求数列前N项和的七种方式含例题和答案文档格式.docx
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3、
[例1]已知，求的前n项和.
解：
由
由等比数列求和公式得（利用经常使用公式）
＝＝＝1－
[例2]设Sn＝1+2+3+…+n，n∈N*,求的最大值.
解：
由等差数列求和公式得，（利用经常使用公式）
∴＝
＝＝
∴当，即n＝8时，
2.错位相减法
这种方式是在推导等比数列的前n项和公式时所用的方式，这种方式要紧用于求数列{an·
bn}的前n项和，其中{an}、{bn}别离是等差数列和等比数列.
[例3]求和：
………………………①
由题可知，{}的通项是等差数列{2n－1}的通项与等比数列{}的通项之积
设……………………….②
①－②得（错位相减）
再利用等比数列的求和公式得：
∴
[例4]求数列前n项的和.
由题可知，{}的通项是等差数列{2n}的通项与等比数列{}的通项之积
设…………………………………①
………………………………②（设制错位）
①－②得（错位相减）
练习：
求：
Sn=1+5x+9x2+·
·
+（4n-3）xn-1
解：
+（4n-3）xn-1①
①两边同乘以x，得
xSn=x+5x2+9x3+·
+（4n-3）xn②
①-②得，（1-x）Sn=1+4（x+x2+x3+·
+）-（4n-3）xn
当x=1时，Sn=1+5+9+·
+（4n-3）=2n2-n
当x≠1时，Sn=11-x[4x（1-xn）1-x+1-（4n-3）xn]
3.反序相加法求和
这是推导等差数列的前n项和公式时所用的方式，确实是将一个数列倒过来排列（反序），再把它与原数列相加，就能够够取得n个.
[例5]求的值
设………….①
将①式右边反序得
…………..②（反序）
又因为
①+②得（反序相加）
＝89
∴S＝
4.分组法求和
有一类数列，既不是等差数列，也不是等比数列，假设将这种数列适当拆开，可分为几个等差、等比或常见的数列，然后别离求和，再将其归并即可.
[例6]求数列的前n项和：
，…
设
将其每一项拆开再从头组合得
（分组）
当a＝1时，＝（分组求和）
当时，＝
[例7]求数列{n（n+1）（2n+1）}的前n项和.
∴＝
将其每一项拆开再从头组合得
Sn＝（分组）
＝
＝（分组求和）
＝
求数列的前n项和。
5.裂项法求和
这是分解与组合思想在数列求和中的具体应用.裂项法的实质是将数列中的每项（通项）分解，然后从头组合，使之能消去一些项，最终达到求和的目的.通项分解（裂项）如：
（1）
（2）
（3）（4）
（5）
（6）
[例9]求数列的前n项和.
设（裂项）
那么（裂项求和）
[例10]在数列{an}中，，又，求数列{bn}的前n项的和.
∵
∴（裂项）
∴数列{bn}的前n项和
（裂项求和）
＝＝
[例11]求证：
∵（裂项）
∴（裂项求和）
＝＝＝
∴ 原等式成立
练习：
求13，115，135，163之和。
6.归并法求和
针对一些特殊的数列，将某些项归并在一路就具有某种特殊的性质，因此，在求数列的和时，可将这些项放在一路先求和，然后再求Sn.
[例12]求cos1°
+cos2°
+cos3°
+·
+cos178°
+cos179°
的值.
设Sn＝cos1°
∵（找特殊性质项）
∴Sn＝（cos1°
）+（cos2°
）+（cos3°
+cos177°
）+·
+（cos89°
+cos91°
）+cos90°
（归并求和）
＝0
[例13]数列{an}：
，求S2002.
设S2002＝
由可得
……
∴ S2002＝
（归并求和）
＝
＝5
[例14]在各项均为正数的等比数列中，假设的值.
由等比数列的性质（找特殊性质项）
和对数的运算性质得
（归并求和）
＝10
7.利用数列的通项求和
先依照数列的结构及特点进行分析，找出数列的通项及其特点，然后再利用数列的通项揭露的规律来求数列的前n项和，是一个重要的方式.
[例15]求之和.
由于（找通项及特点）
∴
＝（分组求和）
[例16]已知数列{an}：
∵（找通项及特点）
＝（设制分组）
＝（裂项）
∴（分组、裂项求和）
求5，55，555，…，的前n项和。
∵an=59（10n-1）
∴Sn=59（10-1）+59（102-1）+59（103-1）+…+59（10n-1）
=59[（10+102+103+……+10n）-n]
=（10n＋1-9n-10）
以上一个7种方式尽管各有其特点，但总的原那么是要擅长改变原数列的形式结构，使其能进行消项处置或能利用等差数列或等比数列的求和公式和其它已知的大体求和公式来解决，只要专门好地把握这一规律，就能够使数列求和化难为易，迎刃而解。
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