学年高中数学北师大版必修四教学案第二章 6 平面向量数量积的坐标表示 Word版含答案Word文件下载.docx

学年高中数学北师大版必修四教学案第二章 6 平面向量数量积的坐标表示 Word版含答案Word文件下载.docx

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直线l的方向向量即是与l平行的向量，意指表示该向量的有向线段所在的直线与l平行或重合，所以直线l的方向向量不唯一（有无数个），但它们都是共线向量．

讲一讲

1．已知向量a＝（4，－2），b＝（6，－3），求：

（1）（2a－3b）·

（a＋2b）；

（2）（a＋b）2.

[尝试解答]　法一：

（1）∵2a－3b＝（8，－4）－（18，－9）＝（－10，5），

a＋2b＝（4，－2）＋（12，－6）＝（16，－8），

∴（2a－3b）·

（a＋2b）＝－160－40＝－200.

（2）∵a＋b＝（10，－5）

∴（a＋b）2＝（10，－5）×

（10，－5）＝100＋25＝125.

法二：

由已知可得：

a2＝20，b2＝45，a·

b＝30

（a＋2b）＝2a2＋a·

b－6b2

＝2×

20＋30－6×

45＝－200.

（2）（a＋b）2＝a2＋2a·

b＋b2＝20＋60＋45＝125.

进行向量的数量积的坐标运算关键是把握向量数量积的坐标表示，运算时常有两条途径：

（1）根据向量数量积的坐标表示直接运算；

（2）先利用数量积的运算律将原式展开，再依据已知计算．

练一练

1．已知a＝（2，1），b＝（－1，3），向量c满足a·

c＝4，b·

c＝－9.

（1）求向量c的坐标；

（2）求（a＋b）·

c的值．

解：

（1）设c＝（x，y），

由得，

解得x＝3，y＝－2.

∴c＝（3，－2）．

（2）法一：

∵a＋b＝（2，1）＋（－1，3）＝（1，4），

∴（a＋b）·

c＝（1，4）·

（3，－2）

＝1×

3＋4×

（－2）

＝－5.

（a＋b）·

c

＝a·

c＋b·

＝（2，1）·

（3，－2）＋（－1，3）·

3＋1×

（－2）＋（－1）×

3＋3×

2．已知a＝（1，2），b＝（－2，－4），|c|＝.

（1）求|a＋2b|；

（2）若（a＋b）·

c＝，求向量a与c的夹角．

[尝试解答]　

（1）a＋2b＝（1，2）＋2（－2，－4）＝（－3，－6）

∴|a＋2b|＝＝3.

（2）∵b＝（－2，－4）＝－2（1，2）＝－2a

∴a＋b＝－a，

c＝－a·

c＝

设a与c的夹角为θ，

则cosθ＝＝＝－

∵0≤θ≤π，∴θ＝π

即a与c的夹角为π.

1．已知向量的坐标和向量的模（长度）时，可直接运用公式|a|＝进行计算．

2．求向量的夹角时通常利用数量积求解，一般步骤为：

（1）先利用平面向量数量积的坐标表示求出两向量的数量积；

（2）再求出两向量的模；

（3）由公式cosθ＝计算cosθ的值；

（4）在[0，π]内，由cosθ的值确定角θ.

2．已知向量a＝（x1，y1），b＝（x2，y2），e＝（0，1），若a≠b，|a－b|＝2，且a－b与e的夹角为，则x1－x2＝（　　）

A．2　　　　　　　　　　B．±

C．±

D．±

1

解析：

选B　a－b＝（x1－x2，y1－y2）．

∴（a－b）·

e＝（x1－x2）×

0＋（y1－y2）×

1＝y1－y2.

∵|a－b|＝2，|e|＝1，a－b与e的夹角为，

∴cos＝＝＝，∴y1－y2＝1，

又由|a－b|＝2知，（x1－x2）2＋（y1－y2）2＝4，

∴（x1－x2）2＝3.∴x1－x2＝±

.

3．已知a＝（，－1），b＝.

（1）求证：

a⊥b；

（2）是否存在实数k，使x＝a－2b，y＝－ka＋b，且x⊥y，若存在，求k的值；

不存在，请说明理由．

[尝试解答]　

（1）证明：

∵a·

b＝×

＋（－1）×

＝0.

∴a⊥b.

（2）∵x＝（，－1）－2＝，

y＝－k（，－1）＋＝.

假设存在k使x⊥y，

∴x·

y＝（－1）＋（－1－）化简得：

－4k－2＝0

∴k＝－即存在k＝－，使x⊥y.

两向量互相垂直，则其数量积为零，反之也成立，因此：

（1）判断两个向量是否垂直，只需考察其数量积是否为0；

（2）若两向量垂直，则可利用数量积的坐标表示建立有关参数的方程，进而求解．

3．（安徽高考）设向量a＝（1，2m），b＝（m＋1，1），c＝（2，m）．若（a＋c）⊥b，则|a|＝________．

a＋c＝（3，3m），由（a＋c）⊥b，可得（a＋c）·

b＝0，即3（m＋1）＋3m＝0，解得m＝－，则a＝（1，－1），故|a|＝.

答案：

已知向量a＝（－2，－1），b＝（t，1）．且向量a与b的夹角为钝角，求实数t的取值范围．

[错解]　设向量a与b的夹角为θ，则θ为钝角，

∴cosθ＝<

0，∴a·

b<

0.

∴a·

b＝（－2，－1）·

（t，1）＝－2t－1<

0，

得t>

－.

故t的取值范围是（－，＋∞）．

[错因]　错解在于误认为θ为钝角等价于a·

0，实际上，a·

0包含两向量反向共线的情况，即θ＝π的情况，无疑扩大夹角的取值范围．

[正解]　设向量a与b的夹角为θ，

∵θ为钝角∴<

θ<

π.

