高三数学对称问题Word文档下载推荐.docx
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A.关于x轴对称但不关于y轴对称B.关于y轴对称但不关于x轴对称
C.关于原点对称D.以上都不对
3.（2004全国II）函数y＝－ex的图象（）
A.与y＝ex的图象关于y轴对称 B.与y＝ex的图象关于坐标原点对称
C.与y＝e－x的图象关于y轴对称 D.与y＝e－x的图象关于坐标原点对称
4．曲线x2＋4y2＝4关于点M（3，5）对称的曲线方程为____________.
5.光线从点A（-3，4）发出，经过x轴反射，再经过y轴反射，光线经过点B（-2，6），求射入y轴后的反射线的方程。
6.直线交x、y轴于A、B两点，试在直线上求一点P，使最小，则P点的坐标是_________
简答:
1-3.CCD；
4.（x－6）2+4（y－10）2=4；
5.解：
A（-3，4）关于x轴的对称点（-3，-4）在经x轴反射的光线上；
A1（-3，-4）关于y轴的对称点（3，-4）在经过射入y轴的反射的光线上，∴=
∴所求直线方程为，即
6.（0,0）
四、经典例题做一做
【例1】求直线a：
2x+y－4=0关于直线l：
3x+4y－1=0对称的直线b的方程.
分析：
由平面几何知识可知若直线a、b关于直线l对称，它们具有下列几何性质：
（1）若a、b相交，则l是a、b交角的平分线；
（2）若点A在直线a上，那么A关于直线l的对称点B一定在直线b上，这时AB⊥l，并且AB的中点D在l上；
（3）a以l为轴旋转180°
，一定与b重合.使用这些性质，可以找出直线b的方程.解此题的方法很多，总的来说有两类：
一类是找出确定直线方程的两个条件，选择适当的直线方程的形式，求出直线方程；
另一类是直接由轨迹求方程.
解得a与l的交点E（3，－2），E点也在b上.
解：
由
2x+y－4=0，
3x+4y－1=0，
方法一：
设直线b的斜率为k，又知直线a的斜率为－2，直线l的斜率为－.
则=.
解得k=－.代入点斜式得直线b的方程为
y－（－2）=－（x－3），
即2x+11y+16=0.
方法二：
在直线a：
2x+y－4=0上找一点A（2，0），设点A关于直线l的对称点B的坐标为（x0，y0），
由
3×
+4×
－1=0，
=，
解得B（，－）.
由两点式得直线b的方程为
=，即2x+11y+16=0.
方法三：
设直线b上的动点P（x，y）关于l：
3x+4y－1=0的对称点Q（x0，y0），则有
=.
解得x0=，y0=.
Q（x0，y0）在直线a：
2x+y－4=0上，
则2×
+－4=0，
化简得2x+11y+16=0是所求直线b的方程.
方法四：
设直线b上的动点P（x，y），直线a上的点Q（x0，4－2x0），且P、Q两点关于直线l：
3x+4y－1=0对称，则有
消去x0，得2x+11y+16=0或2x+y－4=0（舍）.
◆提炼方法：
1.方法一与方法二，除了点E外，分别找出确定直线位置的另一个条件：
斜率或另一个点，然后用点斜式或两点式求出方程;
2.方法三与方法四是利用直线上动点的几何性质，直接由轨迹求方程，在使用这种方法时，要注意区分动点坐标及参数.
【例2】.已知ΔABC中点A（3,-1）,AB边上的中线为:
6x+10y-59=0,∠B的平分线为:
x-4y+10=0,求BC边所在直线的方程.
解:
设B（a,b）,在∠B的平分线上,则a-4b+10=0①
又AB的中点在CM上,有:
②
解①,②得B（0,5）.设∠B平分线交AC于点T.
∵,
∴BC的方程为2x+9y-65=0.
法2:
（1）求B的坐标;
（2）求A关于∠B的平分线对称的点A′,写出A′的方程即为所求（BC）.
【例3】已知点M（3，5），在直线：
和y轴上各找一点P和Q，使的周长最小。
可求得点M关于的对称点为（5，1），
点M关于y轴的对称点为（-3，5），则
的周长就是，连，
则直线与y轴及直线的交点P、Q即为所求。
直线的方程为，直线
与y轴的交点坐标为，由方程组
得交点，∴点、即为所求。
◆特别提示：
注意平面几何的知识在解析几何中的灵活运用。
【例4】已知长方形的四个顶点A（0，0）、B（2，0）、C（2，1）和D（0，1），一质点从AB的中点P0沿与AB夹角为θ的方向射到BC上的点P1后，依次反射到CD、DA和AB上的点P2、P3和P4（入射角等于反射角）.设P4的坐标为（x4，0）.若1<
x4<
2，求tanθ的取值范围.
设P1B=x，∠P1P0B=θ，则CP1=1－x，
∠P1P2C、∠P3P2D、∠AP4P3均为θ，
∴tanθ==x.
又tanθ===x，
∴CP2==－1.
而tanθ====x，
∴DP3=x（3－）=3x－1.
又tanθ====x，
∴AP4==－3.
