高考数学二轮复习第1部分重点强化专题专题4立体几何第10讲立体几何中的向量方法教学案理IWord格式.docx

高考数学二轮复习第1部分重点强化专题专题4立体几何第10讲立体几何中的向量方法教学案理IWord格式.docx

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因为AT⊂平面PAB，MN⊄平面PAB，

所以MN∥平面PAB.

（2）取BC的中点E，连接AE.

由AB＝AC得AE⊥BC，从而AE⊥AD，

且AE＝＝＝.

以A为坐标原点，的方向为x轴正方向，建立如图所示的空间直角坐标系Axyz.

由题意知P（0,0,4），M（0,2,0），C（，2,0），N，

＝（0,2，－4），＝，＝.

设n＝（x，y，z）为平面PMN的法向量，则

即

可取n＝（0,2,1）．

于是|cos〈n，〉|＝＝.

所以直线AN与平面PMN所成角的正弦值为.

[类题通法]　向量法求线面角的一般步骤

1.建立恰当的空间直角坐标系，求出相关点的坐标.

2.写出相关向量的坐标.

3.求平面的法向量.

4.求线面角的正弦值.

5.转化为几何结论.

提醒：

直线和平面所成角的正弦值等于平面法向量与直线方向向量夹角的余弦值的绝对值，即注意函数名称的变化.

■对点即时训练………………………………………………………………………·

如图102，菱形ABCD中，∠ABC＝60°

，AC与BD相交于点O，AE⊥平面ABCD，CF∥AE，AB＝AE＝2.

图102

（1）求证：

BD⊥平面ACFE；

（2）当直线FO与平面BED所成的角为45°

时，求异面直线OF与BE所成的角的余弦值大小．

∵四边形ABCD是菱形，∴BD⊥AC.

∵AE⊥平面ABCD，BD⊂平面ABCD，

∴BD⊥AE.

∵AC∩AE＝A，∴BD⊥平面ACFE.

（2）以O为原点，，的方向为x，y轴正方向，过O且平行于CF的直线为z轴（向上为正方向），建立空间直角坐标系，则B（0，，0），D（0，－，0），E（1,0,2），F（－1,0，a）（a＞0），＝（－1,0，a）．

设平面EBD的法向量为n＝（x，y，z），

则有，即，令z＝1，则n＝（－2,0,1），

由题意得sin45°

＝|cos〈，n〉|＝＝＝，解得a＝3或－.

由a＞0，得a＝3，

＝（－1,0,3），＝（1，－，2），

cos〈，〉＝＝，

故异面直线OF与BE所成的角的余弦值为.]

■题型强化集训………………………………………………………………………·

（见专题限时集训T1）

题型2　向量法求二面角（答题模板）

（对应学生用书第34页）

利用向量法求二面角的大小是高考对立体几何的常规考法，它以代数运算代替抽象的思维，给立体几何带来了鲜活的方法，此类问题建系是突破口，求解的关键是平面的法向量．（2017·

全国Ⅰ卷T18,2017·

全国Ⅱ卷T19,2017·

全国Ⅲ卷T19,2016·

全国Ⅰ卷T18,2016·

全国Ⅱ卷T19,2014·

全国Ⅰ卷T19,2013·

全国Ⅱ卷T18）

【典题】　（本小题满分12分）（2017·

全国Ⅱ卷）如图103，四棱锥PABCD中，侧面①且②，AB＝BC＝AD，∠BAD＝∠ABC＝90°

，E是PD的中点．

图103

（1）③

（2）点④，

且⑤，

⑥.

07804073】

[审题指导]

题眼

挖掘关键信息

①

看到PAD为等边三角形，

想到等边三角形的有关性质.

②

看到PAD垂直于底面ABCD，

想到面面垂直的性质.

③

看到证明直线CE∥平面PAB，

想到线面平行的判定或面面平行的性质.

④

看到M在棱PC上，

想到P，M，C三点共线，想到点M的设法.

⑤

看到直线BM与底面ABCD所成角为45°

，

想到线面角的求法，想到平面法向量的计算方法.

⑥

看到求二面角MABD的余弦值，

想到求平面MAB与平面ABD的法向量.

[规范解答]　

（1）证明：

⑦，连接EF，BF.

因为E是PD的中点，所以EF∥AD，EF＝AD.2分

由∠BAD＝∠ABC＝90°

得BC∥AD，

又BC＝AD，所以EF綊BC，

四边形BCEF是平行四边形，CE∥BF.4分

又BF⊂平面PAB，CE⊄平面PAB，故CE∥平面PAB.

（2）

由已知得BA⊥AD，以A为坐标原点，的方向为x轴正方向，||为单位长度，建立如图所示的空间直角坐标系Axyz，⑧

则A（0,0,0），B（1,0,0），C（1,1,0），P（0,1，），＝（1,0，－），＝（1,0,0）.7分

设M（x，y，z）（0<

x<

1），则

＝（x－1，y，z），＝（x，y－1，z－）．

因为BM与底面ABCD所成的角为45°

而n＝（0,0,1）是底面ABCD的法向量，

所以|cos〈，n〉|＝sin45°

，＝，

即（x－1）2＋y2－z2＝0.①8分

⑨则

x＝λ，y＝1，z＝－λ.②

由①②解得（舍去），或

所以M，从而＝.10分

设m＝（x0，y0，z0）是平面ABM的法向量，则

所以可取m＝（0，－，2）.11分

于是cos〈m，n〉＝＝.

