最新北师大版高中数学选修11学案第二章 21 抛物线及其标准方程Word文档格式.docx
《最新北师大版高中数学选修11学案第二章 21 抛物线及其标准方程Word文档格式.docx》由会员分享,可在线阅读,更多相关《最新北师大版高中数学选修11学案第二章 21 抛物线及其标准方程Word文档格式.docx(12页珍藏版)》请在冰豆网上搜索。
y2=-2px(p>
x2=2py(p>
x2=-2py(p>
焦点坐标
准线方程
x=-
x=
y=-
y=
类型一 抛物线定义的解读
例1 方程=表示的曲线是( )
A.圆B.椭圆
C.线段D.抛物线
反思与感悟 根据式子的几何意义,利用抛物线的定义,可确定点的轨迹,注意定义中“点F不在直线l上”这个条件.
跟踪训练1 若动圆与圆(x-2)2+y2=1相外切,又与直线x+1=0相切,则动圆圆心的轨迹是________.
类型二 抛物线的标准方程及求解
命题角度1 抛物线的焦点坐标或准线方程的求解
例2 已知抛物线的方程如下,求其焦点坐标和准线方程.
(1)y2=-6x;
(2)3x2+5y=0;
(3)y=4x2;
(4)y=ax2(a≠0).
引申探究
1.将例2(4)的方程改为y2=ax(a≠0)结果如何?
2.将例2(4)的方程改为x2=ay(a≠0),结果如何?
反思与感悟 如果已知抛物线的标准方程,求它的焦点坐标、准线方程时,首先要判断抛物线的对称轴和开口方向.一次项的变量若为x(或y),则x轴(或y轴)是抛物线的对称轴,一次项系数的符号决定开口方向.
跟踪训练2 已知抛物线y2=2px(p>
0)的准线与曲线x2+y2-6x-7=0相切,则p为( )
A.2B.1
C.D.
命题角度2 求抛物线的标准方程
例3 求满足下列条件的抛物线的标准方程.
(1)过点(-3,2);
(2)焦点在直线x-2y-4=0上;
(3)抛物线的焦点F在x轴上,直线y=-3与抛物线相交于点A,|AF|=5.
反思与感悟 抛物线标准方程的求法
(1)定义法:
建立适当的坐标系,利用抛物线的定义列出动点满足的条件,列出方程,进行化简,根据定义求出p,最后写出标准方程.
(2)待定系数法:
由于标准方程有四种形式,因而在求方程时应首先确定焦点在哪一个半轴上,进而确定方程的形式,然后再利用已知条件确定p的值.
跟踪训练3 根据下列条件,求抛物线的标准方程.
(1)焦点为(-2,0);
(2)焦点到准线的距离是4;
(3)过点(1,2).
类型三 抛物线在实际生活中的应用
例4 河上有一抛物线形拱桥,当水面距拱桥顶5m时,水面宽为8m,一小船宽4m、高2m,载货后船露出水面上的部分高0.75m,问:
水面上涨到与抛物线拱桥拱顶相距多少米时,小船开始不能通航?
反思与感悟 涉及拱桥、隧道的问题,通常需建立适当的平面直角坐标系,利用抛物线的标准方程进行求解.
跟踪训练4 某抛物线形拱桥跨度是20米,拱桥高度是4米,在建桥时,每4米需用一根支柱支撑,求其中最长支柱的长.
1.抛物线y2+x=0的开口( )
A.向上B.向下
C.向左D.向右
2.抛物线y2=8x的焦点坐标和准线方程分别为( )
A.(1,0),x=-1B.(2,0),x=-2
C.(3,0),x=-3D.(4,0),x=-4
3.已知抛物线的焦点到准线的距离为3,则抛物线方程可以为( )
A.y2=xB.y2=2x
C.x2=-3yD.x2=-6y
4.抛物线x2=8y上的点M到x轴的距离为6,则点M与抛物线的焦点间的距离为________.
5.分别求满足下列条件的抛物线的标准方程:
(1)准线方程为y=-3;
(2)抛物线与椭圆+=1的一个焦点相同.
1.焦点在x轴上的抛物线,其标准方程可以统设为y2=mx(m≠0),此时焦点坐标为F(,0),准线方程为x=-;
焦点在y轴上的抛物线,其标准方程可以统设为x2=my(m≠0),此时焦点为F(0,),准线方程为y=-.
2.设M是抛物线上一点,焦点为F,则线段MF叫作抛物线的焦半径.若M(x0,y0)在抛物线y2=2px(p>
0)上,则根据抛物线的定义,抛物线上的点到焦点的距离和到准线的距离可以相互转化,所以焦半径|MF|=x0+.
答案精析
问题导学
知识点一
思考1 平面内与一个定点F和一条定直线l(定点不在定直线上)距离相等的点的轨迹叫作抛物线,定点F叫作抛物线的焦点,定直线l叫作抛物线的准线.
思考2 不能,若l经过点F,满足条件的点的轨迹不是抛物线,而是过点F且垂直于l的一条直线.
梳理
(1)相等
(2)点F (3)直线l
知识点二
思考1 p是抛物线的焦点到准线的距离,抛物线的方程中一次项决定开口方向.
思考2
(1)原点在抛物线上;
(2)对称轴为坐标轴;
(3)p为大于0的常数,其几何意义表示焦点到准线的距离;
(4)准线与对称轴垂直,垂足与焦点关于原点对称;
(5)焦点、准线到原点的距离都等于.
