新教材人教A版高中数学必修第一册第三章函数的概念与性质 知识点易错点解题方法提炼汇总Word文档格式.docx

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闭区间

[a，b]

{x|a＜x＜b}

开区间

（a，b）

{x|a≤x＜b}

半开半闭区间

[a，b）

{x|a＜x≤b}

（a，b]

（2）特殊区间

区间

{x|x≥a}

[a，＋∞）

{x|x＞a}

（a，＋∞）

{x|x≤b}

（－∞，b]

{x|x＜b}

（－∞，b）

R

（－∞，＋∞）

解题方法探究

探究一　函数关系的判断

[例1]　

（1）下列集合A到集合B的对应f是函数的是（　　）

A．A＝{－1,0,1}，B＝{0,1}，f：

A中的数平方

B．A＝{0,1}，B＝{－1,0,1}，f：

A中的数开方

C．A＝Z，B＝Q，f：

A中的数取倒数

D．A＝R，B＝{正实数}，f：

A中的数取绝对值

[解析]　按照函数定义，选项B，集合A中的元素1对应集合B中的元素±

1，不符合函数定义中一个自变量的值对应唯一的函数值的条件；

选项C，元素0取倒数没有意义，也不符合函数定义中集合A中任意元素都对应唯一函数值的要求；

选项D，集合A中的元素0在集合B中没有元素与其对应，也不符合函数定义中集合A中的任意元素都对应唯一函数值的要求，只有选项A符合函数定义．

[答案]　A

（2）下列图形中，不能确定y是x的函数的是（　　）

[解析]　任作一条垂直于x轴的直线x＝a，移动直线，根据函数的定义可知，此直线与函数图象至多有一个交点．结合选项可知D不满足要求，因此不表示函数关系．

[答案]　D

1．判断一个对应是否是函数的方法

2．根据图形判断对应是否为函数的步骤

（1）任取一条垂直于x轴的直线l.

（2）在定义域内平行移动直线l.

（3）若l与图形有且只有一个交点，则是函数；

若在定义域内没有交点或有两个或两个以上的交点，则不是函数．如图所示：

探究二　求函数的定义域

[例2]　

（1）函数y＝的定义域为（　　）

A．（－∞，1）B．（－∞，0）∪（0,1]

C．（－∞，0）∪（0,1）D．[1，＋∞）

（2）已知函数y＝f（x）与函数y＝＋是相等函数，则函数y＝f（x）的定义域是（　　）

A．[－3,1]B．（－3,1）

C．（－3，＋∞）D．（－∞，1]

（3）函数y＝的定义域是（　　）

A．{x|x＞0}B．{x|x＜0}

C．{x|x＜0，且x≠－1}D．{x|x≠0，且x≠－1}

（4）已知等腰△ABC的周长为10，则底边长y关于腰长x的函数关系为y＝10－2x，则函数的定义域为________．

[解析]　

（1）由解得故选B.

（2）由于y＝f（x）与y＝＋是相等函数，故二者定义域相同，所以y＝f（x）的定义域为{x|－3≤x≤1}．写成区间形式为[－3,1]．故选A.

（3）∵∴∴故选C.

（4）由题意知0＜y＜10，即0＜10－2x＜10，解得0＜x＜5.又底边长y与腰长x应满足2x＞y，即4x＞10，x＞.综上，＜x＜5.

[答案]　

（1）B　

（2）A　（3）C　（4）

求函数定义域的实质及结果要求

（1）求函数的定义域实质是解不等式（组），即将满足的条件转化为解不等式（组）的问题，要求把满足条件的不等式列全．

（2）结果要求：

定义域的表达形式可以是集合形式，也可以是区间形式．

（3）一般地，形如y＝，则f（x）≥0，

形如y＝，则f（x）≠0，

形如y＝（f（x））0，则f（x）≠0.

探究三　求函数值问题

[例3]　[教材P65例2拓展探究]

（1）若函数f（x）＝＋，求f（f（－3））的值．

[解析]　∵f（－3）＝－1.

∴f（f（－3））＝f（－1）＝＋＝＋1.

（2）若函数f（x）＝＋，求f（x－1）的定义域．

[解析]　法一：

f（x－1）＝＋＝＋

∴

定义域为[－2，－1）∪（－1，＋∞）．

法二：

∵f（x）的定义域为{x|x≥－3且x≠－2}，

∴f（x－1）的定义域为x－1≥－3且x－1≠－2.

即{x|x≥－2且x≠－1}．

（3）若函数f（x）＝＋，设g（x）＝x2－3，求f[g（x）]．

[解析]　首先g（x）≥－3，且g（x）≠－2，

即x2－3≥－3且x2－3≠－2，

∴x≠±

1.

∴f[g（x）]＝＋＝＋＝|x|＋.

