中考数学专题练习探索研究类问题Word下载.docx

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探索并直接写出第2012次对开后所得标准纸的周长.

答案：

解：

（1）是标准纸.理由如下：

矩形是标准纸,

由对开的含义知：

.

矩形纸片也是标准纸.

（2）是标准纸.理由如下：

设

由图形折叠可知：

是等腰直角三角形

在中，

矩形纸片是一张标准纸

（3）

对开次数

第一次

第二次

第三次

第四次

第五次

第六次

…

周长

第5次对开后所得的标准纸的周长为：

第2012次对开后所得的标准纸的周长：

2.如图所示，现有一张边长为4的正方形纸片，点为正方形边上的一点（不与点、点重合）将正方形纸片折叠，使点落在处，点落在处，交于，折痕为，连接、．

（1）求证：

；

（2）当点在边上移动时，的周长是否发生变化？

并证明你的结论；

（3）设为，四边形的面积为，求出与的函数关系式，试问是否存在最小值？

若存在，求出这个最小值；

若不存在，请说明理由．

解:

（1），

．

又，

即．

．

（2）的周长不变，为定值8．

证明：

过作，垂足为．

由

（1）知，

又，，

的周长为：

.）

（3）过作，垂足为，则.

又为折痕，

.

，

∴在中，．

解得，．

又四边形与四边形全等，

∴．

即：

配方得，，∴当时，有最小值6．

3.（20如图1，在正方形中，点分别在上，若，易证．

（1）如图2，在梯形中，，，点分别在上，若，试探究线段、、有怎样的数量关系？

请写出猜想，并给予证明．

（2）如图3，在四边形中，，，点分别在、的延长线上，若，试探究线段、、又有怎样的数量关系？

请直接写出猜想，不需证明．

（1）图2，猜想：

延长至点，使，连接

四边形是等腰梯形

又

又

即

（2）图3猜想：

4.如图，半径分别为的两圆相交于两点，且点，两圆同时与两坐标轴相切，与轴，轴分别切于点，点；

与轴，轴分别切于点，点.

（1）求两圆的圆心所在直线的解析式；

（2）求两圆的圆心之间的距离；

（3）令四边形的面积=，

四边形的面积=.

试探究：

是否存在一条经过两点、开口向下且在轴上截得的线段长为的抛物线？

若存在，请求出抛物线的解析式；

若不存在，请说明理由.

（1）方法一：

由于两圆同时与两坐标轴相切，所以两圆圆心到两坐标轴的距离相等，又两圆圆心均在第一象限，故两圆圆心均在第一、三象限的角平分线上，从而所求的直线的解析式为：

方法二：

设两圆心所在的直线的解析式是：

由题意可知：

∴

故所求的直线方程为：

（2）方法一：

∵，两圆的半径分别为

∴

则由题意结合勾股定理可得：

解之得：

故两圆圆心距：

（构造一元二次方程，根据韦达定理求解）

（3）假设存在这样的抛物线，不妨设其方程为：

因为点与点关于直线：

对称，

根据三角形全等的知识可得点

由对称性结合勾股定理可以求出：

在四边形中，由于两对角线互相垂直

故

所以

又设抛物线与轴的两个交点的坐标为：

则

从而

由

（1），

（2）可得

又代入第（3）可得

整理可得：

解得：

这与题设相矛盾.

故这样的抛物线不存在.

5.已知，如图①，，点为射线，上的动点（点，不与点重合），且，在的内部、的外部有一点，且，．

（1）求的长；

（2）求证：

点在的平分线上．

（3）如图②，点分别是四边形的边，，，的中点，连接，，，，．

①当时，请直接写出四边形的周长的值；

②若四边形的周长用表示，请直接写出的取值范围．

（1）过点作于点

在中，

（2）过点分别作于点，于点

在四边形中，

点在的平分线上

（3）①②

6.按照如图所示的程序计算：

若输入，则=．

8　　

7.如图，在平行四边形中，，，为中点，于点，

设．

（1）当时，求CE的长；

（2）当

①是否存在正整数，使得？

若存在，求出的值；

②连接，当取最大值时，求的值.

（1）在中，，，当时，，所以．由勾股定理可得：

（2分）

（2）①存在．如图，取的中点，连接交于点，连接，

平行四边形中，分别为的中点，

四边形、四边形均为平行四边形．

四边形为菱形，

为的中点，

为的垂直平分线．

所以；

②如图，由①可知，，

设，则，；

在中，，

．

故当时，有最大值．

8.已知、是正实数，那么，是恒成立的．

（1）（3分）由恒成立，说明恒成立；

（2）（3分）填空：

已知、、是正实数，由恒成立，猜测：

也恒成立；

（3）（2分）如图，已知AB是直径，点P是弧上异于点A和点B的一点，PC⊥AB，垂足为C，AC＝，ＢC＝，由此图说明恒成立．

1）由得，………1分

于是………………………………2分

∴……………………………………3分

（2）……………………………………6分

（3）连结OP，

∵AB是直径，∴∠APB=90°

，又∵PC⊥AB，∴Rt△APC∽Rt△PBC，∴，，……………………………………………………………7分

又∵，由垂线段最短，得，∴…………………………8分