依题设1<
AP4<
2，即1<
－3<
2，
∴4<
<
5，>
>
.
∴>
tanθ>
【研讨.欣赏】已知抛物线y=ax2－1上存在关于直线x+y=0成轴对称的两点，试求实数a的取值范围.
解法一：
设抛物线上关于直线l对称的两相异点为P（x1，y1）、Q（x2，y2），线段PQ的中点为M（x0，y0），设直线PQ的方程为y=x+b，由于P、Q两点存在，所以方程组有两组不同的实数解，即得方程
ax2－x－（1+b）=0.①
判别式Δ=1+4a（1+b）＞0.②
由①得x0==，y0=x0+b=+b.
∵M∈l，∴0=x0+y0=++b，
即b=－，代入②解得a＞.
解法二：
设同解法一，由题意得
将①②代入③④，并注意到a≠0，x1－x2≠0，得
由二元均值不等式易得
2（x12+x22）＞（x1+x2）2（x1≠x2）.
将⑤⑥代入上式得
2（－+）＞（）2，解得a＞.
解法三：
同解法二，由①－②，得
y1－y2=a（x1+x2）（x1－x2）.
∵x1－x2≠0，∴a（x1+x2）==1.
∴x0==.∵M（x0，y0）∈l，
∴y0+x0=0，即y0=－x0=－，从而PQ的中点M的坐标为（，－）.
∵M在抛物线内部，
∴a（）2－（－）－1＜0.
解得a＞.（舍去a＜0，为什么?
）
五．提炼总结以为师
1.对称问题的核心是点关于点的中心对称和点关于直线的轴对称，要充分利用转化的思想将问题转化为这两类对称中的一种加以处理.
2.解决最值问题最常用的方法是目标函数法和几何法。
3.求对称曲线的常用思想方法：
代入转移法
4.许多问题中都隐含着对称性，要注意挖掘、充分利用对称变换来解决，如角平分线、线段中垂线、光线反射等
同步练习7.6对称问题
【选择题】
1.已知直线l1:
x+my+5=0和直线l2:
x+ny+P=0，则l1、l2关于y轴对称的充要条件是（）
A、B、p=-5C、m=-n且p=-5D、且p=-5
2.已知点M（a，b）与N关于x轴对称，点P与点N关于y轴对称，点Q与点P关于直线x+y=0对称，则点Q的坐标为（）
A（a，b）B（b，a）C（－a，－b）D（－b，－a）
3.方程x2+y2+2ax-2ay=0所表示的圆（）
A、关于x轴对称B、关于y轴对称
C、关于直线x-y=0对称D、关于直线x+y=0对称
【填空题】
4.直线关于定点对称的直线方程是______
5.直线2x－y－4=0上有一点P，它与两定点A（4，－1）、B（3，4）的距离之差最大，则P点的坐标是____________.
6．如果直线ax─y+3=0与直线3x─y─b=0关于直线x─y+1=0对称，则a=,b=
答案提示：
1－3.CBD；
4.；
易知A（4，－1）、B（3，4）在直线l：
2x－y－4=0的两侧.作A关于直线l的对称点A1（0，1），当A1、B、P共线时距离之差最大.答案：
（5，6）
6.答案：
1/3,5说明：
掌握k=±
1时，求对称点的方法
【解答题】
7.一条光线经过P（2,3）点，射在直线：
x+y+1=0上，反射后穿过点Q（1,1）
（1）求入射光线所在的直线方程
（2）求这条光线从P到Q的长度。
（1）设Q（1,1）关于：
x+y+1=0的对称点，易证
入射光线所在直线方程，即5x-4y+2=0
（2）是的垂直平分线，因而即为所求
8.已知△ABC的一个顶点A（－1，－4），∠B、∠C的平分线所在直线的方程分别为l1：
y+1=0，l2：
x+y+1=0，求边BC所在直线的方程.
设点A（－1，－4）关于直线y+1=0的对称点为A′（x1，y1），则x1=－1，y1=2×
（－1）－（－4）=2，即A′（－1，2）.
在直线BC上，再设点A（－1，－4）关于l2：
x+y+1=0的对称点为A″（x2，y2），则有
×
（－1）=－1，
++1=0.
解得
x2=3，
y2=0，
即A″（3，0）也在直线BC上，由直线方程的两点式得=，即x+2y－3=0为边BC所在直线的方程.
9.已知两点A（2，3）、B（4，1），直线l：
x+2y－2=0，在直线l上求一点P.
（1）使|PA|+|PB|最小；
（2）使|PA|－|PB|最大.
（1）可判断A、B在直线l的同侧，设A点关于l的对称点A1的坐标为（x1，y1）.
则有
+2·
－2=0，
·
（－）=－1.
x1=－，
y1=－.
由两点式求得直线A1B的方程为y=（x－4）+1，直线A1B与l的交点可求得为P（，－）.
由平面几何知识可知|PA|+|PB|最小.
（2）由两点式求得直线AB的方程为y－1=－（x－4），即x+y－5=0.
直线AB与l的交点可求得为P（8，－3），它使|PA|－|PB|最大.
10若抛物线y=2x2上的两点A（
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