北京专版中考数学 专题突破十 新定义问题作业手册文档格式.docx
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给出新定义,学习,应用
1.[2018·
北京]在平面直角坐标系xOy中,⊙C的半径为r,P是与圆心C不重合的点,点P关于⊙O的反称点的定义如下:
若在射线CP上存在一点P′,满足CP+CP′=2r,则称P′为点P关于⊙C的反称点,如图Z10-1为点P及其关于⊙C的反称点P′的示意图.
(1)当⊙O的半径为1时.
①分别判断点M(2,1),N(,0),T(1,)关于⊙O的反称点是否存在,若存在,求其坐标;
②点P在直线y=-x+2上,若点P关于⊙O的反称点P′存在,且点P′不在x轴上,求点P的横坐标的取值范围.
(2)当⊙C的圆心在x轴上,且半径为1,直线y=-x+2与x轴、y轴分别交于点A,B.若线段AB上存在点P,使得点P关于⊙C的反称点P′在⊙C的内部,求圆心C的横坐标的取值范围.
图Z10-1
2.[2017·
北京]对某一个函数给出如下定义:
若存在实数M>
0,对于任意的函数值y,都满足-M≤y≤M,则称这个函数是有界函数.在所有满足条件的M中,其最小值称为这个函数的边界值.例如,图Z10-2中的函数是有界函数,其边界值是1.
(1)分别判断函数y=(x>
0)和y=x+1(-4<
x≤2)是不是有界函数?
若是有界函数,求其边界值;
(2)若函数y=-x+1(a≤x≤b,b>
a)的边界值是2,且这个函数的最大值也是2,求b的取值范围;
(3)将函数y=x2(-1≤x≤m,m≥0)的图象向下平移m个单位长度,得到的函数的边界值是t,当m在什么范围时,满足≤t≤1?
图Z10-2
3.[2013·
北京]对于平面直角坐标系xOy中的点P和⊙C,给出如下定义:
若⊙C上存在两个点A,B,使得∠APB=60°
,则称P为⊙C的关联点.
已知点D(,),E(0,-2),F(2,0).
(1)当⊙O的半径为1时,
①在点D,E,F中,⊙O的关联点是________;
②过点F作直线l交y轴正半轴于点G,使∠GFO=30°
,若直线l上的点P(m,n)是⊙O的关联点,求m的取值范围;
(2)若线段EF上的所有点都是某个圆的关联点,求这个圆的半径r的取值范围.
图Z10-3
4.[2012·
北京]在平面直角坐标系xOy中,对于任意两点P1(x1,y1)与P2(x2,y2)的“非常距离”,给出如下定义:
若|x1-x2|≥|y1-y2|,则点P1与点P2的“非常距离”为|x1-x2|;
若|x1-x2|<|y1-y2|,则点P1与点P2的“非常距离”为|y1-y2|.
例如:
点P1(1,2),点P2(3,5),因为|1-3|<|2-5|,所以点P1与点P2的“非常距离”为|2-5|=3,也就是图Z10-4(a)中线段P1Q与线段P2Q长度的较大值(点Q为垂直于y轴的直线P1Q与垂直于x轴的直线P2Q的交点).
(1)已知点A(-,0),B为y轴上的一个动点.
①若点A与点B的“非常距离”为2,写出一个满足条件的点B的坐标;
②直接写出点A与点B的“非常距离”的最小值.
(2)已知C是直线y=x+3上的一个动点,
①如图(b),点D的坐标是(0,1),求点C与点D的“非常距离”的最小值及相应的点C的坐标.
②如图(c),E是以原点O为圆心,1为半径的圆上的一个动点,求点C与点E的“非常距离”的最小值及相应的点E和点C的坐标.
图Z10-4
平谷一模]b是任意两个不等实数,我们规定:
满足不等式a≤x≤b的实数x的所有取值的全体叫做闭区间,表示为[a,b].对于一个函数,如果它的自变量x与函数值y满足:
当m≤x≤n时,有m≤y≤n,我们就称此函数是闭区间[m,n]上的“闭函数”.如函数y=-x+4,当x=1时,y=3;
当x=3时,y=1,即当1≤x≤3时,有1≤y≤3,所以说函数y=-x+4是闭区间[1,3]上的“闭函数”.
(1)反比例函数y=是闭区间[1,2018]上的“闭函数”吗?
请判断并说明理由;
(2)若二次函数y=x2-2x-k是闭区间[1,2]上的“闭函数”,求k的值;
(3)若一次函数y=kx+b(k≠0)是闭区间[m,n]上的“闭函数”,求此函数的解析式(用含m,n的代数式表示).
2.[2018·
东城一模]定义符号min的含义为:
当a≥b时,min=b;
当a<b时,min=a.如:
min=-2,min=-1.
(1)求min;
(2)已知min{x2-2x+k,-3}=-3,求实数k的取值范围;
(3)已知当-2≤x≤3时,min{x2-2x-15,m(x+1)}=x2-2x-15.直接写出实数m的取值范围.
3.[2018·
海淀二模]如图Z10-5(a),在平面直角坐标系xOy中,已知点A(-1,0),B(-1,1),C(1,0),D(1,1),记线段AB为T1,线段CD为T2,点P是坐标系内一点.给出如下定义:
若存在过点P的直线l与T1,T2都有公共点,则称点P是T1-T2联络点.例如,点P(0,)是T1-T2联络点.
(1)以下各点中,________是T1-T2联络点(填出所有正确的序号);
①(0,2);
②(-4,2);
③(3,2).
(2)直接在图(a)中画出所有T1-T2联络点所组成的区域,用阴影部分表示.
(3)已知点M在y轴上,以M为圆心,r为半径画圆,⊙M上只有一个点为T1-T2联络点,
①若r=1,求点M的纵坐标;
②求r的取值范围.