∴f[g（x）]＝|x|＋（x≠±

1）．

函数求值的方法及关注点

（1）方法：

①求f（a）：

已知f（x）的解析式时，只需用a替换解析式中的x即得f（a）的值．

②求f（g（a））：

已知f（x）与g（x），求f（g（a））的值应遵循由里往外的原则．

（2）关注点：

用来替换解析式中x的数a必须是函数定义域内的值，否则函数无意义．

易错点归纳

一、抽象函数有“据”可依——抽象函数的定义域问题、求值问题

所谓抽象函数，是指明显、具体的给出x与y之间的关系，只是借用函数符号来表达，指明了一些性质的函数．

1．定义域问题

求抽象函数定义域的原则及方法

（1）原则：

同在对应法则f下的范围相同，即f（t），f（φ（x）），f（h（x））三个函数中的t，φ（x），h（x）的范围相同．

（2）方法：

①已知f（x）的定义域为A，求f（g（x））的定义域，其实质是已知g（x）∈A，求x的范围；

②已知f（g（x））的定义域为A，求f（x）的定义域，其实质是已知x∈A，求g（x）的范围，此范围就是f（x）的定义域．

[典例]　

（1）已知函数f（x）的定义域为[0,1]，求f（x2＋1）的定义域；

（2）已知函数f（2x－1）的定义域为[0,1），求f（1－3x）的定义域．

[解析]　

（1）因为函数f（x2＋1）中的x2＋1相当于函数f（x）中的x，所以0≤x2＋1≤1，即－1≤x2≤0，所以x＝0，故f（x2＋1）的定义域为{x|x＝0}．

（2）因为f（2x－1）的定义域为[0,1），即0≤x＜1，

所以－1≤2x－1＜1.

故f（x）的定义域为[－1,1），所以－1≤1－3x＜1.

解得0＜x≤，所以f（1－3x）的定义域为.

2．求值问题

充分利用所给函数的性质或者特征，结合已知值，采用赋值法．

[典例]　定义在R上的函数f（x）满足f（x＋y）＝f（x）＋f（y）＋2xy（x，y∈R），f

（1）＝2，则f（－3）等于（　　）

A．2　　　　　　　B．3

C．6D．9

[解析]　f

（1）＝f（1＋0）＝f

（1）＋f（0）＋2×

1×

0＝f

（1）＋f（0），得f（0）＝0；

又f（0）＝f（－1＋1）＝f（－1）＋f

（1）＋2×

（－1）×

1＝f（－1）＋2－2＝f（－1），得f（－1）＝0；

f（－2）＝f（－1－1）＝2f（－1）＋2×

（－1）2＝2×

0＋2＝2；

f（－3）＝f（－2－1）＝f（－2）＋f（－1）＋2×

（－2）×

（－1）＝2＋0＋4＝6.

[答案]　C

点评　求解此类问题时要灵活选择赋值量，反复运用已知关系式．

二、求定义域时盲目化简

[典例]　求函数y＝－的定义域．

[解析]　要使函数有意义，须得x≤1且x≠－1

定义域为（－∞，－1）∪（－1,1]．

纠错心得　从表达式特征上看，似乎将函数式化简为y＝x＋1－，求定义域更简单.1－x≥0得x≤1.这已经破坏了函数的概念．求定义域务必是针对原函数而求，化简也是定义域内保持等价才可以．

3.1.2　函数的表示法

（1）

知识点　函数的三种表示方法

比较函数的三种表示法，它们各自的特点是什么？

知识梳理　解析法，就是用数学表达式表示两个变量之间的对应关系．

列表法，就是列出表格来表示两个变量之间的对应关系．

图象法，就是用图象表示两个变量之间的对应关系．

这三种方法是常用的函数表示法．

探究一　列表法表示函数

[例1]　

（1）某路公共汽车，行进的站数与票价关系如下表：

行进的站数

1

2

3

4

5

6

7

8

9

票价（元）

0.5

1.5

若某人乘坐此公共汽车7站后下车，票价应为________元．

（2）下表表示函数y＝f（x），则f（x）＞x的整数解的集合是________.

x

0＜x＜5

5≤x＜10

10≤x＜15

15≤x＜20

y＝f（x）

10

（3）已知两个函数f（x）和g（x）的定义域和值域都是集合{1,2,3}，其函数对应关系如表：

f（x）

g（x）

则方程g（f（x））＝x的解集为________．

[解析]　

（1）观察表格可知，自变量（行进的站数）为7时函数的值为1.5，所以此人乘车的票价应为1.5元．

（2）当0＜x＜5时，f（x）＞x的整数解为{1,2,3}．

当5≤x＜10时，f（x）＞x的整数解为{5}．

当10≤x＜15时，f（x）＞x的整数解为∅.

当15≤x＜20时，f（x）＞x的整数解为∅.

综上所述，f（x）＞x的整数解的集合是{1,2,3,5}．

（3）当x＝1时，f（x）＝2，g（f（x））＝2，不符合题意；

当x＝2时，f（x）＝3，g（f（x））＝1，不符合题意；

当x＝3时，f（x）＝1，g（f（x））＝3，符合题意，

综上，方程g（f（x））＝x的解集为{3}．

[答案]　

（1）1.5　

（2）{1,2,3,5}　（3）{3}

列表法表示函数的相关问题的解法

解决此类问题关键在于弄清每个表格表示的函数，对于f（g（x））这类函数值的求解，应从内到外逐层求解，而求解不等式，则可分类讨论或列表解决．

探究二　函数的图象及应用

[例2]　

（1）某城市为了解游客人数的变化规律，提高旅游服务质量，收集并整理了2016年1月至2018年12月期间月接待游客量（单位：

万人）的数据，绘制了下面的折线图．

根据该折线图，下列结论错误的是（　　）

A．月接待游客量逐月增加

B．年接待游客量逐年增加

C．各年的月接待游客量高峰期大致在7,8月

D．各年1月至6月的月接待游客量相对于7月至12月，波动性更小，变化比较平稳

[解析]　2016年8月到9月，10月到11月等是逐月下降的，故A错．

（2）已知二次函数y＝－x2＋4x－3.

①指出该函数图象的开口方向、对称轴方程、