解圆锥曲线问题常用方法 椭圆与双曲线的经典结论 椭圆与双曲线的对偶性质总结Word格式.docx

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0）与直线l相交于A、B设弦AB中点为M（x0,y0）,则有2y0k=2p,即y0k=p.

【典型例题】

例1、

（1）抛物线C:

y2=4x上一点P到点A（3,4）与到准线的距离和最小,则点P的坐标为______________

（2）抛物线C:

y2=4x上一点Q到点B（4,1）与到焦点F的距离和最小,则点Q的坐标为。

分析：

（1）A在抛物线外，如图，连PF，则，因而易发现，当A、P、F三点共线时，距离和最小。

（2）B在抛物线内，如图，作QR⊥l交于R，则当B、Q、R三点共线时，距离和最小。

解：

（1）（2，）

连PF，当A、P、F三点共线时，最小，此时AF的方程为即y=2（x-1）,代入y2=4x得P（2,2），（注：

另一交点为（），它为直线AF与抛物线的另一交点，舍去）

（2）（）

过Q作QR⊥l交于R，当B、Q、R三点共线时，最小，此时Q点的纵坐标为1，代入y2=4x得x=，∴Q（）

点评：

这是利用定义将“点点距离”与“点线距离”互相转化的一个典型例题，请仔细体会。

例2、F是椭圆的右焦点，A（1,1）为椭圆内一定点，P为椭圆上一动点。

（1）的最小值为

（2）的最小值为

PF为椭圆的一个焦半径，常需将另一焦半径或准线作出来考虑问题。

（1）4-

设另一焦点为，则（-1,0）连A,P

当P是A的延长线与椭圆的交点时,取得最小值为4-。

（2）3

作出右准线l，作PH⊥l交于H，因a2=4，b2=3，c2=1，a=2，c=1，e=，

∴

当A、P、H三点共线时，其和最小，最小值为

例3、动圆M与圆C1:

（x+1）2+y2=36内切,与圆C2:

（x-1）2+y2=4外切,求圆心M的轨迹方程。

作图时，要注意相切时的“图形特征”：

两个圆心与切点这三点共线（如图中的A、M、C共线，B、D、M共线）。

列式的主要途径是动圆的“半径等于半径”（如图中的）。

如图，，

∴（*）

∴点M的轨迹为椭圆，2a=8，a=4，c=1，b2=15轨迹方程为

得到方程（*）后，应直接利用椭圆的定义写出方程，而无需再用距离公式列式求解，即列出，再移项，平方，…相当于将椭圆标准方程推导了一遍，较繁琐！

例4、△ABC中，B（-5,0）,C（5,0）,且sinC-sinB=sinA,求点A的轨迹方程。

由于sinA、sinB、sinC的关系为一次齐次式，两边乘以2R（R为外接圆半径），可转化为边长的关系。

sinC-sinB=sinA2RsinC-2RsinB=·

2RsinA

即（*）

∴点A的轨迹为双曲线的右支（去掉顶点）

∵2a=6，2c=10

∴a=3，c=5，b=4

所求轨迹方程为（x>

3）

要注意利用定义直接解题，这里由（*）式直接用定义说明了轨迹（双曲线右支）

例5、定长为3的线段AB的两个端点在y=x2上移动，AB中点为M，求点M到x轴的最短距离。

（1）可直接利用抛物线设点，如设A（x1,x12），B（x2，X22），又设AB中点为M（x0y0）用弦长公式及中点公式得出y0关于x0的函数表达式，再用函数思想求出最短距离。

（2）M到x轴的距离是一种“点线距离”，可先考虑M到准线的距离，想到用定义法。

解法一：

设A（x1，x12），B（x2，x22），AB中点M（x0，y0）

①

②

③

则

由①得（x1-x2）2[1+（x1+x2）2]=9

即[（x1+x2）2-4x1x2]·

[1+（x1+x2）2]=9④

由②、③得2x1x2=（2x0）2-2y0=4x02-2y0

代入④得[（2x0）2-（8x02-4y0）]·

[1+（2x0）2]=9

∴，

≥

当4x02+1=3即时，此时

法二：

如图，

∴，即，

∴，当AB经过焦点F时取得最小值。

∴M到x轴的最短距离为

解法一是列出方程组，利用整体消元思想消x1，x2，从而形成y0关于x0的函数，这是一种“设而不求”的方法。

而解法二充分利用了抛物线的定义，巧妙地将中点M到x轴的距离转化为它到准线的距离，再利用梯形的中位线，转化为A、B到准线的距离和，结合定义与三角形中两边之和大于第三边（当三角形“压扁”时，两边之和等于第三边）的属性，简捷地求解出结果的，但此解法中有缺点，即没有验证AB是否能经过焦点F，而且点M的坐标也不能直接得出。

例6、已知椭圆过其左焦点且斜率为1的直线与椭圆及准线从左到右依次变于A、B、C、D、设f（m）=,

（1）求f（m）,

（2）求f（m）的最值。

此题初看很复杂，对f（m）的结构不知如何运算，因A、B来源于“不同系统”，A在准线上，B在椭圆上，同样C在椭圆上，D在准线上，可见直接求解较繁，将这些线段“投影”到x轴上，立即可得防