0，即（－2，－1）·

∴t>

当a∥b时，－2×

1－（－1）×

t＝0，得t＝2，

这时b＝（2，1）＝－a，b与a反向．

即当t＝2时，θ＝π，不合题意．

故t的取值范围为（－，2）∪（2，＋∞）．

1．向量i＝（1，0），j＝（0，1），下列向量中与向是i＋j垂直的是（　　）

A．2i＋2j　　　　　　　B．－i＋j

C．2i＋jD．－i－j

选B　可知i＋j＝（，1），逐项考察知，

（i＋j）·

（－i＋j）＝（，1）·

（－1，）

＝－＋＝0.

∴－i＋j与i＋j垂直．

2．已知向量a＝（1，m），b＝（3，－2），且（a＋b）⊥b，则m＝（　　）

A．－8B．－6

C．6D．8

选D　法一：

因为a＝（1，m），b＝（3，－2），

所以a＋b＝（4，m－2）．

因为（a＋b）⊥b，

所以（a＋b）·

b＝0，

所以12－2（m－2）＝0，解得m＝8.

因为（a＋b）⊥b，所以（a＋b）·

b＝0，即a·

b＋b2＝3－2m＋32＋（－2）2＝16－2m＝0，解得m＝8.

3．（重庆高考）设x，y∈R，向量a＝（x，1），b＝（1，y），c＝（2，－4）且a⊥c，b∥c，则|a＋b|＝（　　）

A.B．2

C．2D．10

选B　因为a⊥c，b∥c，所以有2x－4＝0且2x＋4＝0，解得x＝2，y＝－2，

即a＝（2，1），b＝（1，－2）．所以a＋b＝（3，－1），|a＋b|＝.

4．经过点A（1，0）且方向向量与d＝（2，－1）垂直的直线方程为________．

设直线的方向向量为m＝（1，k），

由m⊥d得2－k＝0.

∴直线的斜率k＝2，故所求直线的方程为y＝2（x－1）．

即2x－y－2＝0.

2x－y－2＝0

5．设向量a，b的夹角为θ，且a＝（5，5），2b－a＝（－1，1），则cosθ＝________．

∵a＝（5，5），∴2b＝（5，5）＋（－1，1）＝（4，6）．即b＝（2，3）．

又|a|＝5，|b|＝，且a·

b＝（5，5）·

（2，3）＝25.

∴cosθ＝＝＝.

6．已知向量a＝（1，2），b＝（2，－2），

（1）设c＝4a＋b，求（b·

c）a；

（2）若a＋λb与a垂直，求λ的值；

（3）求向量a在b方向上的射影．

（1）∵c＝4（1，2）＋（2，－2）＝（6，6），

∴b·

c＝（2，－2）·

（6，6）＝2×

6－2×

6＝0，

∴（b·

c）a＝0·

a＝0.

（2）∵a＋λb＝（1，2）＋λ（2，－2）＝（1＋2λ，2－2λ），

（a＋λb）⊥a

∴（1＋2λ）＋2（2－2λ）＝0，

得λ＝.

（3）法一：

设a与b的夹角为θ，

则cosθ＝＝＝－.

∴向量a在b方向上的投影为

|a|cosθ＝·

（－）＝－.

b＝（1，2）·

（2，－2）＝－2，|b|＝2.

|a|cosθ＝＝＝－.

一、选择题

1．若向量a＝（1，2），b＝（1，－1），则2a＋b与a－b的夹角等于（　　）

A．－　　　　　　　　B.

C.D.

选C　因为2a＋b＝（2，4）＋（1，－1）＝（3，3），

a－b＝（0，3），

所以|2a＋b|＝3，|a－b|＝3.

设2a＋b与a－b的夹角为θ，

则cosθ＝＝＝，

又θ∈[0，π]，

所以θ＝.

2．已知向量a＝（3，4），b＝（2，－1），如果向量a＋xb与－b垂直，则x的值为（　　）

A．－B.

C.D．2

选A　∵a＋xb＝（3，4）＋x（2，－1）＝（3＋2x，4－x），

－b＝（－2，1），且（a＋xb）⊥（－b），

∴－2（3＋2x）＋（4－x）＝0，得x＝－.

3．已知向量a＝（2，1），a·

b＝10，|a＋b|＝5，则|b|＝（　　）

A.B.

C．5D．25

选C　法一：

设b＝（x，y），

则a·

b＝2x＋y＝10　①，

又a＋b＝（x＋2，y＋1），|a＋b|＝5，

∴（x＋2）2＋（y＋1）2＝50　②

①与②联立得或

∴|b|＝＝5.

由|a＋b|＝5得a2＋2a·

b＋b2＝50，

即5＋20＋b2＝50

∴b2＝25|b|＝5.

4．已知＝（4,2），＝（k，－2），若△ABC为直角三角形，则k等于（　　）

A．1B．6

C．1或6D．1或2或6

选C　当A＝90°

时，⊥，则4k－4＝0，k＝1；

当B＝90°

时，⊥，又＝－＝（k－4，－4）

∴4（k－4）＋2×

（－4）＝0解得k＝6；

当C＝90°

时，⊥，则k（k－4）＋（－2）×

（－4）＝0

即k2－4k＋8＝0，无解．

故k＝1或6.

二、填空题

5．（安徽高考）设向量a＝（1，2m），b＝（m＋1，1），c＝（2，m）．若（a＋c）⊥b，则|a|＝________．

由题意知，a＋c＝（3，3m），

（a＋c）·

b＝3（m＋1）＋3m＝0，解得m＝－，

即a＝（1，－1），|a|＝＝.

6．（新课标全国卷Ⅰ）已知两个单位向量a，b的夹角为