高三数学二轮复习122函数与方程及函数的应用课时巩固过关练理新人教版022.docx
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高三数学二轮复习122函数与方程及函数的应用课时巩固过关练理新人教版022
课时巩固过关练四函数与方程及函数的应用
（35分钟 55分）
一、选择题（每小题5分,共20分）
1.（2016·荆州一模）函数f（x）=lnx-
的零点所在的区间是 （ ）
A.（1,2）B.（2,3）
C.（3,4）D.（e,+∞）
【解析】选B.因为f（x）=lnx-
则函数f（x）在（0,+∞）上单调递增,
因为f
（2）=ln2-1<0,f（3）=ln3-
>0,
所以f
（2）f（3）<0,
所以在区间（2,3）内函数f（x）存在零点.
2.（2016·张掖一模）已知函数f（x）=ex+x,g（x）=lnx+x,h（x）=x-
的零点依次为a,b,c,则 （ ）
A.cC.c【解题导引】分别由f（x）=0,g（x）=0,h（x）=0,利用图象得到零点a,b,c的取值范围,然后判断大小即可.
【解析】选B.由f（x）=0得ex=-x,
由g（x）=0得lnx=-x.
由h（x）=0得x=1,即c=1.
在坐标系中,分别作出函数y=ex,y=-x,y=lnx的图象,由图象可知a<0,0【加固训练】设函数f（x）=3x+2x-4,函数g（x）=log2x+2x2-5,若实数m,n分别是函数f（x）,函数g（x）的零点,则 （ ）
A.g（m）<0C.0【解析】选A.依题意,f（0）=-3<0,f
（1）=1>0,
且函数f（x）是增函数,因此函数f（x）的零点在区间（0,1）内,
即0（1）=-3<0,g
（2）=4>0,
且函数g（x）在（0,+∞）上单调递增.
所以函数g（x）的零点在区间（1,2）内,
即1f
（1）>0>g（m）.
3.（2016·郑州一模）已知函数f（x）=ax+x-b的零点x0∈（n,n+1）（n∈Z）,其中常数a,b满足0A.2B.1C.-2D.-1
【解题导引】根据指数函数,一次函数的单调性,及增函数+增函数=增函数,可得函数f（x）=ax+x-b为增函数,结合常数a,b满足00,进而可得n的值.
【解析】选D.由题意得函数f（x）=ax+x-b为增函数,常数a,b满足0所以f（-1）=
-1-b<0,f（0）=1-b>0,
所以函数f（x）=ax+x-b在（-1,0）内有一个零点,
故n=-1.
【加固训练】（2016·沈阳一模）已知函数f（x）=
若方程f（x）=ax+1恰有一个解,则实数a的取值范围为________.
【解析】作函数f（x）=
与y=ax+1的图象如图,
y=ax+1恒过点（0,1）,
当直线y=ax+1过点（2,2）时,a=
此时方程有两个解;
当直线y=ax+1与f（x）=2
相切时,则a=
此时方程有两个解;
直线l的斜率为a=
=1,
故所求范围为
∪
答案:
∪
4.（2016·黄冈一模）汽车的“燃油效率”是指汽车每消耗1升汽油行驶的里程.如图描述了甲、乙、丙三辆汽车在不同速度下的燃油效率情况.下列叙述中正确的是 （ ）
A.消耗1升汽油,乙车最多可行驶5千米
B.以相同速度行驶相同的路程,三辆汽车中,甲车消耗汽油量最多
C.甲车以80千米/小时的速度行驶1小时,消耗10升汽油
D.某城市机动车最高限速80千米/小时,相同条件下,在该城市用丙车比用乙车更省油
【解析】选D.选项A,问的是纵坐标最大值.选项B,消耗1升油甲走最远,则反过来路程相同甲最省油.选项C,此时甲走过了80千米,消耗8升汽油.选项D,80千米/小时以下丙“燃油效率”更高,更省油.
二、填空题（每小题5分,共10分）
5.若关于x的方程4sin2x-msinx+1=0在（0,π）内有两个不同的实数根,则实数m的取值范围为______.
【解析】设sinx=t,则0或f
（1）=5-m<0.解得m=4或m>5.
答案:
m=4或m>5
6.（2016·石嘴山二模）对于实数a,b,定义运算“⊗”:
a⊗b=
设f（x）=（2x-1）⊗（x-1）,且关于x的方程f（x）-m=0恰有三个互不相等的实数根,则实数m的取值范围是________.
【解析】由2x-1≤x-1可得x≤0,由2x-1>x-1可得x>0.所以根据题意得f（x）
=
即f（x）=
画出函数的图象,从图象上观察当关于x的方程f（x）=m（m∈R）恰有三个互不相等的实数根时,
函数的图象和直线y=m有三个不同的交点,再根据函数的极大值为f
=
可得m的取值范围是
.
答案:
【加固练习】（2016·广州二模）设函数f（x）的定义域为R,f（-x）=f（x）,f（x）=f（2-x）,当x∈[0,1]时,f（x）=x3,则函数g（x）=|cos（πx）|-f（x）在区间
上的所有零点的和为________.
【解析】因为f（-x）=f（x）,f（x）=f（2-x）,
所以f（-x）=f（2-x）,所以f（x）的周期为2.
画出y=f（x）和y=|cos（πx）|的图象,
由图可知,g（x）共有5个零点,
其中x1+x2=0,x4=1,x3+x5=2.
所以所有零点的和为3.
答案:
3
三、解答题（7题12分,8题13分,共25分）
7.（2016·衡水一模）已知函数f（x）=
若关于x的不等式[f（x）]2+af（x）-b2<0恰有1个整数解,求实数a的最大值.