图Z10-5
4.[2018·
门头沟一模]如图Z10-6,在平面直角坐标系xOy中,抛物线y=ax2+bx+c(a>0)的顶点为M,直线y=m与x轴平行,且与抛物线交于点A和点B,如果△AMB为等腰直角三角形,我们把抛物线上A、B两点之间的部分与线段AB围成的图形称为该抛物线的准蝶形,顶点M称为碟顶,线段AB的长称为碟宽.
图Z10-6
(1)抛物线y=x2的碟宽为________,抛物线y=ax2(a>0)的碟宽为________.
(2)如果抛物线y=a(x-1)2-6a(a>0)的碟宽为6,那么a=________.
(3)将抛物线yn=anx2+bnx+cn(an>0)的准蝶形记为Fn(n=1,2,3,…),我们定义F1,F2,…,Fn为相似准蝶形,相应的碟宽之比即为相似比.如果Fn与Fn-1的相似比为,且Fn的碟顶是Fn-1的碟宽的中点,现在将
(2)中求得的抛物线记为y1,其对应的准蝶形记为F1.
①求抛物线y2的函数解析式.
②请判断F1,F2,…,Fn的碟宽的右端点是否在一条直线上?
如果是,直接写出该直线的函数解析式;
如果不是,说明理由.
图Z10-7
5.[2018·
朝阳一模]定义:
对于平面直角坐标系xOy中的线段PQ和点M,在△MPQ中,当PQ边上的高为2时,称M为PQ的“等高点”,称此时MP+MQ为PQ的“等高距离”.
(1)若P(1,2),Q(4,2).
①在点A(1,0),B(,4),C(0,3)中,PQ的“等高点”是________;
②若M(t,0)为PQ的“等高点”,求PQ的“等高距离”的最小值及此时t的值.
(2)若P(0,0),PQ=2,当PQ的“等高点”在y轴正半轴上且“等高距离”最小时,直接写出点Q的坐标.
图Z10-8
6.[2018·
通州一模]如图Z10-9,在平面直角坐标系中,已知点A(2,3),B(6,3),连接AB.若对于平面内一点P,线段AB上都存在点Q,使得PQ≤1,则称点P是线段AB的“邻近点”.
(1)判断点D(,)是否是线段AB的“邻近点”.________(填“是”或“否”);
(2)若点H(m,n)在一次函数y=x-1的图象上,且是线段AB的“邻近点”,求m的取值范围;
(3)若一次函数y=x+b的图象上至少存在一个邻近点,直接写出b的取值范围.
图Z10-9
7.[2018·
海淀一模]在平面直角坐标系xOy中,对于点P(a,b)和点Q(a,b′),给出如下定义:
若b′=则称点Q为点P的限变点.例如:
点的限变点的坐标是,点的限变点的坐标是.
(1)①点的限变点的坐标是________;
②在点A,B中有一个点是函数y=的图象上某一个点的限变点,这个点是________.
(2)若点P在函数y=-x+3(-2≤x≤k,k>
-2)的图象上,其限变点Q的纵坐标b′的取值范围是-5≤b′≤2,求k的取值范围.
(3)若点P在关于x的二次函数y=x2-2tx+t2+t的图象上,其限变点Q的纵坐标b′的取值范围是b′≥m或b′<n,其中m>
n.令s=m-n,求s关于t的函数解析式及s的取值范围.
图Z10-10
8.[2018·
西城一模]给出如下规定:
两个图形G1和G2,点P为G1上任一点,点Q为G2上任一点,如果线段PQ的长度存在最小值,就称该最小值为两个图形G1和G2之间的距离.
在平面直角坐标系xOy中,O为坐标原点.
(1)点A的坐标为A(1,0),则点B(2,3)和射线OA之间的距离为________,点C(-2,3)和射线OA之间的距离为________.
(2)如果直线y=x和双曲线y=之间的距离为,那么k=________.(可在图Z10-11(a)中进行研究)
(3)点E的坐标为(1,),将射线OE绕原点O逆时针旋转60°
,得到射线OF,在坐标平面内所有和射线OE,OF之间的距离相等的点所组成的图形记为图形M.
①请在图(b)中画出图形M,并描述图形M的组成部分;
(若涉及平面中某个区域时可以用阴影表示)
②将射线OE,OF组成的图形记为图形W,抛物线y=x2-2与图形M的公共部分记为图形N,请直接写出图形W和图形N之间的距离.
图Z10-11
参考答案
北京真题体验
1.解:
(1)①点M(2,1)关于⊙O的反称点不存在.
点N(,0)关于⊙O的反称点存在,反称点N′(,0).
点T(1,)关于⊙O的反称点存在,反称点T′(0,0).
②如图①,直线y=-x+2与x轴、y轴分别交于点E(2,0),点F(0,2).
设点P的横坐标为x.
(i)当点P在线段EF上,即0≤x≤2时,0<OP≤2,
∴在射线OP上一定存在一点P′,使得OP+OP′=2,
∴点P关于⊙O的反称点存在,其中点P与点E或点F重合时,OP=2,点P关于⊙O的反称点为O,不符合题意,∴0<x<2.
(ii)当点P不在线段EF上,即x<0或x>2时,OP>2,
∴对于射线OP上任意一点P′,总有OP+OP′>2,
∴点P关于⊙O的反称点不存在.
综上所述,点P的横坐标x的取值范围是0<x<2.
(2)若线段AB上存在点P,使得点P关于⊙C的反称点P′在⊙C的内部,则1<CP≤2.
依题意可知点A的坐标为(6,0),点B的坐标为(0,2),∠BAO=30°
.
设圆心C的坐标为(x,0).
①当x<6时,过点C作CH⊥AB于点H,如图②,
∴0<CH