因此二面角MABD的余弦值为.12分

[阅卷者说]

易错点

防范措施

⑦因空间想象力不足，导致不会作辅助线，进而导致

（1）无法证明.

当题设条件出现边的中点，要证明线面平行时，常取另一个边的中点，构造平行关系.

⑧因对图形和立体几何的理论体系不熟，导致不会建系，进而不会求二面角的余弦值.

熟知常见的空间直角坐标系的建法，结合已知的图形中的垂直关系建系，如本题也可以AD的中点为坐标原点，OC为x轴，OD为y轴，OP为z轴建系.

⑨因对向量共线知识不熟，导致点M的坐标计算不出，致使

（2）无法求解.

点M在棱PC上，则＝λ（0＜λ＜1）.

[通性通法]　向量法求二面角的方法

1若n1，n2分别是二面角αlβ的两个半平面α，β的法向量，则二面角θ的大小满足|cosθ|＝.然后利用图形判断二面角是锐角或钝角.

2若AB，CD是二面角αlβ的两个半平面内与棱l垂直的直线，则二面角的大小θ为与的夹角或其补角.

（2017·

安徽马鞍山模拟）已知四棱锥PABCD中，如图104，底面ABCD是梯形，BC∥AD，AB⊥AD，且AB＝BC＝1，AD＝2，顶点P在平面ABCD内的射影H在AD上，PA⊥PD.

图104

平面PAB⊥平面PAD；

（2）若直线AC与PD所成角为60°

，求二面角APCD的余弦值.

07804074】

∵PH⊥平面ABCD，AB⊂平面ABCD，∴PH⊥AB.

∵AB⊥AD，AD∩PH＝H，AD，PH⊂平面PAD，∴AB⊥平面PAD.

又AB⊂平面PAB，∴平面PAB⊥平面PAD.

（2）以A为原点，建立空间直角坐标系Axyz，如图，

∵PH⊥平面ABCD，

∴z轴∥PH.

则A（0,0,0），C（1,1,0），

D（0,2,0），设AH＝a，PH＝h（0＜a＜2，h＞0）．

则P（0，a，h）．

∴＝（0，a，h），＝（0，a－2，h），＝（1,1,0）．

∵PA⊥PD，∴·

＝a（a－2）＋h2＝0.

∵AC与PD所成角为60°

∴|cos〈，〉|＝＝，

∴（a－2）2＝h2，∴（a－2）（a－1）＝0，

∵0＜a＜2，∴a＝1.∵h＞0，∴h＝1，∴P（0,1,1）．

∴＝（0,1,1），＝（1,1,0），＝（1,0，－1），＝（1，－1,0），设平面APC的法向量为n＝（x，y，z），由，

得平面APC的一个法向量为n＝（1，－1,1），

设平面DPC的法向量为m＝（x，y，z）．

由，

得平面DPC的一个法向量为m＝（1,1,1）．

∴cos〈m，n〉＝＝.

∵二面角APCD的平面角为钝角，

∴二面角APCD的余弦值为－.

（见专题限时集训T2、T4）

题型3　利用空间向量求解探索性问题

（对应学生用书第36页）

立体几何中探索性问题的种类及其求法

（1）立体几何中的探索性题目主要有两类：

一是利用空间线面关系的判定与性质定理进行推理探究，二是对几何体的空间角、距离和体积等的研究．

（2）其解决方法多通过求角、距离、体积等把这些问题转化为关于某个参数的方程问题，根据方程解的存在性来解决．

【典题】　如图105

（1），在直角梯形ABCD中，AD∥BC，AD⊥AB，AD＝1，BC＝2，E为CD上一点，且DE＝1，EC＝2，现沿BE折叠使平面BCE⊥平面ABED，F为BE的中点，如图105

（2）．

图105

（1）　　　　　　图105

（2）

AE⊥平面BCE；

（2）能否在边AB上找到一点P，使平面ACE与平面PCF所成角的余弦值为？

若存在，试确定点P的位置；

若不存在，请说明理由．

[思路分析]　

（1）证明AE⊥BEAE⊥平面BCE；

（2）证明CF⊥平面ABED求点A，C，E，F的坐标＝λ由两平面所成角的余弦值为确定P的位置．

在直角梯形ABCD中作DM⊥BC于M，连接AE，

则CM＝2－1＝1，CD＝DE＋CE＝1＋2＝3，

则DM＝AB＝＝＝2，

cosC＝＝，

则BE＝

＝＝，

AE＝

所以AE2＋BE2＝AB2，故AE⊥BE，且折叠后AE与BE位置关系不变．

又平面BCE⊥平面ABED，且平面BCE∩平面ABED＝BE，所以AE⊥平面BCE.

（2）连接CF，因为在△BCE中，BC＝CE＝2，F为BE的中点，所以CF⊥BE.又平面BCE⊥平面ABED，且平面BCE∩平面ABED＝BE，

所以CF⊥平面ABED.以F为坐标原点，过点F且平行于AE的直线为x轴，FB，FC所在直线分别为y轴，z轴，

建立如图所示的空间直角坐标系Fxyz，

则F（0,0,0），

A，C，E，

从而＝，＝.

设平面ACE的法向量为m＝（x1，y1，z1），

则

令z1＝1，

则x1＝0，y1＝－，

可得平面ACE的一个法向量为m＝（0，－，1）．

假设在AB上存在一点P，使平面ACE与平面PCF所成角的余弦值为，且＝λ（0≤λ≤1）．

因