任意角的概念和弧度制Word下载.docx

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180°

＋90°

，k∈Z}

C．{α|α＝k·

，k∈Z}D．{α|α＝k·

90°

10.已知α是第一象限角，则角的终边不可能落在（　　）

A．第一象限B．第二象限C．第三象限D．第四象限

11.如果α是第三象限的角，则下列结论中错误的是（　　）

A．－α为第二象限角B．180°

－α为第二象限角C．180°

＋α为第一象限角D．90°

＋α为第四象限角

二、填空题（共4小题,每小题5.0分,共20分）

12.在2时到3时之间，分针和时针成120°

角的时刻是________.

13.若角α的终边与角π的终边相同，则在[0,2π]上，终边与角的终边相同的角是________.

14.在直径为10cm的轮上有一长为6cm的弦，P为弦的中点，轮子以每秒5弧度的角速度旋转，则经过5s后P转过的弧长为__________cm.

15.圆O的半径为1，P为圆周上一点，现将如图放置的边长为1的正方形（实线所示，正方形的顶点A与点P重合）沿圆周逆时针滚动，则点A第一次回到点P的位置时，点A

走过的路径的长度为________.

三、解答题（共15小题,每小题12.0分,共180分）

16.射线OA绕点O顺时针旋转100°

到OB位置，再逆时针旋转270°

到OC位置．然后再顺时针方向旋转30°

到OD位置，求∠AOD的大小．

17.设时钟的时针在2点和3点之间，时针和分针什么时候重合？

18.如果钟表的指针都做匀速转动，钟表上分针的周期和角速度各是多少？

分针与秒针的角速度之比为多少？

19.若角α的终边与角的终边关于直线y＝x对称，且α∈（－2π，2π），求角α的值.

20.已知一扇形的周长为40cm，当它的半径和圆心角取什么值时，才能使扇形的面积最大？

最大面积是多少？

21.已知一扇形的圆心角是α，所在圆的半径是R.

（1）若α＝60°

，R＝10cm，求扇形的弧长及该弧所在的弓形面积；

（2）若扇形的周长是一定值c（c>

0），当α为多少弧度时，该扇形有最大面积？

22.已知α是第三象限角，则是第几象限角？

23.已知α是第二象限角，试确定2α，的终边所在的位置.

24.已知角x的终边落在图示阴影部分区域，写出角x组成的集合．

25.已知角β的终边在直线x－y＝0上．

（1）写出角β的集合S；

（2）写出S中适合不等式－360°

＜β＜720°

的元素．

26.在与角10030°

终边相同的角中，求满足下列条件的角．

（1）最大的负角；

（2）最小的正角；

（3）360°

～720°

的角．

27.如图，圆周上点A依逆时针方向做匀速圆周运动.已知A点1分钟转过θ（0°

＜θ＜180°

）角，2分钟到达第三象限，14分钟后回到原来的位置，求θ.

28.一只红蚂蚁与一只黑蚂蚁在一个单位圆（半径为1的圆）上爬动，若两只蚂蚁均从点A（1,0）同时逆时针匀速爬动，若红蚂蚁每秒爬过α角，黑蚂蚁每秒爬过β角（其中0°

＜α＜β＜180°

），如果两只蚂蚁都在第14秒时回到A点，并且在第2秒时均位于第二象限，求α，β的值.

29.如图，一长为dm，宽为1dm的长方形木块在桌面上作无滑动翻滚，翻滚到第四次时被一小木块挡住，使木块底面与桌面所成角为，试求点A走过的路程及走过的弧所在的扇形的总面积.（圆心角为正）

30.若α是第二象限角，试分别确定的终边所在位置.

答案解析

1.【答案】D

【解析】从3时整（3∶00）开始，在1分钟的时间，3根针中，出现一根针与另外两根针所成的角相等的情况有：

①当秒针转到大约45°

的位置时，以及大约225°

的位置时，秒针平分时针与分针．

②当秒针转到大约180°

的位置时，时针平分秒针与分针．

③当秒针转到大约270°

的位置时，分针平分秒针与时针．

综上，共4次．

2.【答案】D

【解析】可以取几组特殊角代入检验.

3.【答案】D

【解析】由2kπ＋＜α＜2kπ＋π，k∈Z.

得kπ＋＜＜kπ＋，k∈Z.

∴－kπ－＜－＜－kπ－，k∈Z.

∴－kπ＋＜π－＜－kπ＋π，k∈Z.

当k为偶数时，令k＝－2m，m∈Z，则2mπ＋＜π－＜2mπ＋π，m∈Z.

∴π－为第二象限角.

当k为奇数时，令k＝－2m＋1，m∈Z，则2mπ－＜π－＜2mπ－，m∈Z.

∴π－为第四象限角.

综上所述，π－为第二或第四象限角.

4.【答案】C

【解析】当k＝2m，m∈Z时，2mπ＋≤α≤2mπ＋，m∈Z；

当k＝2m＋1，m∈Z时，2mπ＋≤α≤2mπ＋，m∈Z，所以选C.

5.【答案】D

【解析】设扇形的半径为x，所以弧长为6－2x，扇形的圆心角为，因为扇形的面积为2，所以（6－2x）x＝2，解得x＝1或x＝2，所以扇形的圆心角为4或1.

6.【答案】B

【解析】设圆心角为α，半径为r，则l＋2r＝16，∴l＝16－2r.∴S＝lr＝－r2＋8r（0＜r＜8），当且仅当r＝4时，扇形的面积取最大，此时l＝16－2r＝8.∴圆心角α为2.