此时问题已明朗化，只需用韦达定理即可。

（1）椭圆中，a2=m，b2=m-1，c2=1，左焦点F1（-1,0）

则BC:

y=x+1,代入椭圆方程即（m-1）x2+my2-m（m-1）=0

得（m-1）x2+m（x+1）2-m2+m=0

∴（2m-1）x2+2mx+2m-m2=0

设B（x1,y1）,C（x2,y2）,则x1+x2=-

（2）

∴当m=5时，

当m=2时，

此题因最终需求，而BC斜率已知为1，故可也用“点差法”设BC中点为M（x0,y0）,通过将B、C坐标代入作差，得，将y0=x0+1，k=1代入得，∴，可见

当然，解本题的关键在于对的认识，通过线段在x轴的“投影”发现是解此题的要点。

【同步练习】

1、已知：

F1，F2是双曲线的左、右焦点，过F1作直线交双曲线左支于点A、B，若，△ABF2的周长为（）

A、4aB、4a+mC、4a+2mD、4a-m

2、若点P到点F（4,0）的距离比它到直线x+5=0的距离小1，则P点的轨迹方程是

（）

A、y2=-16xB、y2=-32xC、y2=16xD、y2=32x

3、已知△ABC的三边AB、BC、AC的长依次成等差数列，且，点B、C的坐标分别为（-1，0），（1，0），则顶点A的轨迹方程是（）

A、B、

C、D、

4、过原点的椭圆的一个焦点为F（1，0），其长轴长为4，则椭圆中心的轨迹方程是

A、B、

C、D、

5、已知双曲线上一点M的横坐标为4，则点M到左焦点的距离是

6、抛物线y=2x2截一组斜率为2的平行直线，所得弦中点的轨迹方程是

7、已知抛物线y2=2x的弦AB所在直线过定点p（-2，0），则弦AB中点的轨迹方程是

8、过双曲线x2-y2=4的焦点且平行于虚轴的弦长为

9、直线y=kx+1与双曲线x2-y2=1的交点个数只有一个，则k=

10、设点P是椭圆上的动点，F1，F2是椭圆的两个焦点，求sin∠F1PF2的最大值。

11、已知椭圆的中心在原点，焦点在x轴上，左焦点到坐标原点、右焦点、右准线的距离依次成等差数列，若直线l与此椭圆相交于A、B两点，且AB中点M为（-2，1），，求直线l的方程和椭圆方程。

12、已知直线l和双曲线及其渐近线的交点从左到右依次为A、B、C、D。

求证：

。

【参考答案】

1、C

，

∴选C

2、C

点P到F与到x+4=0等距离，P点轨迹为抛物线p=8开口向右，则方程为y2=16x，选C

3、D

∵，且

∵点A的轨迹为椭圆在y轴右方的部分、又A、B、C三点不共线，即y≠0，故选D。

4、A

设中心为（x，y），则另一焦点为（2x-1，2y），则原点到两焦点距离和为4得，∴

①又c<

a,∴

∴（x-1）2+y2<

4②，由①，②得x≠-1，选A

5、

左准线为x=-，M到左准线距离为则M到左焦点的距离为

6、

设弦为AB，A（x1，y1），B（x2，y2）AB中点为（x，y），则y1=2x12，y2=2x22，y1-y2=2（x12-x22）

∴∴2=2·

2x，

将代入y=2x2得，轨迹方程是（y>

）

7、y2=x+2（x>

2）

设A（x1，y1），B（x2，y2），AB中点M（x，y），则

∵，∴，即y2=x+2

又弦中点在已知抛物线内P，即y2<

2x，即x+2<

2x，∴x>

2

8、4

，令代入方程得8-y2=4

∴y2=4，y=±

2，弦长为4

9、

y=kx+1代入x2-y2=1得x2-（kx+1）2-1=0

∴（1-k2）x2-2kx-2=0

①得4k2+8（1-k2）=0，k=

②1-k2=0得k=±

1

10、解：

a2=25，b2=9，c2=16

设F1、F2为左、右焦点，则F1（-4，0）F2（4，0）

设

①2-②得2r1r2（1+cosθ）=4b2

∴1+cosθ=∵r1+r2，∴r1r2的最大值为a2

∴1+cosθ的最小值为，即1+cosθ

cosθ，则当时，sinθ取值得最大值1，

即sin∠F1PF2的最大值为1。

11、设椭圆方程为

由题意：

C、2C、成等差数列，

∴a2=2（a2-b22DDFFF2+2222222大案要案000）,∴a2=2b2

椭圆方程为，设A（x1，y1），B（x2，y2）

则①②

①-②得

2222222∴

即∴k=1

直线AB方程为y-1=x+2即y=x+3，代入椭圆方程即x2+2y2-2b2=0得x2+2（x+3）2-2b2=0

∴3x2+12x+18-2b2=0，

解得b2=12，∴椭圆方程为，直线l方程为x-y+3=0

12、证明：

设A（x1，y1），D（x2，y2），AD中点为M（x0，y0）直线l的斜率为k，则

①-②得③

设，

④

⑤

则

④-⑤得⑥

由③、⑥知M、均在直线上，而M、又在直线l上，

若l过原点，则B、C重合于原点，命题成立

若l与x轴垂直，则由对称性知命题成立

若l不过原点且与x轴不垂直，则M与重合

椭圆与双曲线的对偶性质总结