新人教A版高中数学空间向量与立体几何名师精编单元测试Word文件下载.docx
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A.60°
B.90°
C.105°
D.75°
4.直三棱柱ABCA1B1C1中，AA1=1，AB=4，BC=3，∠ABC=90°
，设平面A1BC1∩平面ABC=l,则A1C1与l的距离为（ ）
A.1B.
5.正方体ABCDA1B1C1D1的棱长为a,E、F分别是BB1、CD的中点，则点F到平面A1D1E的距离为（ ）
A.
B.
6.如图,在60°
的二面角α-AB-β内,ACβ,BDα,AC⊥AB于A,BD⊥AB于B,且AC=AB=BD=1,则CD的长为…（ ）
A.3
C.2
7.D是△ABC的边AB上的中点，则向量等于（）
A.B.
C.D.
8.如图,在棱长为1的正方体ABCDA1B1C1D1中,M、N分别为A1B1和BB1的中点,那么直线AM与CN所成的角的余弦值为（ ）
C.D.
9.已知空间四边形ABCD，连结AC、BD，设M、G分别是BC、CD的中点，则等于（ ）
B.3
C.3
D.2
10.若直线l的方向向量为a=（1,0,2）,平面α的法向量为u=（-2,0,-4）,则（ ）
A.l∥α
B.l⊥α
C.lα
D.l与α斜交
11.已知A（1，1，1），B（2，2，2），C（3，2，4），则△ABC的面积为（ ）
B.C.
12.已知a=（cosα,1,sinα）,b=（sinα,1,cosα）,则向量a+b与a-b的夹角为（ ）
D.不能确定
分卷II
二、20分（填空题）
13.【题文】[2014泉州模拟]如图，PD垂直于正方形ABCD所在平面，AB＝2，E为PB的中点，cos〈，〉＝，若以DA，DC，DP所在直线分别为x，y，z轴建立空间直角坐标系，则点E的坐标为________．
14.已知平面α的一个法向量为n=（1,1,1）,原点O（0,0,0）在平面α内,则点P（4,5,3）到α的距离为________.
15.已知向量n=（6,3,4）和直线l垂直,点A（2,0,2）在直线l上,则点P（-4,0,2）到直线l的距离为_____.
16.已知直线l1的一个方向向量为（-7,3,4）,直线l2的一个方向向量为（x,y,8）,且l1∥l2,则x=________,y=________.
三、70分（解答题）
17.在棱长为1的正方体ABCDA1B1C1D1中，BD1交平面ACB1于点E，求证：
（1）BD1⊥平面ACB1；
（2）.
18.如图，ABCD是直角梯形，∠ABC=90°
，SA⊥面ABCD，SA=AB=BC=1，,
（1）求面SCD与面SBA所成的二面角的正切值；
（2）求SC与平面ABCD所成的角的余弦值.
19.已知直线l过点A（1,-1,2）,和l垂直的一个向量为n=（-3,0,4）,求P（3,5,0）到l的距离.
20.已知P是正方形ABCD平面外一点，M、N分别是PA、BD上的点，且PM∶MA=BN∶ND=5∶8.求证：
直线MN∥平面PBC.
21.已知a=（2,-1,-2）,b=（0,-1,4）,
求:
a+b,a-b,3a+2b.
22.若PA⊥平面ABC,AC⊥BC,PA=AC=1,BC=,求二面角APBC的余弦值.
答案解析部分（共有22道题的解析及答案）
一、选择题
1、解析:
cos〈a,n〉=
∴l与α所成角的余弦值为
答案:
D
2、解析:
=（0,1,-1）,=（1,0,-1）,
n=（-1,-1,-1）（0,1,-1）
=-1×
0+（-1）×
1+（-1）×
（-1）=0,
n=（-1,-1,-1）（1,0,-1）=-1×
1+0+（-1）（-1）=0,
∴n⊥,n⊥.
∴n也为α的一个法向量.又α与β不重合,∴α∥β.
A
3、解析：
取AC中点O,建立如下图所示的坐标系.
设AB=a,则B（,0,0）,C1（0,,）,A（0,,0）,B1（,0,）,
∴
=0.
