高中数学必修⑤34《基本不等式二》教学设计Word文件下载.docx

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体验在学习中获得成功的成就感，为远大的志向而不懈奋斗。

教学重点：

基本不等式与的进一步应用

教学难点：

理解“当且仅当a=b时取等号”的数学内涵（a与b或许是一个式子），注意运用不等式求最大（小）值的条件

教具：

多媒体、实物投影仪

教学方法：

合作探究、分层推进教学法

教学过程：

一、双基回眸科学导入：

★上两节课，我们学习了基本不等式，并且体会到在实际问题中的应用，感受到不等式在实际生活中的更广泛运用。

下面，首先我们一起回顾一下这些知识和方法：

基本不等式：

一般的，如果

特别的，如果a>

0,b>

0,我们用分别代替a、b，可得，

简单回顾上节从实际问题中抽象出基本不等式的情景

这是北京召开的第24届国际数学家大会的会标，大家想一想,你能通过这个简单的风车造型中得到一些相等和不等关系吗?

【问题1】我们把“风车”造型抽象成图，在正方形ABCD中有4个全等的直角三角形.设直角三角形的长为、，那么正方形的边长为多少？

面积为多少呢？

学生答：

，

【问题2】那4个直角三角形的面积和呢？

【问题3】根据观察4个直角三角形的面积和与正方形的面积的大小关系，我们可得到一个怎样的不等式呢？

。

【问题4】什么时候这两部分面积相等呢？

当直角三角形变成等腰直角三角形，即时，正方形EFGH变成一个点，这时有

【得到结论】一般的，如果

基本不等式在最值方面的主要应用：

1.两个正数的和为定值时，它们的积有最大值，即若a，b∈R＋，且a＋b＝M，M为定值则ab≤，等号当且仅当a＝b时成立.

2.两个正数的积为定值时，它们的和有最小值，即若a，b∈R＋，且ab＝P，P为定值，则a＋b≥2，等号当且仅当a＝b时成立.

通过前面对不等式应用，同学们已经体会到了不等式的重要性和绝对性，可以说，不等式的应用体现在自然、社会、生活的方方面面，今天我们将进一步研究不等式的应用……

二、创设情境合作探究：

【引领学生合作交流进一步探究基本不等式的应用】

学习函数时，我们曾遇到过一个著名的函数：

，并运用其单调性解决了与其相关的函数的最值问题。

同学们能否运用现在所学的基本不等式来求出其值域呢？

下面，大家交流一下……

【通过交流、探索得到】

综上所述：

所以，函数的值域为

【评析】此种方法充分运用了基本不等式的性质并体现了转化思想的恰当运用：

把负数转化为正数，方可用上基本不等式。

下面同学们再利用这种思想方法来解决一些相关问题……

三、互动达标巩固所学：

问题.1已知x、y都是正数，求证：

（1）≥2；

（2）（x＋y）（x2＋y2）（x3＋y3）≥８x3y3.

【分析】充分运用定理：

来逐步解决即可，注意条件a、b均为正数，结合不等式的性质（把握好每条性质成立的条件），进行变形.

【解析】∵x，y都是正数∴＞0，＞0，x2＞0，y2＞0，x3＞0，y3＞0

（1）＝2即≥2.

（2）x＋y≥2＞0x2＋y2≥2＞0x3＋y3≥2＞0

∴（x＋y）（x2＋y2）（x3＋y3）≥2·

2·

2＝８x3y3

即（x＋y）（x2＋y2）（x3＋y3）≥８x3y3.

【点评】这两个题是论证问题，从证明过程来看，主要是利用了我们刚学过的基本不等式。

重要不等式a2＋b2≥2ab；

两正数a、b的算术平均数（），几何平均数（）及它们的关系（≥）.它们成立的条件不同，前者只要求a、b都是实数，而后者要求a、b都是正数.它们既是不等式变形或证明的基本工具，又是求函数最值的重要工具.我们还可以用它们下面的等价变形来解决问题：

ab≤，ab≤（）2.

