一元二次方程讲解.docx

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一元二次方程讲解

一元二次方程

考点一、概念

（1）内容：

只含有一个未知数，并且未知数的最高次数是2，这样的整式方程就是一元二次方程。

（2）一般表达式：

（a、b、c为常数，a≠0）.

（3）关键点：

强调对最高次项的讨论：

①次数为“2”；②二次项系数不为“0”③一定是整式方程。

典型例题：

例1、下列方程中是关于x的一元二次方程的是（）

A、B、

C、D、

变式：

1.当k时，关于x的方程是一元二次方程。

2.关于的方程：

①；②；③；④中，是

一元二次方程的编号为___________________.

例2、方程是关于x的一元二次方程，则m的值为。

变式：

若关于x的方程是一元二次方程，试求m的值，并计算这个方程的各项系数之和．

针对练习：

1．方程的一次项系数是，常数项是。

2．若方程是关于x的一元二次方程，则m的取值范围是。

3．把方程化成一般形式是．

4．一元二次方程的二次项系数、一次项系数及常数之和为．

5．关于的方程是一元二次方程，则的取值范围是．

6．若方程是一元二次方程，则的取值范围是．

7.如果关于的方程是关于的一元二次方程，那么的值为________.

8.若是关于的一元二次方程，则不等式的解集是______________.

9.若关于的方程是一元二次方程，求的取值范围．

考点二、方程的解

⑴内容：

使方程两边相等的未知数的值，就是方程的解。

⑵应用：

①利用根的概念求代数式的值；

典型例题：

例1、已知的值为2，则的值为。

例2、关于x的一元二次方程的一个根为0，则a的值为。

例3、已知关于x的一元二次方程的系数满足，则此方程必有一根为。

例4、已知，，，求

变式：

若，，则的值为。

针对练习：

1、已知方程的一根是2，则k为.

2、已知m是方程的一个根，则代数式。

3、已知是的根，则。

4、方程的一个根为（）

AB1CD

5、若。

6、已知是方程的一个根，则．

7、已知的值为，则代数式的值为．

8、关于的一元二次方程的一个根是，则的值为_________.

9、已知是关于的方程的一个解，则的值是____________.

10、关于的一元二次方程的一个根为1，则实数的值是___________.

11、已知m是方程x2-x-2=0的一个实数根,求代数式（m2-m）的值.　

12、

能力提升

1．已知x3-a+3x﹣10=0和x3b-4+6x+8=0都是一元二次方程，求的值．

2．已知m，n都是方程x2+2007x﹣2009=0的根，则（m2+2007m﹣2008）（n2+2007n﹣2010）的值为　　．

3．试说明：

无论a取何值时，关于x的方程（a2﹣8a+20）x2+2ax+1=0都是一元二次方程．

4．已知方程（m﹣1）x2﹣（m2+2）x+（m2+2m）=0，（n﹣1）x2﹣（n2+2）x+（n2+2n）=0（其中m，n都是正整数，且m≠n≠1）有一个公共根，求mn•nm的值．

5．若α是方程x2+x﹣1=0的根，求代数式2000α3+4000α2的值．

6．已知三个不同的实数a，b，c满足a﹣b+c=3，方程x2+ax+1=0和x2+bx+c=0有一个相同的实根，方程x2+x+a=0和x2+cx+b=0也有一个相同的实根．求a，b，c的值．