∴AB1与C1B所成角为90°
.
答案：
B
4、C
5、解析：
建立如图所示坐标系,则A1（a,0,a）,D1（0,0,a）,A（a,0,0）,B（a,a,0）,B1（a,a,a）,E（a,a,）,F（0,,0）.
设平面A1D1E的法向量为n=（x,y,z）,则,,即（x,y,z）（-a,0,0）=0,（x,y,z）（0,a,）=0,
∴-ax=0,ayz=0.
∴x=0,.
∴n=（0,,z）.
C
6、解析:
∵
7、思路分析：
.
8、解析：
方法一：
∵
而
同理，.
设直线AM与CN所成的角为α,则
方法二:
如图,把D点视作原点O,分别沿、、方向为x轴、y轴、z轴的正方向建立空间直角坐标系.
则A（1,0,0）,M（1,,1）,C（0,1,0）,N（1,1,）.
∴=（1,,1）-（1,0,0）=（0,,1）,
=（1,1,）-（0,1,0）=（1,0,）.
故=0×
1+×
0+1×
=.
∴cosα
D
绿色通道：
空间两条直线之间的夹角是不超过90°
的角,因此,如果按公式计算分子的数量积为一个负数,则应当取其绝对值,使之变为正值,这样求得的角为锐角,这一说明在以后很多计算问题中经常被用到.
9、解析:
10、解析：
∵u=-2a,∴u∥a.∴l⊥α.
11、解析:
∵=（1,1,1）,=（2,1,3）,
∴,,.
∴.
12、解析：
∵|a|=|b|,
∴（a+b）（a-b）=|a|2-|b|2=0.
∴a+b与a-b垂直，夹角为.
C
二、填空题
13、【答案】
（1,1,1）
【解析】设PD＝a，
则D（0,0,0），A（2,0,0），B（2,2,0），
P（0,0，a），E（1,1，），
∴＝（0,0，a），＝（－1,1，）．
由cos〈，〉＝，∴＝a，
∴a＝2.∴E的坐标为（1,1,1）．
14、解析:
=（4,5,3）,点P到平面α的距离为
15、解析:
=（6,0,0）,
因为点A在直线l上,n与l垂直,
所以点P到直线l的距离为
16、解析:
∵l1∥l2,∴
∴x=-14,y=6.
-14 6
三、解答题
17、证明：
（1）我们先证明BD1⊥AC：
∵,,
∴BD1⊥AC.同理可证BD1⊥AB1,于是BD1⊥平面ACB1.
（2）设底面正方形的对角线AC、BD交于点M,则,即对于空间任意一点O,设,,,,则上述等式可改写成2（m-b）=d1-b1或b1+2m=d1+2b.记.此即表明,由e向量所对应的点E分线段B1M及D1B各成λ（=2）之比.所以点E既在线段B1M面ACB1上又在线段D1B上,所以点E是D1B与平面ACB1的交点,此交点E将D1B分成2与1之比,即D1E:
EB=2:
1,即.
18、解：
（1）因为AD、AB、AS是三条两两互相垂直的线段，故以A为原点，以、、的方向为x轴、y轴、z轴的正方向建立坐标系，则A（0,0,0）、D（,0,0）、C（1,1,0）、S（0,0,1）,=（,0,0）是平面SAB的法向量.设面SCD的法向量n=（1，λ，μ）,则
n=（1，λ，μ）（,1,0）=+λ=0,∴λ=-.
n=（1,λ,μ）（-,0,1）=-+μ=0,
∴n=（1,-,）.
如以θ表示欲求二面角的值，则cosθ=cos〈,n〉,
n=（,0,0）（1,-,）=,||=,
∴,.
∴面SCD与面SBA所成二面角的正切值为.
（2）∵是平面ABCD的法向量，先求与之间的夹角φ.
∵,
∴,
∴所求余弦值为.
启示：
对于
（2）也可借助坐标计算线面角.像棱没有给出的二面角大小计算问题，用向量法解答十分方便.
19、解:
∵=（-2,-6,2）,
∴n=（-2,-6,2）（-3,0,4）=14,
|n|=
∴点P到直线l的距离为
20、证明
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