问题.2已知m>

0,求证。

【分析】因为m>

0,所以可把和分别看作基本不等式中的a和b,直接利用基本不等式。

【解析】[证明]因为m>

0,，由基本不等式得

当且仅当=，即m=2时，取等号。

【点评】此题仍是运用基本不等式来证明的论证问题，m>

0这一前提条件和=144为定值的前提条件。

问题.3求证:

.

【分析】由于不等式左边含有字母a,右边无字母,直接使用基本不等式,无法约掉字母a,而左边.这样变形后,在用基本不等式即可得证.

【解析】[证明]

当且仅当=a-3即a=5时,等号成立.

【点评】此题虽然仍是运用基本不等式来证明的论证问题，但却需要对式子进行恰当变形通过加减项的方法配凑成基本不等式的形式.这也是今后常见的思想方法。

问题.4若x>

0,y>

0,且,求xy的最小值.

【分析】显然已知的式子与所求的式子关系不直接，不能一步就可用基本不等式求出，看能否利用基本不等式对已知的式子进行推演，得到与所求有关的式子。

【解析】因为

所以，

当且仅当时，即x=4,y=16时xy取到最小值64。

【点评】此题是运用基本不等式来求最值的问题，但却不是从所求的式子直接推求，而是从已知的式子出发，进行推演，去找到所求的式子，这也是今后常见的求最值的类型。

利用基本不等式求最值时,个项必须为正数,若为负数,则添负号变正.

在用均值不等式求函数的最值，是值得重视的一种方法，但在具体求解时，应注意考查下列三个条件：

（1）函数的解析式中，各项均为正数；

（2）函数的解析式中，含变数的各项的和或积必须有一个为定值；

（3）函数的解析式中，含变数的各项均相等，取得最值即用均值不等式求某些函数的最值时，应具备三个条件：

一正二定三取等。

四、思悟小结：

知识线：

（1）不等式的基本性质；

（2）基本不等式与及其等价形式。

思想方法线：

（1）证明不等式的综合法；

（2）建模思想方法；

（3）等价转化思想；

题目线：

（1）利用不等式的基本性质与基本不等式解决最值问题；

（2）利用基本不等式用综合法证明简单的不等式。

五、针对训练巩固提高：

<

Ⅰ>

论证

①

②

③

Ⅱ>

知积求和：

1、把36写成两个正数的积，当这两个正数取什么值时，它们的和最小？

2、求（x>

5）的最小值.

3、求函数y=的最小值

4、某单位建造一间背面靠墙的小房，地面面积为12m2,房屋正面每平方米的造价为1200元，房屋侧面每平方米的造价为800元，屋顶的造价为5800元，如果墙高为3m，且不计房屋背面和地面的费用，问怎样设计房屋能使总造价最低？

最低总造价为多少？

Ⅲ>

、知和求积：

1、把18写成两个正数的和，当这两个正数取什么值时，它们的积最小？

2、一段长为30m的篱笆围成一个一边靠墙的矩形菜园，墙长18m，问这个矩形的长、宽各为多少时，菜园的面积最大？

最大面积是多少？

3、已知矩形的周长为36，矩形绕它的一条边旋转形成一个圆柱，矩形的长、宽、为多少时，旋转形成的圆柱的侧面积最大？

Ⅳ>

、灵活运用：

1、x,y为正实数，若x+4y=1,则xy的最大值为，的最小值为。

2、若正数a,b满足ab=a+b+3,则a+b的取值范围为,

ab的取值范围为。

3、判断正误：

①若0＜x＜，则y=sinx+≥2，故y的最小值为

②若0＜x＜，则y=sinx+=≥，

故y的最小值为

③若x＞0,则y=2+x+≥2+2=6,故y的最小值是6.

④若0＜x＜1，则y=x（4-x）≤=4,故y的最小值为4.

4．

（1）若x>

0,求的最小值;

（2）若x<

0,求的最大值.

5、求函数y=2-3x-的值域。

【作业】巩固提高<

中的3与<

中的2、5