7．阅读下列材料：

（1）关于x的方程x2﹣3x+1=0（x≠0）方程两边同时乘以得：

即，

（2）a3+b3=（a+b）（a2﹣ab+b2）；a3﹣b3=（a﹣b）（a2+ab+b2）．

根据以上材料，解答下列问题：

（1）x2﹣4x+1=0（x≠0），则=　　，=　　，=　　；

（2）2x2﹣7x+2=0（x≠0），求的值．

8．已知m是方程x2﹣x﹣2=0的一个实数根，求代数式（m2﹣m）（m﹣+3）的值．

9．设a是方程x2﹣2016x+1=0的一个根，求代数式a2﹣2017a+的值．

10．已知是关于x的方程x2﹣x+a=0的一个根，求a﹣2﹣的值．

11．已知：

a、b为实数，关于x的方程x2﹣（a﹣1）x+b+3=0的一个实根为a+1．

（1）用含a的代数式表示b；

（2）求代数式b2﹣4a2+10b的值．

12．设α是一元二次方程x2﹣8x﹣5=0的一个正根，求α3﹣7α2﹣13α+6的值．

13．已知x的方程kx2﹣k（k+2）x=x（2x+3）+1．

（1）当k取何值时，这个方程是一元二次方程；

（2）当k取何值时，这个方程是一元一次方程；

（3）﹣1是不是这个方程的根？

为什么？

考点三、解法

⑴方法：

①直接开方法；②因式分解法；③配方法；④公式法

⑵关键点：

降次

类型一、直接开方法：

※※对于，等形式均适用直接开方法

典型例题：

例1、解方程：

=0;

变式练习：

解下列方程：

（1）;

（2）

（3）（4）

例2、若，则x的值为。

针对练习：

1、下列方程无解的是（）

A.B.C.D.

2、用直接开平方法解下列方程

（1）（3x﹣2）（3x+2）=8．

（2）（5﹣2x）2=9（x+3）2．

（3）﹣6=0（4）（x﹣m）2=n．（n为正数）

类型二、因式分解法:

※方程特点：

左边可以分解为两个一次因式的积，右边为“0”，

※方程形式：

如，，

典型例题：

例1、的根为（）

ABCD

例2、若，则4x+y的值为。

变式1：

。

变式2：

若，则x+y的值为。

变式3：

若，，则x+y的值为。

例3、方程的解为（）

A.B.C.D.

例4、解方程：

例5、已知,则的值为。

变式：

已知,且,则的值为。

针对练习：

1、下列说法中：

正确的有__________________.

①方程的二根为，，则

②.

③

④

⑤方程可变形为

2、⑴写出一个一元二次方程，要求二次项系数不为1，且两根互为倒数：

⑵写出一个一元二次方程，要求二次项系数不为1，且两根互为相反数：

3、若实数x、y满足，则x+y的值为（）

A、-1或-2B、-1或2C、1或-2D、1或2

4、方程：

的解是。

5、若方程x2﹣7x+12=0的两根恰好是一个直角三角形两条直角边的长，则这个直角三角形的斜边长是　　．

6、如图，在▱ABCD中，AE⊥BC于E，AE=EB=EC=a，且a是一元二次方程x2+2x﹣3=0的根，则▱ABCD的周长是　　．

类型三、配方法

※在解方程中，多不用配方法；但常利用配方思想求解代数式的值或极值之类的问题。

典型例题：

例1、试用配方法说明的值恒大于0，的值恒小于0。

例2、已知x、y为实数，求代数式的最小值。

变式：

若，则t的最大值为，最小值为。

例3、已知为实数，求的值。

变式1：

已知，则.

变式2：

如果,那么的值为。

针对练习：

1．

（1）若实数x，y满足，则x=　　，y=　　．

（2）若实数a，b满足，试求a，b的值．

2．已知A=﹣a﹣1，B=a2+a，C=2a2﹣5a﹣1

（1）当a≠﹣1时，请你说明B﹣A＞0；

（2）请你比较A与C的大小？

并说明理由．

3．阅读材料：

本册数学学习中，我们认识了“完全平方公式”，即（a±b）2=a2±2ab+b2，并把形如a2±2ab+b2的式子称为完全平方式．

把形如ax2+bx+c（a≠0）的二次三项式（或其一部分）配成完全平方式的过程叫配方．配方的基本形式是完全平方公式的逆写，即a2±2ab+b2=（a±b）2．例如

