高中数学 211平面精品教案 新人教A版必修2Word下载.docx

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日常生活中有哪些东西给我们以平面的形象？

师：

生活中常见的如黑板、平整的操场、桌面，平静的湖面等，都给我们以平面的印象，你们能举出更多的例子吗？

引导学生观察、思考、举例和相交交流，教师对学生活动给予评价，点出主题.

培养学生感性认识

探索新知

1．平面的概念

随堂练习判定下列命题是否正确：

①书桌面是平面；

②8个平面重叠起来要比6个平面重叠起来厚；

③有一个平面的长是50m，宽是20m；

④平面是绝对的平，无厚度，可以无限延展的抽象的数学概念.

刚才大家所讲的一些物体都给我们以平面的印象，几何里所说的平面就是从这样的一些物体中抽象出来的，但是，几何里的平面是向四周无限伸展的，现在请大家判定下列命题是否正确？

生：

平面是没有厚度，无限延展的；

所以①②③错误；

④正确.

加深学生对平面概念的理解.

2．平面的画法及表示

（1）平面的画法

通常我们把水平的平面画成平行四边形，用平行四边形表示平面，其中平行四边形的锐角通常画成45°

，且横边长等于其邻边长的2倍.如果一个平面被另一个平面遮挡住.我们常把被遮挡的部分用垂线画出来.

（2）平面的表示

法1：

平面，平面.

法2：

平面ABCD，平面AC或平面BD.

（3）点与平面的关系

平面内有无数个点，平面可看成点的集合.点A在平面内，记作：

A.点B在平面外，记作：

B.

在平面几何中，怎样画直线？

（一学生上黑板画）

这位同学画的实质上是直线的部分，通过想象两端无限延伸而认为是一条直线，仿照直线的画法，我们可以怎样画一个平面？

画出平面的一部分，加以想象，四周无限延展，来表示平面.

大家画一下.

学生动手画平面，将有代表性的画在黑板上，教师给予点评，并指出一般画法及注意事项（作图）

加深学生对平面概念的理解，培养学生知识迁移能力，空间想象能力和发散思想能力.

3．平面的基本性质

公理1：

如果一条直线上的两点在一个平面内，那么这条直线在此平面内

（1）公理1的图形如图

（2）符号表示为：

（3）公理1的作用：

判断直线是否在平面内.

公理2：

过不在一条直线上的三点有且只有一个平面.

（1）公理2的图形如图

C直线AB存在惟一的平面，

使得

注意：

（1）公理中“有且只有一个”的含义是：

“有”，是说图形存在，“只有一个”，是说图形惟一，“有且只有一个平面”的意思是说“经过不在同一直线上的三个点的平面是有的，而且只有一个”，也即不共线的三点确定一个平面.

“有且只有一个平面”也可以说成“确定一个平面.”

（2）过A、B、C三点的平面可记作“平面ABC”

公理3：

如果两个不重合的平面有一个公共点，那么它们有且只有一条过该点的公共直线.

（1）公理3的图形如图

（3）公理3作用：

判断两个平面是否相交.

我们下面学习平面的基本性质的三个公理.所谓公理，就是不必证明而直接被承认的真命题，它们是进一步推理的出发点和根据.先研究下列问题：

将直线上的一点固定在平面上，调整直线上另一点的位置，观察其变化，指出直线在何时落在平面内.

当直线上两点在一个平面内时，这条直线落在平面内.

这处结论就是我们要讨论的公理1（板书）

从集合的角度看，公理1就是说，如果一条直线（点集）中有两个元素（点）属于一个平面（点集），那么这条直线就是这个平面的真子集.

直线是由无数个点组成的集合，点P在直线l上，记作P∈l；

点P在直线l外，记作Pl；

如果直线l上所有的点都在平面内，就说直线l在平面内，或者说平面经过直线l，记作l，否则就说直线l在平面外，记作.

下面请同学们用符号表示公理1.

学生板书，教师点评并完善.

大家回忆一下几点可以确定一条直线

两点可确定一条直线.

那么几点可以确定上个平面呢？

学生思考，讨论然后回答.

生1：

三点可确定一个平面

不需要附加条件吗？

生2：

还需要三点不共线

这个结论就是我们要讨论的公理2

师投影公理2图示与符号表示，分析注意事项.

下面请同学们观察教室的天花板与前面的墙壁，思考这两个平面的公共点有多少个？

它们有什么特点.

这两个平面的无穷多个公共点，且所有这些公共点都在一条直线上.

我们把这条直线称为这两个平面的公共直线.事实上，如果两个不重合的平面有一个公共点，那么它们有且只有一条过该点的公共直线.（板书）这就是我们要学的公理3.

通过实验，培养学生观察、归纳能力.加深学生对公理的理解与记忆.

加强学生对知识的理解，培养学生语言（符号图形）的表达能力.

学生在观察、实验讨论中得出正确结论，加深了对知识的理解，还培养了他们思维的严谨性.

典例分析

例1如图，用符号表示下图图形中点、直线、平面之间的位置关系.

分析：

根据图形，先判断点、直线、平面之间的位置关系，然后用符号表示出来.

解：

在

（1）中，，，.

在

（2）中，，，，，.

学生先独立完成，让两个学生上黑板，师生给予点评

巩固所学知识

随堂练习

1．下列命题正确的是（）

A．经过三点确定一个平面

B．经过一条直线和一个点确定一个平面

C．四边形确定一个平面

D．两两相交且不共点的三条直线确定一个平面

2．

（1）不共面的四点可以确定几个平面？

（2）共点的三条直线可以确定几个平面？

3．判断下列命题是否正确，正确的在括号内画“√”，错误的画“×

”.

