届高考总复习学霸精品教学案导数单元状元全套文档格式.docx
《届高考总复习学霸精品教学案导数单元状元全套文档格式.docx》由会员分享，可在线阅读，更多相关《届高考总复习学霸精品教学案导数单元状元全套文档格式.docx（19页珍藏版）》请在冰豆网上搜索。
（1）八个基本求导公式
＝；
＝；
（n∈Q）
＝，＝
＝，＝
（2）导数的四则运算
＝＝
＝，＝
（3）复合函数的导数
设在点x处可导，在点处可导，则复合函数在点x处可导，且＝，即.
典型例题
例1．求函数y=在x0到x0+Δx之间的平均变化率.
解∵Δy=
变式训练1.求y=在x=x0处的导数.
解
例2.求下列各函数的导数：
（1）
（2）
（3）（4）
解
（1）∵
∴y′
（2）方法一y=（x2+3x+2）（x+3）=x3+6x2+11x+6，∴y′=3x2+12x+11.
方法二=
=（x+3）+（x+1）（x+2）
=（x+2+x+1）（x+3）+（x+1）（x+2）=（2x+3）（x+3）+（x+1）（x+2）=3x2+12x+11.
（3）∵y=
∴
（4），
变式训练2：
求y=tanx的导数.
解y′
例3.已知曲线y=
（1）求曲线在x=2处的切线方程；
（2）求曲线过点（2，4）的切线方程.
解
（1）∵y′=x2,∴在点P（2，4）处的切线的斜率k=|x=2=4.
∴曲线在点P（2，4）处的切线方程为y-4=4（x-2）,即4x-y-4=0.
（2）设曲线y=与过点P（2，4）的切线相切于点，
则切线的斜率k=|=.
∴切线方程为即
∵点P（2，4）在切线上，∴4=
即∴
∴（x0+1）（x0-2）2=0,解得x0=-1或x0=2,
故所求的切线方程为4x-y-4=0或x-y+2=0.
变式训练3：
若直线y=kx与曲线y=x3-3x2+2x相切，则k=.
答案2或
例4.设函数（a,b∈Z），曲线在点处的切线方程为y=3.
（1）求的解析式；
（2）证明：
曲线上任一点的切线与直线x=1和直线y=x所围三角形的面积为定值，并求出此定值.
（1）解，
于是解得或
因为a,bZ，故
（2）证明在曲线上任取一点．
由知，过此点的切线方程为
．
令x=1，得，切线与直线x=1交点为．
令y=x，得，切线与直线y=x的交点为．
直线x=1与直线y=x的交点为（1,1）．
从而所围三角形的面积为．
所以，所围三角形的面积为定值2.
变式训练4：
偶函数f（x）=ax4+bx3+cx2+dx+e的图象过点P（0，1），且在x=1处的切线方程为y=x-2，求y=f（x）的解析式.
解∵f（x）的图象过点P（0，1），∴e=1.①
又∵f（x）为偶函数，∴f（-x）=f（x）.
故ax4+bx3+cx2+dx+e=ax4-bx3+cx2-dx+e.
∴b=0，d=0.②
∴f（x）=ax4+cx2+1.
∵函数f（x）在x=1处的切线方程为y=x-2，∴可得切点为（1，-1）.
∴a+c+1=-1.③
∵=（4ax3+2cx）|x=1=4a+2c，∴4a+2c=1.④
由③④得a=，c=.∴函数y=f（x）的解析式为
小结归纳
1．理解平均变化率的实际意义和数学意义。
2．要熟记求导公式，对于复合函数的导数要层层求导.
3．搞清导数的几何意义，为解决实际问题，如切线、加速度等问题打下理论基础.
第2课时导数的概念及性质
1．函数的单调性
⑴函数y＝在某个区间内可导，若＞0，则为；
若＜0，则为.（逆命题不成立）
（2）如果在某个区间内恒有，则.
注：
连续函数在开区间和与之相应的闭区间上的单调性是一致的.
（3）求可导函数单调区间的一般步骤和方法：
①确定函数的；
②求，令，解此方程，求出它在定义区间内的一切实根；
③把函数的间断点（即的无定义点）的横坐标和上面的各个实根按由小到大的顺序排列起来，然后用这些点把函数的定义区间分成若干个小区间；
④确定在各小开区间内的，根据的符号判定函数在各个相应小开区间内的增减性.
2．可导函数的极值
⑴极值的概念
设函数在点附近有定义，且对附近的所有点都有（或），则称为函数的一个极大（小）值．称为极大（小）值点.
⑵求可导函数极值的步骤：
①求导数；
②求方程＝0的；
③检验在方程＝0的根左右的符号，如果在根的左侧附近为正，右侧附近为负，那么函数y＝在这个根处取得；
如果在根的左侧附近为负，右侧为正，那么函数y＝在这个根处取得.
3．函数的最大值与最小值：
⑴设y＝是定义在区间[a,b]上的函数，y＝在（a,b）内有导数，则函数y＝在[a,b]上有最大值与最小值；
但在开区间内有最大值与最小值．
（2）求最值可分两步进行：
①求y＝在（a,b）内的值；
②将y＝的各值与、比较，其中最大的一个为最大值，最小的一个为最小值.
（3）若函数y＝在[a,b]上单调递增，则为函数的，为函数的；
若函数y＝在[a,b]上单调递减，则为函数的，为函数的.
