线上升、指数增长、对数增长等不同函数类型增长的含义；

3.了解函数模型（如指数函数、对数函数、幂函数、方段函数等在社会生活中普遍使用的函数模型）的广泛应用.

知识全景整合

自主梳理

1.函数的零点

（1）定义：

若实数x是函数y=f（x）的零点,则需满足条件f（x）=0.

（2）三个等价关系

2.函数零点的存在性定理

3.二次函数y=ax2+bx+c（a>

0）的图象与零点的关系

4.几种常见的函数模型

5.三种函数模型性质比较

双基自测

1.（2012年高考湖北卷）函数f（x）=xcos2x在区间[0,2π]上的零点的个数为（　D　）

（A）2（B）3（C）4（D）5

解析:

要使f（x）=xcos2x=0,则x=0或cos2x=0,而在区间[0,2π]上,通过观察y=cos2x的函数图象,易得满足cos2x=0的x的值有,所以零点的个数为5个.故选D.

2.函数f（x）=2x+3x的零点所在的一个区间是（　B　）

（A）（-2,-1）（B）（-1,0）（C）（0,1）（D）（1,2）

易知f（x）=2x+3x在R上是增函数.而f（-2）=2-2-6<

0,

f（-1）=2-1-3<

0,f（0）=20=1>

∴f（-1）·

f（0）<

0,故函数f（x）在区间（-1,0）上有零点.故选B.

3.已知x0是函数f（x）=2x+的一个零点,若x1（1,x0）,x2（x0,+∞）,则（　B　）

（A）f（x1）<

0,f（x2）<

0（B）f（x1）<

0,f（x2）>

0（C）f（x1）>

0（D）f（x1）>

设g（x）=,h（x）=2x,由于函数g（x）==-在（1,+∞）上单调递增,函数h（x）=2x在（1,+∞）上单调递增,故函数f（x）=h（x）+g（x）在（1,+∞）上单调递增,所以函数f（x）在（1,+∞）上只有唯一的零点x0,且在（1,x0）上f（x1）<

0,在（x0,+∞）上f（x2）>

0.故选B.

4.已知函数f（x）=x2+x+a（a<

0）在区间（0,1）上有零点,则a的取值范围为　　　　. 

函数f（x）的图象为开口向上、对称轴为x=-的一条抛物线,要使f（x）在（0,1）上有零点,由于f（0）=a<

0,必有f

（1）=2+a>

0,解得a（-2,0）.答案:

（-2,0）。

互动探究

函数零点的个数问题

【例1】（2012北京东城区模拟）已知函数f（x）=则函数y=f（f（x））+1的零点个数是（　　）

（A）4（B）3（C）2（D）1

由f（f（x））+1=0可得f（f（x））=-1,又由f（-2）=f（）=-1,

可得f（x）=-2或f（x）=.

若f（x）=-2,则x=-3或x=;

若f（x）=,则x=-或x=,

综上可得函数y=f（f（x））+1有4个零点,故应选A.

判断函数零点个数的常用方法有哪些?

（提示:

（1）直接法.令f（x）=0,

如果能求出解,则有几个不同的解就有几个零点.

（2）零点存在性定理法.利用定理不仅要求函数在区间[a,b]上是连续不断的曲线,且f（a）·

f（b）<

0,还必须结合函数的图象与性质（如单调性、奇偶性、周期性、对称性）才能确定函数的零点个数.

（3）数形结合法.转化为两个函数的图象的交点个数问题;

先画出两个函数的图象,看其交点的个数,其中交点的横坐标有几个不同的值,就有几个不同的零点）

变式训练11:

（2012年高考天津卷）函数f（x）=2x+x3-2在区间（0,1）内的零点个数是

（A）0（B）1（C）2（D）3

解析:

由f（x）=2x+x3-2得f（0）=-1<

0,f

（1）=1>

∴f（0）·

f

（1）<

0,又函数在定义域上为增函数,故选B.

确定函数零点所在的区间

【例2】方程log3x+x=3的根所在的区间为（　　）

（A）（0,1）（B）（1,2）（C）（2,3）（D）（3,4）

法一　方程log3x+x=3的根即是函数f（x）=log3x+x-3的零点,由于f

（2）=log32+2-3=log32-1<

0,f（3）=log33+3-3=1>

0且函数f（x）在（0,+∞）上为单调增函数.∴函数f（x）的零点即方程log3x+x=3的根所在区间为（2,3）,故选C.

法二　方程log3x+x=3的根所在区间即是函数y1=log3x与y2=3-x交点横坐标所在区间,两函数图象如图所示.

由图知方程log3x+x=3的根所在区间为（2,3）,故选C.

判断函数的零点或方程的根所在区间时,通常有两种方法,一是利用零点存在性定理进行判断;

二是画出相应函数的图象,由图象及单调性进行直观判断.

