八年级数学全等三角形添加辅助线Word格式.docx

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例5.如图，分别是外角和的平分线，它们交于点。

为的平分线。

例6.如图，是的边上的点，且，，是的中线。

例7.如图，在中，，，为上任意一点。

同步练习

一、选择题：

1.能使两个直角三角形全等的条件是（）

A.两直角边对应相等B.一锐角对应相等

C.两锐角对应相等D.斜边相等

2.根据下列条件，能画出唯一的是（）

A.，，B.，，

C.，，D.，

3.如图，已知，，增加下列条件：

①；

②；

③；

④。

其中能使的条件有（）

A.4个B.3个C.2个D.1个

（第3题）（第4题）（第5题）（第6题）

4.如图，已知，，，则等于（）

A.B.C.D.无法确定

二、填空题：

5.如图，在中，，的平分线交于点，且，，则点到的距离等于__________；

6.将一张正方形纸片按如图的方式折叠，为折痕，则的大小为_________；

三、解答题：

7.如图，为等边三角形，点分别在上，且，与　交于点。

求的度数。

8.如图，，，为上一点，，，交延长线于点。

9.如图，已知AE⊥AD，AF⊥AB，AF=AB，AE=AD=BC，AD//BC.求证：

（1）AC=EF，

（2）AC⊥EF

10.已知：

如图，在Rt△ABC中，AB=AC，∠BAC=90°

，∠1=∠2，CE⊥BD的延长线于E.求证：

BD=2CE.

11、如图，△ABC中，AD是高，CE是中线，DC＝BE，DG⊥CE于G。

（1）求证：

G是CE的中点；

（2）∠B＝2∠BCE。

12、在△ABC中，AB≠AC，D、E在BC上，且DE＝EC，过D作DF∥BA交AE于点F，DF＝AC，求证：

AE平分∠BAC。

　13、如图，在△ABC中，∠B＝22.50，∠C＝600，AB的垂直平分线交BC于点D，BD＝，AE⊥BC于点E，求EC的长。

答案

例1.思路分析：

从结论入手，全等条件只有；

由两边同时减去得到，又得到一个全等条件。

还缺少一个全等条件，可以是，也可以是。

由条件，可得，再加上，，可以证明，从而得到。

解答过程：

，

在与中

∴（HL）

，即

　在与中

（SAS）

解题后的思考：

本题的分析方法实际上是“两头凑”的思想方法：

一方面从问题或结论入手，看还需要什么条件；

另一方面从条件入手，看可以得出什么结论。

再对比“所需条件”和“得出结论”之间是否吻合或具有明显的联系，从而得出解题思路。

小结：

本题不仅告诉我们如何去寻找全等三角形及其全等条件，而且告诉我们如何去分析一个题目，得出解题思路。

例2.思路分析：

直接证明比较困难，我们可以间接证明，即找到，证明且。

也可以看成将“转移”到。

那么在哪里呢？

角的对称性提示我们将延长交于，则构造了△FBD，可以通过证明三角形全等来证明∠2=∠DFB，可以由三角形外角定理得∠DFB=∠1+∠C。

延长交于

（ASA

又。

　解题后的思考：

由于角是轴对称图形，所以我们可以利用翻折来构造或发现全等三角形。

例3.思路分析：

可以利用全等三角形来证明这两条线段相等，关键是要找到这两个三角形。

以线段为边的绕点顺时针旋转到的位置，而线段正好是的边，故只要证明它们全等即可。

，为延长线上一点

利用旋转的观点，不但有利于寻找全等三角形，而且有利于找对应边和　对应角。

利用三角形全等证明线段或角相等是重要的方法，但有时不容易找到需证明的三角形。

这时我们就可以根据需要利用平移、翻折和旋转等图形变换的观点来寻找或利用辅助线构造全等三角形。

例4.思路分析：

关于四边形我们知之甚少，通过连接四边形的对角线，可以把原问题转化为全等三角形的问题。

连接

//，//

，

（ASA）

连接四边形的对角线，是构造全等三角形的常用方法。

例5.思路分析：

要证明“为的平分线”，可以利用点到的距离相等来证明，故应过点向作垂线；

另一方面，为了利用已知条件“分别是和的平分线”，也需要作出点到两外角两边的距离。

过作于，于，于

平分，于，于

，且于，于

题目已知中有角平分线的条件，或者有要证明角平分线的结论时，常过角平分线上的一点向角的两边作垂线，利用角平分线的性质或判定来解答问题。

例6.思路分析：

要证明“”，不妨构造出一条等于的线段，然后证其等于。

因此，延长至，使。

延长至点，使，连接

又

三角形中倍长中线，可以构造全等三角形，继而得出一些线段和角相等，甚至可以证明两条直线平行。

　例7.思路分析：

欲证，不难想到利用三角形中三边的不等关系来证明。

由于结论中是差，故用两边之差小于第三边来证明，从而想到构造线段。

而构造可以采用“截长”和“补短”两种方法。

法一：

在上截取，连接

在中，

，即AB－AC>

PB－PC。

法二：

延长至，使，连接

　（SAS）

当已知或求证中涉及线段的和或差时，一般采用“截长补短”法。

具体作法是：

在较长的线段上截取一条线段等于一条较短线段，再设法证明较长线段的剩余线段等于另外的较短线段，称为“截长”；

或者将一条较短线段延长，使其等于另外的较短线段，然后证明这两条线段之和等于较长线段，称为“补短”。

本题组总结了本章中常用辅助线的作法，以后随着学习的深入还要继续总结。

我们不光要总结辅助线的作法，还要知道辅助线为什么要这样作，这样作有什么用处。

同步练习的答案

1.A2.C3.B4.C

5.46.

7.解：

为等边三角形

8.证明：

（AAS）

　9.证明：

（1）∵AD//BC，∴∠B＋∠DAB=180°

　　又∵∠DAB＋∠4＋∠EAF＋∠3=360°

，∠3=∠4=90°

　　∴∠DAB＋∠EAF=180°

　　∴∠B=∠EAF

　　在△ABC和△FAE中　

　　∴△ABC≌△FAE（SAS）∴AC=EF

（2）∵△ABC≌△FAE

　　∴∠1=∠F又∵∠1＋∠3=∠2＋∠F

　　∴∠2=∠3又∵∠3=90°

∴∠2=90°

∴AG⊥EF，即AC⊥EF

10.

证明：

延长BA、CE交于点F.∵∠3=90°

，∴∠5＋∠F=90°

　　又∵BE⊥CE，∴∠4=90°

，∠7=90°

∴∠1＋∠F=90°

，∠6=180°

－90°

=90°

　　　∴∠1=∠5

　　在△ABD和△ACF中　　∴△ABD≌△ACF（ASA）

　　∴BD=FC

　　在△BEF和△BEC中∴△BEF≌△BEC（ASA）

　　∴EF=EC∴FC=2EC∴BD=2EC

11.提示：

连结ED

12、延长FE到G，使EG＝EF，连结CG，证△DEF≌△CEG

13、连结AD，DF为AB的垂直平分线，AD＝BD＝，∠B＝∠DAB＝22.50

∴∠ADE＝450，AE＝AD＝＝6

又∵∠C＝600

∴EC＝