小学数学奥数基础教程(六年级)--13.doc

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小学数学奥数基础教程（六年级）--第13讲

本教程共30讲

立体图形

（一）

　　我们学过的立体图形有长方体、正方体、圆柱体、圆锥体等。

这一讲将通过长方体、正方体及其组合图形，讲解有关的计数问题。

　　例1左下图中共有多少个面？

多少条棱？

　　分析与解：

如右上图所示，可以分前、后、左、右、上、下六个方向看这个立体图形。

　　前、后看各有1个面，左面看有1个面，右面看有2个面，上面看有2个面，下面看有1个面。

所以共有

　　1＋1+1+2＋2＋1=8（个）面。

　　前后方向的棱有6条，左右方向的棱有6条，上下方向的棱也有6条，所以共有棱6＋6＋6=18（条）。

　　例2右图是由18个边长为1厘米的小正方体拼成的，求它的表面积。

　　分析与解：

如果一面一面去数，那么虽然可以得到答案，但太麻烦，而且容易出错。

仔细观察会发现，这个立体的上面与下面、左面与右面、前面与后面的面积分别相等。

　　如上图所示，可求得表面积为

　　（9＋7＋8）×2=48（厘米2）。

　　例3右图是由22个小正方体组成的立体图形，其中共有多少个大大小小的正方体？

由两个小正方体组成的长方体有多少个？

　　分析与解：

正方体只可能有两种：

　　由1个小正方体构成的正方体，有22个；

　　由8个小正方体构成的2×2×2的正方体，有4个。

　　所以共有正方体22＋4=26（个）。

　　由两个小正方体组成的长方体，根据摆放的方向可分为下图所示的上下位、左右位、前后位三种，其中上下位有13个，左右位有13个，前后位有14个，共有13＋13＋14=40（个）。

　　例4有一个棱长为5厘米的正方体木块，从它的每个面看都有一个穿透的完全相同的孔（见下页左上图），求这个立体图形的表面积。

　　分析与解：

由于正方体中间被穿了孔，表面积不好计算。

我们可以将这个立体图形看成由8个棱长为2厘米的正方体和12个棱长为1厘米的立方体粘合而成。

如右上图所示，八个棱长为2厘米的正方体分别在8个顶角，12个棱长1厘米的正方体分别在12条棱的中间。

由于每个小正方体都有2个面分别粘接两个较大正方体，相对于不粘接，减少了表面积4厘米2，所以总的表面积为

　　（2×2×6）×8＋（1×1×6）×12-4×12=216（厘米2）。

　　例5右图是由120块小立方体构成的4×5×6的立方体，如果将其表面涂成红色，那么其中一面、二面三面被涂成红色的小立方体各有多少块？

　　分析与解：

一个长方体有8个角、12条棱、6个面，角上的8个小立方体三面涂有红色，在棱上而不在角上的小立方体两面涂有红色，在面上而不在棱上的小立方体一面涂有红色，不在面上的小立方体没有涂上红色。

　　根据上面的分析得到：

　　三面涂有红色的小立方体有8块；

　　两面涂有红色的小立方体，因为每条棱上要去掉两头的2块，故有［（4-2）＋（5-2）+（6-2）］×4=36（块）；

　　一面涂有红色的小立方体，因为每个面上要去掉周围一圈的小立方体，故有

　　［（4-2）×（5-2）＋（4-2）×（6-2）＋（5-2）×（6-2）］×2＝52（块）。

　　一般地，当a，b，c都不小于2时，对于a×b×c的立方体：

　　三面涂有红色的小立方体有8块；

　　两面涂有红色的小立方体的块数是：

　　［（a-2）＋（b-2）＋（c-2）］×4；

　　一面涂有红色的小立方体的块数是：

　　［（a-2）×（b-2）＋（a-2）×（c-2）＋（b-2）×（c-2）］×2；

　　没有被涂上红色的小立方体的块数是：

　　（a-2）×（b-2）×（c-2）。

　　例6给一个立方体的每个面分别涂上红、黄、蓝三种颜色中的一种，每种颜色涂两个面，共有多少种不同涂法？

（两种涂法，经过翻动能使各种颜色的位置相同，认为是相同的涂法。

）

　　分析与解：

根据两个红色面相对还是相邻可分为两情况。

（1）两个红色面相对。

此时，有蓝蓝相对和蓝蓝相邻两种涂法。

（2）两个红色面相邻。

此时，除蓝蓝相对和黄黄相对两种涂法外，当蓝黄相对时，按右图摆放，底面有蓝或黄两种涂法。

　　所以共有6种不同涂法。

练习13

　　1.下页左上图中共有多少个面？

多少条棱？

　　2.有30个边长为1米的正方体，在地面上摆成右上图的形式，然后把露出的表面涂成红色。

求被涂成红色的表面积。

　　3.有一个正方体，红、黄、蓝色的面各有两面。

在这个正方体中，有一些顶点是三种颜色都不同的面的交点，这种顶点最多有几个？

最少有几个？

　　4.将一个表面涂有红色的长方体分割成若干个体积为1厘米3的小正方体，其中一点红色都没有的小立方体只有3块。

求原来长方体的体积。

　　5.将一个5×5×5的立方体表面全部涂上红色，再将其分割成1×1×1的小立方体，取出全部至少有一个面是红色的小立方体，组成表面全部是红色的长方体。

那么，可组成的长方体的体积最大是多少？

　　6.在边长为3分米的立方体木块的每个面的中心打一个直穿木块的洞，洞口呈边长为1分米的正方形（见左下图）。

求挖洞后木块的体积及表面积。

　　7.把正方体的六个表面都划分成9个相等的正方形（右上图）。

用红、黄、蓝三种颜色去染这些小正方形，要求有公共边的正方形染不同的颜色，那么，用红色染的正方形最多有多少个？

答案与提示　练习13

　　1.9个面，21条棱。

　　2.56米2。

　　解：

4×4+（1+2+3+4）×4=56（米2）。

　　3.8个；2个。

　　提示：

颜色相同的面两两相对时有8个；

　　颜色相同的面两两相邻时有2个。

　　4.45厘米3。

　　解：

由3块小立方体构成的长方体体积为1×1×3厘米3，故原来长方体的体积为

　　（1+2）×（1+2）×（3+2）=45（厘米3）。

　　5.96。

　　解：

至少有一个面是红色的小立方体有53-33=98（个），其中三面红的8个，两面红的36个，一面红的54个。

可以组成4×4×6的表面全是红色的长方体，体积是4×4×6=96。

　　6.20分米3；72分米3。

　　7.22个。

　　解：

一个面最多有5个方格可染成红色（见左下图）。

因为染有5个红色方格的面不能相邻，可以相对，所以至多有两个面可以染成5个红色方格。

　　其余四个面中，每个面的四个角上的方格不能再染成红色，至多能染4个红色方格（见上中图）。

因为染有4个红色方格的面也不能相邻，可以相对，所以至多有两个面可以染成4个红色方格。

　　最后剩下两个相对的面，每个面最多可以染2个红色方格（见右上图）。

　　所以，红色方格最多有5×2+4×2+2×2=22（个）。