变式训练21:

（1）（2012北京海淀模拟）函数f（x）=log2x-的零点所在区间为（　　）

（A）（B）（C）（1,2）（D）（2,3）

解析:

（1）法一　∵-2=-3<

0,f

（1）=log21-1=-1<

0,f

（2）=log22-

=>

0,∴函数f（x）=log2x-的零点所在区间为（1,2）,故应选C.

法二　令y1=log2x,y2=,在同一直角坐标系中画出两函数的图象,

由图象知函数f（x）=log2x-的零点所在区间为（1,2）,

故选C.

由函数零点的情况求参数

【例3】已知函数f（x）=-x2+2ex+m-1,g（x）=x+（x>

0）.

（1）若G（x）=g（x）-m有零点,求m的取值范围;

（2）确定m的取值范围,使得g（x）-f（x）=0有两个相异实根.

解:

（1）∵x>

0时,g（x）=x+≥=2e,

当且仅当x=时取等号,∴当x=e时,g（x）有最小值2e.

因此G（x）=g（x）-m有零点,只需m≥2e.∴当m[2e,+）时,G（x）=g（x）-m有零点.

（2）若g（x）-f（x）=0有两个相异实根.

则函数g（x）与f（x）的图象有两个不同的交点.

如图所示,作出函数g（x）=x+（x>

0）的大致图象.

∵f（x）=-x2+2ex+m-1=-（x-e）2+m-1+e2,

∴其对称轴为x=e,f（x）max=m-1+e2.

若函数f（x）与g（x）的图象有两个不同交点

必须有m-1+e2>

2e,即m>

-e2+2e+1时,g（x）-f（x）=0有两个相异实根,

∴m的取值范围是（-e2+2e+1,+）.

此类利用零点求参数的范围的问题,可利用方程,但有时不易甚至不可能解出,而转化为构造两函数图象求解,使得问题简单明了,这也体现了当不是求零点,而是利用零点的个数,或有零点求参数的范围时,一般采用数形结合法求解.

变式训练31:

（1）（2012安徽皖北协作区联考）函数f（x）=2x--a的一个零点在区间（1,2）内,则实数a的取值范围是（　　）（A）（1,3）（B）（1,2）（C）（0,3）（D）（0,2）

（2）（2012山东济宁一模）已知函数f（x）=

若函数y=f（x）-m有3个不同的零点,则实数m的取值范围是　　　　. 

（1）由于函数的一个零点在区间（1,2）内,所以f

（1）f

（2）<

0,即（2-2-a）（4-1-a）<

0,即a（a-3）<

0,解得0<

a<

3,故选C.

（2）在平面直角坐标系中画出函数f（x）的图象（如图所示）,函数y=f（x）-m有3个不同的零点,函数f（x）的图象与直线y=m有三个不同的交点,由图知有0<

m<

1.

答案:

（1）C　

（2）0<

1

关于函数模型的应用

一次函数、二次函数模型

【例1】为了保护环境,发展低碳经济,某单位在国家科研部门的支持下,进行技术攻关,采用了新工艺,把二氧化碳转化为一种可利用的化工产品.已知该单位每月的处理量最少为400吨,最多为600吨,月处理成本y（元）与月处理量x（吨）之间的函数关系可近似地表示为y=x2-200x+80000,且每处理一吨二氧化碳得到可利用的化工产品的价值为100元.

（1）该单位每月处理量为多少吨时,才能使每吨的平均处理成本最低?

（2）该单位每月能否获利?

如果获利,求出最大利润;

如果不获利,则国家至少需要补贴多少元才能使该单位不亏损?

解:

（1）由题意可知,二氧化碳的每吨平均处理成本为=-200≥-200=200,

当且仅当,即x=400时,上式取等号,即当每月处理量为400吨时,才能使每吨的平均处理成本最低,最低成本为200元.

（2）设该单位每月获利为S,则S=100x-y=100x-

=-x2+300x-80000=-（x-300）2-35000,

因为400≤x≤600,所以当x=400时,S有最大值-40000.故该单位不获利,需要国家每月至少补贴40000元,才能不亏损.

变式训练11:

（2012广州月考）为了发展电信事业方便用户,电信公司对移动电话采用不同的收费方式,其中所使用的“如意卡”与“便民卡”在某市范围内每月（30天）的通话时间x（分）与通话费y（元）的关系如图所示.

则通话费y1,y2与通话时间x之间的函数关系式分别为　　　　,　　　.

依题意设y1=k1x+b,y2=k2x,将点A（0,29）,B（30,35）代入y1=k1x+b得b=29,k=,

∴y1=x+29.将点C（30,15）代入y2=k2x得k2=,∴y2=x.