例1.已知f（x）=ex-ax-1.
（1）求f（x）的单调增区间；
（2）若f（x）在定义域R内单调递增，求a的取值范围；
（3）是否存在a,使f（x）在（-∞，0］上单调递减，在［0，+∞）上单调递增？
若存在，求出a的值；
若不存在，说明理由.
解：
=ex-a.
（1）若a≤0，=ex-a≥0恒成立，即f（x）在R上递增.
若a>
0,ex-a≥0,∴ex≥a,x≥lna.∴f（x）的单调递增区间为（lna,+∞）.
（2）∵f（x）在R内单调递增，∴≥0在R上恒成立.
∴ex-a≥0，即a≤ex在R上恒成立.
∴a≤（ex）min，又∵ex>
0，∴a≤0.
（3）方法一由题意知ex-a≤0在（-∞，0］上恒成立.
∴a≥ex在（-∞，0］上恒成立.∵ex在（-∞，0］上为增函数.
∴x=0时，ex最大为1.∴a≥1.同理可知ex-a≥0在［0，+∞）上恒成立.
∴a≤ex在［0，+∞）上恒成立.∴a≤1，∴a=1.
方法二由题意知，x=0为f（x）的极小值点.∴=0,即e0-a=0,∴a=1.
变式训练1.已知函数f（x）=x3-ax-1.
（1）若f（x）在实数集R上单调递增，求实数a的取值范围；
（2）是否存在实数a,使f（x）在（-1，1）上单调递减？
若存在，求出a的取值范围；
若不存在，说明理由；
（3）证明：
f（x）=x3-ax-1的图象不可能总在直线y=a的上方.
（1）解由已知=3x2-a,∵f（x）在（-∞,+∞）上是单调增函数，
∴=3x2-a≥0在（-∞,+∞）上恒成立，即a≤3x2对x∈R恒成立.
∵3x2≥0,∴只需a≤0,又a=0时，=3x2≥0,
故f（x）=x3-1在R上是增函数，则a≤0.
（2）解由=3x2-a≤0在（-1,1）上恒成立，得a≥3x2,x∈（-1,1）恒成立.
∵-1<
x<
1,∴3x2<
3,∴只需a≥3.当a=3时，=3（x2-1）,
在x∈（-1,1）上，<
0,即f（x）在（-1，1）上为减函数，∴a≥3.
故存在实数a≥3,使f（x）在（-1，1）上单调递减.
（3）证明∵f（-1）=a-2<
a,∴f（x）的图象不可能总在直线y=a的上方.
例2.已知函数f（x）=x3+ax2+bx+c,曲线y=f（x）在点x=1处的切线为l:
3x-y+1=0，若x=时，y=f（x）有极值.
（1）求a,b,c的值；
（2）求y=f（x）在［-3，1］上的最大值和最小值.
解
（1）由f（x）=x3+ax2+bx+c,得=3x2+2ax+b,
当x=1时，切线l的斜率为3，可得2a+b=0①
当x=时，y=f（x）有极值，则=0,可得4a+3b+4=0②
由①②解得a=2,b=-4.由于切点的横坐标为x=1,∴f
（1）=4.
∴1+a+b+c=4.∴c=5.
（2）由
（1）可得f（x）=x3+2x2-4x+5,∴=3x2+4x-4,
令=0,得x=-2,x=.
当x变化时，y,y′的取值及变化如下表：
x
-3
（-3,-2）
-2
1
y′
+
-
y
8
单调递增
↗
13
单调递减
↘
4
∴y=f（x）在［-3，1］上的最大值为13，最小值为
变式训练2.函数y=x4-2x2+5在区间［-2,2］上的最大值与最小值.
解先求导数,得y′=4x3-4x,令y′=0,即4x3-4x=0.解得x1=-1,x2=0,x3=1.
导数y′的正负以及f（-2）,f
（2）如下表:
（-2,-1）
-1
（-1,0）
（0,1）
（1,2）
2
y′
5
从上表知,当x=±
2时,函数有最大值13,当x=±
1时,函数有最小值4.
例3.已知函数f（x）=x2e-ax（a＞0）,求函数在［1，2］上的最大值.
解∵f（x）=x2e-ax（a＞0）,∴=2xe-ax+x2·
（-a）e-ax=e-ax（-ax2+2x）.
令>
0,即e-ax（-ax2+2x）>
0,得0<
.
∴f（x）在（-∞,0）,上是减函数，在上是增函数.
①当0<
<
1,即a>
2时,f（x）在（1，2）上是减函数,
∴f（x）max=f
（1）=e-a.
②当1≤≤2,即1≤a≤2时，
f（x）在上是增函数，在上是减函数，
∴f（x）max=f=4a-2e-2.
③当>
2时，即0<
a<
1时，f（x）在（1，2）上是增函数，
∴f（x）max=f
（2）=4e-2a.
综上所述，当0<
1时，f（x）的最大值为4e-2a,
当1≤a≤2时，f（x）的最大值为4a-2e-2,
当a>
2时，f（x）的最大值为e-a.
变式训练3.设函数f（x）=-x（x-a）2（x∈R）,其中a∈R.
（1）当a=1时，求曲线y=f（x）在点（2，f
（2））处的切线方
升级会员 