①选取二次项和一次项配方：

x2﹣2x+4=（x﹣1）2+3；

②选取二次项和常数项配方：

x2﹣2x+4=（x+2）2﹣6x，

或x2﹣2x+4=（x﹣2）2+2x；

③选取一次项和常数项配方：

x2﹣2x+4=（x﹣2）2+x2．

根据上述材料，解决下面问题：

（1）写出x2+4x+9的两种不同形式的配方；

（2）已知4x2+y2﹣4x+6y+10=0，求xy的值；

（3）试求当x为何值时，﹣x2+4x+5有最大值，最大值是多少？

4．求证：

不论x为何值，多项式2x2﹣4x﹣1的值总比x2﹣6x﹣6的值大．

5．已知x、y、z满足x2﹣4x+y2+6y++13=0，求代数式（xy）z的值．

6．已知实数x、y、z满足|4x﹣4y+1|++z2﹣z=0，求（y+z）2•x2的值．

7．求代数式2x2+4x﹣6的最小值，并求代数式取得最小值时x的值是多少？

8．△ABC三边的长a，b，c满足a2+b2+c2=4a+6b+8c﹣29，求a，b，c的值．

9．用配方法解关于x的一元二次方程mx2+nx+p=0（其中n2﹣4mp＞0）．

10．证明：

不论a，b为何值，多项式﹣a2﹣b2﹣3ab﹣5的值一定小于0．

11．已知：

a、b为实数，且a2+ab+b2=5，a2﹣ab+b2=k，求k的最大值和最小值，并求出当k取到最大值和最小值时，对应的a、b的值分别是多少？

12.设b为正整数，a为实数，记M=a2﹣4ab+5b2+2a﹣2b+，在a，b变动的情况下，求M可能取得的最小整数值．并求出M取得最小整数值时a、b的值．

13.用配方法证明代数式2x2﹣x+3的值不小于

类型四、公式法

⑴条件：

⑵公式：

典型例题：

例1、选择适当方法解下列方程：

⑴⑵⑶

⑷⑸

考点四、根的判别式

根的判别式的作用：

①定根的个数；②求待定系数的值；③应用于其它。

典型例题：

例1、若关于的方程有两个不相等的实数根，则k的取值范围是。

例2、关于x的方程有实数根，则m的取值范围是（）

A.B.C.D.

例3、已知二次三项式是一个完全平方式，试求的值.

针对练习：

1、当k时，关于x的二次三项式是完全平方式。

2、已知方程有两个不相等的实数根，则m的值是.

能力提升：

1.若a，b，c为实数关于x的方程2x2+2（a﹣c）x+（a﹣b）2+（b﹣c）2=0有实数根，求证：

a+c=2b．

2.已知a，b，c是△ABC三边的长，判断关于x的一元二次方程cx2+（a+b）x+=0的根的情况．

3．求证：

关于x的方程x2﹣（2a+3）x+a（a+3）=0恒有两个不相等的实数根．

4．已知关于x的方程（m﹣2）x2﹣2（m﹣1）x+m+1=0．当m为何非负整数时．

（1）方程只有一个实数根？

（2）方程有两个相等的实数根？

（3）方程有两个不相等的实数根？

5．已知关于x的一元二次方程（m﹣2）x2﹣（m﹣1）x+m=0．（其中m为实数）

（1）若此方程的一个非零实数根为k，

①当k=m时，求m的值；

②若记为y，求y与m的关系式；

（2）当＜m＜2时，判断此方程的实数根的个数并说明理由．

6．已知关于x的一元二次方程有两个相等的实数根，求的值．

7．已知关于x的方程（m2﹣m）x2﹣2mx+1=0有两个不相等的实数根

（1）求m的取值范围；

（2）若m为整数，且m＜3，a是方程的一个根，求代数式2a2﹣3a﹣3的值．

8.已知关于x的方程x2+4x﹣6﹣k=0没有实数根，试判别关于y的方程y2+（k+2）y+6﹣k=0的根的情况．

考点五、根与系数的关系

⑴前提：

对于而言，当满足①、②时，才能用韦达定理。

⑵主要内容：

⑶应用：

整体代入求值。

典型例题：

例1