（1）平面与平面相交，它们只有有限个公共点.（）

（2）经过一条直线和这条直线外的一点，有且只有一个平面.

（）

（3）经过两条相交直线，有且只有一个平面.（）

（4）如果两个平面有三个不共线的公共点，那么这两个平面重合.（）

4．用符号表示下列语句，并画出相应的图形：

（1）点A在平面内，但点B在平面外；

（2）直线a经过平面外的一点M；

（3）直线a既在平面内，又在平面内.

学生独立完成

答案：

1．D

2．

（1）不共面的四点可确定4个平面.

（2）共点的三条直线可确定一个或3个平面.

3．

（1）×

（2）√（3）√（4）√

4．

（1）A，B.

（2）M，M.

（3）a，a.

归纳总结

1．平面的概念，画法及表示方法.

2．平面的性质及其作用

3．符号表示

4．注意事项

学生归纳、总结教学、补充完善.

回顾、反思、归纳知识，提升自我整合知识的能力，培养思维严谨性固化知识，提升能力.

课后作业

2.1第一课时习案

备选例题

例1已知：

a，b，c，d是不共点且两两相交的四条直线，求证：

a，b，c，d共面．

证明1o若当四条直线中有三条相交于一点，不妨设a，b，c相交于一点A，

但A∉d，如图1．∴直线d和A确定一个平面α．

又设直线d与a，b，c分别相交于E，F，G，

则A，E，F，G∈α．

∵A，E∈α，A，E∈a，∴aα．

同理可证bα，cα．

∴a，b，c，d在同一平面α内．

2o当四条直线中任何三条都不共点时，如图2．

∵这四条直线两两相交，则设相交直线a，b确定一个平面α．

设直线c与a，b分别交于点H，K，则H，K∈α．

又H，K∈c，∴c,则cα．

同理可证dα．

∴a，b，c，d四条直线在同一平面α内．

说明：

证明若干条线（或若干个点）共面的一般步骤是：

首先根据公理3或推论，由题给条件中的部分线（或点）确定一个平面，然后再根据公理1证明其余的线（或点）均在这个平面内．本题最容易忽视“三线共点”这一种情况．因此，在分析题意时，应仔细推敲问题中每一句话的含义．

例2正方体ABCD—A1B1C1D1中，对角线A1C与平面BDC1交于点O，AC、BD交于点M，求证：

点C1、O、M共线.

要证若干点共线的问题，只需证这些点同在两个相交平面内即可.

解答：

如图所示A1A∥C1C确定平面A1C

O∈平面A1C

A1C平面A1C

又O∈A1C

平面BC1D∩直线A1C=O

O∈平面BC1D

O在平面A1C与平面BC1D的交线上.

AC∩BD=MM∈平面BC1D

且M∈平面A1C

平面BC1D∩平面A1C=C1M

O∈C1M，即O、C1、M三点共线.

评析：

证明点共线的问题，一般转化为证明这些点同是某两个平面的公共点.这样，可根据公理2证明这些点都在这两个平面的公共直线上.

2019-2020年高中数学2.1.1平面练习新人教A版必修2

1．平面的概念．

（1）平面的定义．

几何里所说的“平面”是从课桌面、黑板面、海洋这样一些物体中抽象出来的．但是，几何里的平面是无限延展的．

平面的两个特点：

①平；

②无限延展性．

（2）平面的画法．

①水平放置的平面通常画成一个平行四边形；

②它的锐角通常画成45°

；

③横边长等于其邻边长的2倍．

如果一个平面被另一个平面遮住，为增强立体感，把挡住的部分用虚线画出来（如图所示）．

（3）平面的表示．

下图所示的平面可表示为：

①平面ABCD；

②平面AC；

③平面α．

2．空间点、直线、平面的位置关系及三种语言的转化．

文字语言表达

数学符号语言

图形表示

点A在直线l上

A∈l

点A在直线l外

A∉l

点A在平面α内

A∈α

点A在平面α外

A∉α

直线l在平面α内

l⊂α

直线l在平面α外

l⊄α

直线l，m相交于点A

l∩m＝A

平面α，β相交于直线l

α∩β＝l

已知A∈α，B∈α，则直线AB与平面α的关系为AB⊂α.

观察下图，平面α与β的关系为α∩β＝A，对吗？

错

空间有四个点，这四个点最多可以确定多少个平面？

四个

3．平面的基本性质．

公理

内容

图形

符号

公理1

A∈l，B∈l，且A∈α，B∈α⇒l⊂α

公理2

过不在一条直线上的三点，有且只有一个平面

A，B，C三点不共线⇒存在唯一的平面α，使A，B，C∈α

公理3

如果两个不重合的平面有一个公共点，那么它们有且只有一条过该点的公共直线

P∈α且P∈β⇒α∩β＝l且P∈l

三条过同一个点的直线可以确定多少个平面？

一个或三个

三条两两平行的直线可以确定多少个平面？

►思考应用

1．如何认识平面的定义？

解析：

平面和点、直线的概念类似，是一个不加定义的原始概念，只能通过描述加以理解．正像点的特征是没有形状、大小、质量一样，直线也没有粗细、长短，可以无限延伸；

平面也是无边界、无厚度、不可度量的．

2．在正方体ABCDA1B1C1D1中，判断下列命题是否正确，并说