高中数学必修讲解与习题Word文档格式.docx
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(一)程序构图的概念:
程序框图又称流程图,是一种用规定的图形、指向线及文字说明来准确、直观地表示算法的图形。
一个程序框图包括以下几部分:
表示相应操作的程序框;
带箭头的流程线;
程序框外必要文字说明。
(二)构成程序框的图形符号及其作用
程序框
名称
功能
起止框
表示一个算法的起始和结束,是任何流程图不可少的。
输入、输出框
表示一个算法输入和输出的信息,可用在算法中任何需要输入、输出的位置。
处理框
赋值、计算,算法中处理数据需要的算式、公式等分别写在不同的用以处理数据的处理框内。
判断框
判断某一条件是否成立,成立时在出口处标明“是”或“Y”;
不成立时标明“否”或“N”。
学习这部分知识的时候,要掌握各个图形的形状、作用及使用规则,画程序框图的规则如下:
1、使用标准的图形符号。
2、框图一般按从上到下、从左到右的方向画。
3、除判断框外,大多数流程图符号只有一个进入点和一个退出点。
判断框具有超过一个退出点的唯一符号。
4、判断框分两大类,一类判断框“是”与“否”两分支的判断,而且有且仅有两个结果;
另一类是多分支判断,有几种不同的结果。
5、在图形符号内描述的语言要非常简练清楚。
(三)、算法的三种基本逻辑结构:
顺序结构、条件结构、循环结构。
1、顺序结构:
顺序结构是最简单的算法结构,语句与语句之间,框与框之间是按从上到下的顺序进行的,它是由若干个依次执行的处理步骤组成的,它是任何一个算法都离不开的一种基本算法结构。
顺序结构在程序框图中的体现就是用流程线将程序框自上而
下地连接起来,按顺序执行算法步骤。
如在示意图中,A框和B
框是依次执行的,只有在执行完A框指定的操作后,才能接着执
行B框所指定的操作。
2、条件结构:
条件结构是指在算法中通过对条件的判断
根据条件是否成立而选择不同流向的算法结构。
条件P是否成立而选择执行A框或B框。
无论P条件是否成立,只能执行A框或B框之一,不可能同时执行A框和B框,也不可能A框、B框都不执行。
一个判断结构可以有多个判断框。
3、循环结构:
在一些算法中,经常会出现从某处开始,按照一定条件,反复执行某一处理步骤的情况,这就是循环结构,反复执行的处理步骤为循环体,显然,循环结构中一定包含条件结构。
循环结构又称重复结构,循环结构可细分为两类:
(1)、一类是当型循环结构,如下左图所示,它的功能是当给定的条件P成立时,执行A框,A框执行完毕后,再判断条件P是否成立,如果仍然成立,再执行A框,如此反复执行A框,直到某一次条件P不成立为止,此时不再执行A框,离开循环结构。
(2)、另一类是直到型循环结构,如下右图所示,它的功能是先执行,然后判断给定的条件P是否成立,如果P仍然不成立,则继续执行A框,直到某一次给定的条件P成立为止,此时不再执行A框,离开循环结构。
p
当型循环结构直到型循环结构
注意:
1循环结构要在某个条件下终止循环,这就需要条件结构来判断。
因此,循环结构中一定包含条件结构,但不允许“死循环”。
2在循环结构中都有一个计数变量和累加变量。
计数变量用于记录循环次数,累加变量用于输出结果。
计数变量和累加变量一般是同步执行的,累加一次,计数一次。
1.2.1输入、输出语句和赋值语句
1、输入语句
(1)输入语句的一般格式
(2)输入语句的作用是实现算法的输入信息功能;
(3)“提示内容”提示用户输入什么样的信息,变量是指程序在运行时其值是可以变化的量;
(4)输入语句要求输入的值只能是具体的常数,不能是函数、变量或表达式;
(5)提示内容与变量之间用分号“;
”隔开,若输入多个变量,变量与变量之间用逗号“,”隔开。
2、输出语句
(1)输出语句的一般格式
(2)输出语句的作用是实现算法的输出结果功能;
(3)“提示内容”提示用户输入什么样的信息,表达式是指程序要输出的数据;
(4)输出语句可以输出常量、变量或表达式的值以及字符。
3、赋值语句
(1)赋值语句的一般格式
(2)赋值语句的作用是将表达式所代表的值赋给变量;
(3)赋值语句中的“=”称作赋值号,与数学中的等号的意义是不同的。
赋值号的左右两边不能对换,它将赋值号右边的表达式的值赋给赋值号左边的变量;
(4)赋值语句左边只能是变量名字,而不是表达式,右边表达式可以是一个数据、常量或算式;
(5)对于一个变量可以多次赋值。
①赋值号左边只能是变量名字,而不能是表达式。
如:
2=X是错误的。
②赋值号左右不能对换。
如“A=B”“B=A”的含义运行结果是不同的。
③不能利用赋值语句进行代数式的演算。
(如化简、因式分解、解方程等)④赋值号“=”与数学中的等号意义不同。
1.2.2条件语句
1、条件语句的一般格式有两种:
(1)IF—THEN—ELSE语句;
(2)IF—THEN语句。
2、IF—THEN—ELSE语句
IF—THEN—ELSE语句的一般格式为图1,对应的程序框图为图2。
IF条件THEN
语句1
ELSE
语句2
ENDIF
图1图2
分析:
在IF—THEN—ELSE语句中,“条件”表示判断的条件,“语句1”表示满足条件时执行的操作内容;
“语句2”表示不满足条件时执行的操作内容;