思考3 一次项变量为x(或y),则焦点在x轴(或y轴)上;
若系数为正,则焦点在正半轴上;
系数为负,则焦点在负半轴上.焦点确定,开口方向也随之确定.
题型探究
例1 D [
=,
它表示点M(x,y)与点F(-3,1)的距离等于点M到直线x-y+3=0的距离,且点F(-3,1)不在直线上.
根据抛物线的定义,知此方程表示的曲线是抛物线.]
跟踪训练1 抛物线
解析 由题意,动圆圆心到定圆圆心的距离比它到直线x+1=0的距离大1,故动圆圆心的轨迹是以(2,0)为焦点,x=-2为准线的抛物线,其方程为y2=8x.
例2 解
(1)由方程y2=-6x,知抛物线开口向左,
2p=6,p=3,=,
所以焦点坐标为(-,0),
准线方程为x=.
(2)将3x2+5y=0化为x2=-y,
知抛物线开口向下,
2p=,p=,=,
所以焦点坐标为(0,-),
准线方程为y=.
(3)将y=4x2化为x2=y,
知抛物线开口向上,
所以焦点坐标为(0,),
准线方程为y=-.
(4)抛物线方程y=ax2可化为x2=y,
当a>
0时,2p=,p=,
故焦点坐标是(0,),
准线方程是y=-.
当a<
0时,2p=-,p=-,
综上,抛物线y=ax2的焦点坐标(0,),
1.焦点是(,0),准线方程是x=-.
2.焦点是(0,),准线方程是y=-.
跟踪训练2 A [注意到抛物线y2=2px的准线方程为x=-,
曲线x2+y2-6x-7=0,
即(x-3)2+y2=16,
它表示圆心为(3,0),半径为4的圆.
由题意得=4.
又p>
0,因此有+3=4,
解得p=2,故选A.]
例3 解
(1)当抛物线的焦点在x轴上且过点(-3,2)时,
可设抛物线方程为y2=-2px(p>
0),
把(-3,2)代入得22=-2p×
(-3),
∴p=,
∴所求抛物线方程为y2=-x.
当抛物线的焦点在y轴上且过点(-3,2)时,
可设抛物线方程为x2=2py(p>
把(-3,2)代入得(-3)2=2p×
2,
∴所求抛物线方程为x2=y.
综上,所求抛物线方程为y2=-x或x2=y.
(2)直线x-2y-4=0与x轴的交点为(4,0),与y轴的交点为(0,-2),
故抛物线的焦点为(4,0)或(0,-2),
当抛物线的焦点为(4,0)时,
设抛物线方程为y2=2px(p>
∵=4,∴p=8,
∴抛物线方程为y2=16x.
当抛物线的焦点为(0,-2)时,
设抛物线方程为x2=-2py(p>
∵-=-2,∴p=4,
∴抛物线方程为x2=-8y.
综上,所求抛物线方程为y2=16x或
x2=-8y.
(3)设所求焦点F在x轴上的抛物线的标准方程为
y2=2px(p≠0),A(m,-3).
则由抛物线的定义得
|AF|==5,
∵点A在抛物线上,
∴(-3)2=2pm,
从而可得p=±
1或p=±
9.
∴所求抛物线的标准方程为y2=±
2x或y2=±
18x.
跟踪训练3 解
(1)焦点在x轴的负半轴上,
=2,即p=4.
所以抛物线的方程是y2=-8x.
(2)p=4,抛物线的方程有四种形式:
y2=8x,y2=-8x,x2=8y,x2=-8y.
(3)方法一 点(1,2)在第一象限,要分两种情形讨论:
当抛物线的焦点在x轴上时,
设抛物线的方程为y2=2px(p>
则22=2p·
1,解得p=2,
∴抛物线方程为y2=4x;
当抛物线的焦点在y轴上时,
设抛物线的方程为x2=2py(p>
则12=2p·
2,解得p=,
∴抛物线方程为x2=y.
方法二 设所求抛物线的标准方程为
y2=mx或x2=ny,
将点(1,2)代入,得m=4,n=,
故所求的方程为y2=4x或x2=y.
例4 解 如图,以拱桥的拱顶为原点,以过拱顶且平行于水面的直线为x轴,建立平面直角坐标系.设抛物线方程为x2=-2py(p>
0).由题意可知,点B(4,-5)在抛物线上,故
p=,得x2=-y.当船面两侧和抛物线接触时,船不能通航,
设此时船面宽为AA′,则A(2,yA),
由22=-yA,得yA=-.
又知船面露出水面上的部分高为0.75m,
所以h=|yA|+0.75=2(m).
所以水面上涨到与抛物线形拱桥拱顶相距2m时,小船开始不能通航.
跟踪训练4 解 如图,建立平面直角坐标系,设抛物线方程为x2=-2py(p>
0).
依题意知,点P(10,-4)在抛物线上,
所以100=-2p×
(-4),2p=25.
即抛物线方程为x2=-25y.
因为每4米需用一根支柱支撑,
所以支柱横坐标分别为-6,-2,2,6.
由图知,AB是最长的支柱之一.
设点B的坐标为(2,yB),
代入x2=-25y,得yB=-.
所以|AB|=4-=3.84,
即最长支柱的长为3.84米.
当堂训练
1.C 2.B 3.D 4.8
5.解
(1)准线方程为y=-3,
则=3,p=6,
所以抛物线的标准方程为x2=12y.
(2)椭圆+=1的焦点坐标为F1(1,0),
F2(-1,0),
所以抛物线的标准方程为y2=±
4x.