【解析】结合函数f（x）=
的图象,
①当b=0时,[f（x）]2+af（x）-b2<0化为[f（x）]2+af（x）<0,
当a>0时,-a由于关于x的不等式[f（x）]2+af（x）-b2<0恰有1个整数解,
因此其整数解为3,又f（3）=-9+6=-3,
所以-a<-3<0,-a≥f（4）=-8,则8≥a>3,
a≤0不必考虑.
②当b≠0时,对于[f（x）]2+af（x）-b2<0,
Δ=a2+4b2>0,
解得:
只考虑a>0,因为关于x的不等式[f（x）]2+af（x）-b2<0恰有1个整数解,所以f（x）=0,
则
<0<
由于f（x）=0时,不等式的解集中含有多于一个整数解（例如,0,2）,舍去.
综上可得:
a的最大值为8.
【加固训练】已知函数f（x）=x2+ax+b（a,b∈R）,记M（a,b）是|f（x）|在区间[-1,1]上的最大值.
（1）证明:
当|a|≥2时,M（a,b）≥2.
（2）当a,b满足M（a,b）≤2,求|a|+|b|的最大值.
【解析】
（1）因为f（x）=x2+ax+b（a,b∈R）,
=
+b-
所以对称轴为直线方程x=-
由a≥2得:
-
≤-1,
所以f（x）在[-1,1]上单调递增,
所以M（a,b）等于|f
（1）|与|f（-1）|两者的最大值.
当a≥2时,由f
（1）-f（-1）=2a≥4,
可知|f
（1）|与|f（-1）|两者的最大值大于等于2;
当a≤-2时,由f
（1）-f（-1）=2a≤-4,
可知|f
（1）|与|f（-1）|两者的最大值大于等于2.
综上可知:
当|a|≥2时,M（a,b）≥2.
（2）由M（a,b）≤2可得|1+a+b|=|f
（1）|≤2,
|1-a+b|=|f（-1）|≤2,所以|a-b|≤3,|a+b|≤3.
因为|a|+|b|=
所以|a|+|b|≤3.
当a=2,b=-1时,|a|+|b|=3,
且|x2+ax+b|在[-1,1]上的最大值为2,
即M（2,-1）=2,所以|a|+|b|的最大值为3.
8.（2016·唐山一模）有一种新型的洗衣液,去污速度特别快.已知每投放k（1≤k≤4,且k∈R）个单位的洗衣液在一定量水的洗衣机中,它在水中释放在浓度y（克/升）随着时间x（分钟）变化的函数关系式近似为y=k·f（x）,其中f（x）=
若多次投放,则某一时刻水中的洗衣液浓度为每次投放的洗衣液在相应时刻所释放的浓度之和.根据经验,当水中冼衣液的浓度不低于4克/升时,它才能起到有效去污的作用.
（1）若只投放一次k个单位的洗衣液,当两分钟时水中洗衣液的浓度为3克/升,求k的值.
（2）若只投放一次4个单位的洗衣液,则有效去污时间可达几分钟?
（3）若第一次投放2个单位的洗衣液,10分钟后再投放1个单位的洗衣液,则在第12分钟时洗衣液是否还能起到有效去污的作用?
请说明理由.
【解析】
（1）由题意知k
=3,
所以k=1.
（2）因为k=4,
所以y=
当0≤x≤4时,由
-4≥4,
解得-4≤x<8,所以0≤x≤4.
当4所以4综上可知,当y≥4时,0≤x≤12,
所以只投放一次4个单位的洗衣液的有效去污时间可达12分钟.
（3）在第12分钟时,水中洗衣液的浓度为2×
+1×
=5（克/升）,又5>4,
所以在第12分钟时还能起到有效去污的作用.
（30分钟 55分）
一、选择题（每小题5分,共20分）
1.下列函数中,在（-1,1）内有零点且单调递增的是 （ ）
A.y=log2xB.y=2x-1
C.y=x2-2D.y=-x3
【解析】选B.y=log2x在（-1,1）内有没有意义的情况,故A不对;
y=x2-2在（-1,0）单调递减,故C不对;
y=-x3在（-1,1）单调递减,故D不对.
因为y=2x-1,单调递增,f（-1）<0,f
（1）>0,
所以在（-1,1）内存在零点.
【加固训练】已知函数f（x）=ax2-ex,f′（-1）=-4,则函数y=f（x）的零点所在的区间是 （ ）
A.（-3,-2） B.（-1,0）
C.（0,1）D.（4,5）
【解析】选B.因为f（x）=ax2-ex,f′（-1）=-4,
所以-2a-e-1=-4,
所以a=2-
所以f（x）=
x2-ex,
所以f（-1）=2-
>0,f（0）=-1<0,
所以函数y=f（x）的零点所在的区间是（-1,0）.
2.已知函数f（x）=
则f（x）=log0.6（x+1）的根的个数为 （ ）
A.0B.1C.2D.3
【解析】选C.f（x）=log0.6（x+1）的根的个数,
即函数y=f（x）与y=log0.6（x+1）图象交点的个数,
在同一坐标系中画出两个函数的图象如图所示:
由图可得两个函数图象共有2个交点,
故方程f（x）=log0.6（x+1）有两个根.
3.已知函数f（x）=
若|f（x）|≥ax,则a的取值范围是 （ ）
A.（-∞,0]B.（-∞,1]
C.[-3,0]D.[-3,1]
【解题导引】①当x>0时,根据ln（x+1）>0恒成立,求得a≤0.
②当x≤0时
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