7.【答案】C

【解析】设扇形的半径为r，弧长为l，根据题意得，2r＋l＝10，①lr＝4，②解由①②组成的方程组得，r＝4，l＝2或r＝1，l＝8（舍去）.即扇形的半径为4cm.

8.【答案】B

【解析】设⊙O与扇形相切于点A，B，则AO＝r，CO＝2r，∴∠ACO＝30°

，

∴扇形的圆心角为60°

＝，∴扇形的面积为·

·

3r·

3r＝πr2，∵圆的面积为πr2，∴圆的面积与该扇形的面积之比为2∶3.

9.【答案】D

【解析】终边为x轴的角的集合M＝{α|α＝k·

，k∈Z}，终边为y轴的角的集合P＝{α|α＝k·

，k∈Z}，

设终边为坐标轴的角的集合为S，则S＝M∪P＝{α|α＝k·

，k∈Z}∪{α|α＝k·

，k∈Z}＝{α|α＝2k·

，k∈Z}∪{α|α＝（2k＋1）·

，k∈Z}＝{α|α＝n·

，n∈Z}．

10.【答案】D

【解析】∵α是第一象限角，∴k·

＜α＜k·

，k∈Z，∴·

＜＜·

＋30°

.

当k＝3m，m∈Z时，m·

＜＜m·

，∴角的终边落在第一象限.

当k＝3m＋1，m∈Z时，m·

＋120°

＋150°

，∴角的终边落在第二象限.

当k＝3m＋2，m∈Z时，m·

＋240°

＋270°

∴角的终边落在第三象限，故选D.

11.【答案】B

【解析】若α是第三象限角，则360°

k＋180°

＜α＜360°

k＋270°

；

则360°

k＋90°

＜－α＜360°

，360°

＜180°

－α＜360°

k＋360°

此时为第四象限角．

12.【答案】2点32分或者2点54分

【解析】当分针在时针前面时，设转成120°

的时间为x，则（6－）x＝60＋120，∴x＝＝32.

当时针在分针前面时，设转成120°

的时间为y，则（6－）y＝60＋120＋120，解得y＝＝54；

所以2时和3时之间时针与分针成120°

的时间为2点32分或者2点54分.

13.【答案】，，，

【解析】由题意得α＝＋2kπ，∴＝＋（k∈Z）.

令k＝0,1,2,3,得＝.

14.【答案】100

【解析】P到圆心O的距离OP＝＝4（cm），又P点转过的角的弧度数α＝5×

5＝25（rad），∴弧长为α·

OP＝25×

4＝100（cm）.

15.【答案】

【解析】由图可知：

∵圆O的半径r＝1，正方形ABCD的边长a＝1，

∴以正方形的边为弦时所对的圆心角为，

正方形在圆上滚动时点的顺序依次为如图所示，

∴当点A首次回到点P的位置时，正方形滚动了3圈共12次，

设第i次滚动，点A的路程为Ai，

则A1＝×

|AB|＝，

A2＝×

|AC|＝，

A3＝×

|DA|＝，

A4＝0，

∴点A所走过的路径的长度为3（A1＋A2＋A3＋A4）＝π.

16.【答案】∠AOB＝－100°

，∠BOC＝270°

，∠COD＝－30°

，所以∠AOD＝∠AOB＋∠BOC＋∠COD＝－100°

＋（－30°

）＝140°

【解析】

17.【答案】设2点x分时针和分针重合，相对于0点分针成6x度，时针成·

30度，则

30＝6x，故x＝10.

18.【答案】∵钟表的指针都做匀速转动，

∴钟表上分针转动一周，需要1个小时，1小时后重复出现，即周期为1小时.

∵分针转动一周是2π弧度，所花时间是3600s.

∴钟表上分针的角速度为（rad/s）.

∵秒针转动一周是2π弧度，所花时间是60s，

∴钟表上秒针的角速度为rad/s.

故分针与秒针的角速度之比为.

19.【答案】如图，设角的终边为OA，OA关于直线y＝x对称的射线为OB,则以OB为终边的一个角为，

所以以OB为终边的角的集合为.

又因为α∈（－2π，2π），所以－2π＜2kπ＋＜2π，且k∈Z，

所以k＝－1或k＝0.当k＝－1时，α＝－；

当k＝0时，α＝.

所以角α的值为－或.

20.【答案】设扇形的圆心角为θ，半径为r，弧长为l，面积为S，则l＋2r＝40，∴l＝40－2r.

∴S＝lr＝×

（40－2r）r＝20r－r2＝－（r－10）2＋100.

∴当半径r＝10cm时，扇形的面积最大，最大值为100cm2，此时θ＝＝rad＝2rad，

∴当扇形的圆心角为2rad，半径为10cm时，扇形的面积最大为100cm2.

21.【答案】

（1）设弧长为l，弓形面积为S弓，

∵α＝60°

＝，R＝10，∴l＝αR＝（cm）.

S弓＝S扇－S△＝×

×

10－×

10×

sin＝50（cm2）.

（2）扇形周长c＝2R＋l＝2R＋αR，∴α＝，

∴S扇＝αR2＝·

R2＝（c－2R）R

＝－R2＋cR＝－2＋.

当且仅当R＝，即α＝2时，扇形面积最大，且最大面积是.

22.【答案】∵α是第三象限角，∴180°

＋k·

＜α＜270°

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