ENDIF表示条件语句的结束。
计算机在执行时,首先对IF后的条件进行判断,如果条件符合,则执行THEN后面的语句1;
若条件不符合,则执行ELSE后面的语句2。
3、IF—THEN语句
IF—THEN语句的一般格式为图3,对应的程序框图为图4。
“条件”表示判断的条件;
“语句”表示满足条件时执行的操作内容,条件不满足时,结束程序;
计算机在执行时首先对IF后的条件进行判断,如果条件符合就执行THEN后边的语句,若条件不符合则直接结束该条件语句,转而执行其它语句。
1.2.3循环语句
循环结构是由循环语句来实现的。
对应于程序框图中的两种循环结构,一般程序设计语言中也有当型(WHILE型)和直到型(UNTIL型)两种语句结构。
即WHILE语句和UNTIL语句。
1、WHILE语句
(1)WHILE语句的一般格式是对应的程序框图是
WHILE条件
循环体
WEND
(2)当计算机遇到WHILE语句时,先判断条件的真假,如果条件符合,就执行WHILE与WEND之间的循环体;
然后再检查上述条件,如果条件仍符合,再次执行循环体,这个过程反复进行,直到某一次条件不符合为止。
这时,计算机将不执行循环体,直接跳到WEND语句后,接着执行WEND之后的语句。
因此,当型循环有时也称为“前测试型”循环。
2、UNTIL语句
(1)UNTIL语句的一般格式是对应的程序框图是
DO
LOOPUNTIL条件
(2)直到型循环又称为“后测试型”循环,从UNTIL型循环结构分析,计算机执行该语句时,先执行一次循环体,然后进行条件的判断,如果条件不满足,继续返回执行循环体,然后再进行条件的判断,这个过程反复进行,直到某一次条件满足时,不再执行循环体,跳到LOOPUNTIL语句后执行其他语句,是先执行循环体后进行条件判断的循环语句。
当型循环与直到型循环的区别:
(先由学生讨论再归纳)
(1)当型循环先判断后执行,直到型循环先执行后判断;
在WHILE语句中,是当条件满足时执行循环体,在UNTIL语句中,是当条件不满足时执行循环
1.3.1辗转相除法与更相减损术
1、辗转相除法。
也叫欧几里德算法,用辗转相除法求最大公约数的步骤如下:
(1):
用较大的数m除以较小的数n得到一个商和一个余数;
(2):
若=0,则n为m,n的最大公约数;
若≠0,则用除数n除以余数得到一个商和一个余数;
(3):
若=0,则为m,n的最大公约数;
若≠0,则用除数除以余数得到一个商和一个余数;
……依次计算直至=0,此时所得到的即为所求的最大公约数。
2、更相减损术
我国早期也有求最大公约数问题的算法,就是更相减损术。
在《九章算术》中有更相减损术求最大公约数的步骤:
可半者半之,不可半者,副置分母•子之数,以少减多,更相减损,求其等也,以等数约之。
翻译为:
任意给出两个正数;
判断它们是否都是偶数。
若是,用2约简;
若不是,执行第二步。
以较大的数减去较小的数,接着把较小的数与所得的差比较,并以大数减小数。
继续这个操作,直到所得的数相等为止,则这个数(等数)就是所求的最大公约数。
例2用更相减损术求98与63的最大公约数.
(略)
3、辗转相除法与更相减损术的区别:
(1)都是求最大公约数的方法,计算上辗转相除法以除法为主,更相减损术以减法为主,计算次数上辗转相除法计算次数相对较少,特别当两个数字大小区别较大时计算次数的区别较明显。
(2)从结果体现形式来看,辗转相除法体现结果是以相除余数为0则得到,而更相减损术则以减数与差相等而得到
1.3.2秦九韶算法与排序
1、秦九韶算法概念:
f(x)=anxn+an-1xn-1+….+a1x+a0求值问题
f(x)=anxn+an-1xn-1+….+a1x+a0=(anxn-1+an-1xn-2+….+a1)x+a0=((anxn-2+an-1xn-3+….+a2)x+a1)x+a0
=......=(...(anx+an-1)x+an-2)x+...+a1)x+a0
求多项式的值时,首先计算最内层括号内依次多项式的值,即v1=anx+an-1
然后由内向外逐层计算一次多项式的值,即
v2=v1x+an-2v3=v2x+an-3......vn=vn-1x+a0
这样,把n次多项式的求值问题转化成求n个一次多项式的值的问题。
2、两种排序方法:
直接插入排序和冒泡排序
1、直接插入排序
基本思想:
插入排序的思想就是读一个,排一个。
将第1个数放入数组的第1个元素中,以后读入的数与已存入数组的数进行比较,确定它在从大到小的排列中应处的位置.将该位置以及以后的元素向后推移一个位置,将读入的新数填入空出的位置中.(由于算法简单,可以举例说明)
2、冒泡排序
依次比较相邻的两个数,把大的放前面,小的放后面.即首先比较第1个数和第2个数,大数放前,小数放后.然后比较第2个数和第3个数......直到比较最后两个数.第一趟结束,最小的一定沉到最后.重复上过程,仍从第1个数开始,到最后第2个数......由于在排序过程中总是大数往前,小数往后,相当气泡上升,所以叫冒泡排序.
1.3.3进位制
1、概念:
进位制是一种记数方式,用有限的数字在不同的位置表示不同的数值。
可使用数字符号的个数称为基数,基数为n,即可称n进位制,简称n进制。
现在最常用的是十进制,通常