广东湛江市届高三上学期期中调研考试数学理试题Word格式.docx

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6.已知某几何体的三视图如下图所示，则该几何体的体积为（）

A．B．1C.D．3

7.若执行如图所示的框图，输入，则输出的结果等于（）

A．B．C.D．4

8.已知是双曲线的左、右焦点，点在上，与轴垂直，，则双曲线的离心率为（）

A．B．C.2D．3

9.在中，角的对边分别是，若,的面积记作，则下列结论中一定成立的是（）

10.函数在的图像大致为（）

A．B．

C.D．

11.已知满足约束条件，若取得最大值的最优解不唯一，则实数的值为（）

A．或-1B．或2C.1或2D．-1或2

12.已知定义在上的可导函数满足，设,,则的大小关系是（）

A．B．C.D．的大小与的值有关

第Ⅱ卷（共90分）

二、填空题（每题5分，满分20分，将答案填在答题纸上）

13.已知是虚数单位，复数的模等于．

14.在各项均为正数的等比数列中，若，则．

15.若，记，则的值为．

16.如图，角的始边与轴的非负半轴重合，终边与单位圆交于点，角的终边与单位圆交于点，记.若角为锐角，则的取值范围是．

三、解答题（本大题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.）

17.（本小题满分12分）

已知数列的前项和为.

（Ⅰ）求的通项公式；

（Ⅱ）若恰好依次为等比数列的第一、第二、第三项，求数列的前项和.

18.（本小题满分12分）

在某天的上午时段，湛江一间商业银行随机收集了100位客户在营业厅窗口办理业务类型及用时量的信息，相关数据统计如下表1与图2所示.

已知这100位客户中办理型和型业务的共占50%（假定一人一次只办一种业务）.

（Ⅰ）确定图2中的值，并求随机一位客户一次办理业务的用时量的分布列与数学期望；

（Ⅱ）若某客户到达柜台时，前面恰有2位客户依次办理业务（第一位客户刚开始办理业务），且各客户之间办理的业务相互独立，求该客户办理业务前的等候时间不超过13分钟的概率.

（注：

将频率视为概率，参考数据：

）

19.（本小题满分12分）

如图，在三棱台中，平面过点，且，平面与三棱台的面相交，交线围成一个四边形.

（Ⅰ）在图中画出这个四边形，并指出是何种四边形（不必说明画法、不必说明四边形的形状）；

（Ⅱ）若，二面角等于，求直线与平面所成角的正弦值.

20.（本小题满分12分）

设椭圆的右焦点为，右顶点为，已知，其中为原点，为椭圆的离心率.

（Ⅰ）求的值；

（Ⅱ）动直线过点，与椭圆交于两点，求面积的最大值.

21.（本小题满分12分）

已知函数，其中为常数.

（Ⅰ）当，且时，判断函数是否存在极值，若存在，求出极值点；

若不存在，说明理由；

（Ⅱ）若，对任意的正整数，当时，求证：

.

请考生在22、23两题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分.

22.（本小题满分10分）选修4-4：

坐标系与参数方程

已知极点与直角坐标系原点重合，极轴与轴的正半轴重合，圆的极坐标方程为，直线的参数方程为（为参数）.

（Ⅰ）若，直线与轴的交点为是圆上一动点，求的最大值；

（Ⅱ）若直线被圆截得的弦长等于圆的半径的倍，求的值.

23.（本小题满分10分）选修4-5：

不等式选讲

设函数.

（Ⅰ）求不等式的解集；

（Ⅱ）若不等式对任意恒成立，求实数的取值范围.

试卷答案

一、选择题

1-5:

6-10:

11、12：

12.解：

记，则.

所以函数在上单调递减.

由得，

，即.

由的单调性得.

又，

所以，即.

二、填空题

13.14.215.-116.

三、解答题

17.解：

（Ⅰ）当时，.

当时，.

检验时，上式符合.

∴.

（Ⅱ）由题知成等比数列，

，

即，解得.

，公比.

∴

即

18.解：

（Ⅰ）由已知得，∴，∴

所以.

该营业厅一次办理业务的用时组成一个总体，所收集的100位客户一次办理业务的用时量可视为总体的一个容量为100的简单随机样本，将频率视为概率得

的分布列为：

的数学期望为

（Ⅱ）记为事件“该客户在办理业务前的等候时间不超过13分钟”，为该顾客前面第位客户的用时量，

则

由于各客户口的办理业务相互独立，

故该顾客办理业务前的等候时间不超过13分钟的概率为0.411或.

19.解：

（Ⅰ）围成的四边形如图所示，

它是平行四边形；

（Ⅱ），且

∴，

∴是二面角的平面角，

以为轴，为原点建立如图直角坐标系，

由已知，知

又由台体的性质，，

∴是平行四边形，

∴，是的中点，

又，则到平面的距离，

同理是的中点，

则.

设平面的法向量为，则

得一个法向量是，

设直线与平面所成角为，则

∴直线与平面所成角的正弦值为.

20.解：

（Ⅰ）由椭圆的几何性质得，

解得.

（Ⅱ）由题与轴不重合，设的方程是，

即，

因直线与椭圆有相异交点，

，解得或，

令，则.

当时所求面积的最大值是.

21.解：

（Ⅰ）由已知得函数的定义域为，

当时，，

所以，

当时，由得，

此时

当时，单调递减；

当时，单调递增.

当时，在处取得极小值，极小值点为.

（Ⅱ）证：

因为，所以.

当为偶数时，令，

所以当时，单调递增，的最小值为.

因此

所以成立.

当为奇数时，

要证，由于，所以只需证.

令，

则，

当时，单调递增，又，

所以当时，恒有,命题成立.

综上所述，结论成立.

22.解：

（Ⅰ）当时，圆的极坐标方程为，可化为，

化为直角坐标方程为，即.

直线的普通方程为，与轴的交点的坐标为.

圆心与点的距离为，

∴的最大值为.

（Ⅱ）由可得，

∴圆的普通方程为.

直线被圆截得的弦长等于圆的半径的倍，

∴由垂径定理及勾股定理得：

圆心到直线的距离为圆半径的一半，

解得：

或.

23.解：

（Ⅰ）依题意：

原不等式可化为，

当时，，解集为空集；

当时，，解得；

当时，，解得.

综上所述，所求不等式解集为.

（Ⅱ）不等式等价于.

（当且仅当时取等号），