学年高中数学 第二章 变化率与导数 2 导数的概念及其几何意义教学案 北师大版选修Word文件下载.docx

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是．

1．定义：

设函数y＝f（x），当自变量x从x0变到x1时，函数值从f（x0）变到f（x1），函数值y关于x的平均变化率为＝＝，当x1趋于x0，即Δx趋于0时，如果平均变化率趋于一个固定的值，那么这个值就是函数y＝f（x）在x0点的瞬时变化率．在数学中，称瞬时变化率为函数y＝f（x）在x0点的导数．

2．记法：

函数y＝f（x）在x0点的导数，通常用符号f′（x0）表示，记作f′（x0）＝li＝li.

导数的几何意义

函数y＝f（x）在[x0，x0＋Δx]的平均变化率为，你能说出它的几何意义吗？

表示过A（x0，f（x0））和B（x0＋Δx，f（x0＋Δx））两点的直线的斜率．

当Δx变化时，直线如何变化？

直线AB绕点A转动．

当Δx→0时，直线变化到哪里？

直线过点A与曲线y＝f（x）相切位置．

1．割线的定义：

函数y＝f（x）在[x0，x0＋Δx]的平均变化率为，它是过A（x0，f（x0））和B（x0＋Δx，f（x0＋Δx））两点的直线的斜率，这条直线称为曲线y＝f（x）在点A处的一条割线．

2．切线的定义：

当Δx趋于零时，点B将沿着曲线y＝f（x）趋于点A，割线AB将绕点A转动最后趋于直线l，直线l和曲线y＝f（x）在点A处“相切”，称直线l为曲线y＝f（x）在点A处的切线．

3．导数的几何意义：

函数y＝f（x）在x0处的导数，是曲线y＝f（x）在点（x0，f（x0））处的切线的斜率．

1．函数f（x）在点x0处的导数就是函数的平均变化率在当自变量的改变量趋于零时的极限，若li存在，则函数y＝f（x）在点x0处就有导数．

2．f′（x0）的几何意义是曲线y＝f（x）在切点（x0，f（x0））处的切线的斜率．

求函数在某点处的导数

[例1]　求函数y＝在x＝2处的导数．

[思路点拨]　由所给函数解析式求Δy＝f（Δx＋x0）－f（x0）；

计算；

求li.

[精解详析]　∵f（x）＝，

∴Δy＝f（2＋Δx）－f

（2）＝－1

＝，

∴＝，

∴li＝li＝－1，∴f′

（2）＝－1.

[一点通]　由导数的定义，求函数y＝f（x）在点x0处的导数的方法：

①求函数的增量Δy＝f（x0＋Δx）－f（x0）；

②求平均变化率＝；

③取极限，得导数f′（x0）＝.

1．函数y＝x2在x＝1处的导数为（　　）

A．2x　　　　　　　　　　　B．2＋Δx

C．2D.1

解析：

y＝x2在x＝1处的导数为：

f′

（1）＝＝2.

答案：

C

2．设函数f（x）＝ax＋b，若f

（1）＝f′

（1）＝2，则f

（2）＝________.

函数f（x）＝ax＋b在x＝1处的导数为f′

（1）＝li＝li＝li＝a，又f′

（1）＝2，得a＝2，而f

（1）＝2，有a＋b＝2，于是b＝0，所以f（x）＝2x，有f

（2）＝4.

4

3．求函数f（x）＝x－在x＝1处的导数．

解：

Δy＝（1＋Δx）－－＝Δx＋，

＝＝1＋，

∴＝＝2，

从而f′

（1）＝2.

求曲线的切线方程

[例2]　已知曲线y＝3x2－x，求曲线上的点A（1,2）处的切线斜率及切线方程．

[思路点拨]　利用导数的几何意义求出切线的斜率，进而求得切线方程．

[精解详析]　因为

＝＝5＋3Δx，

当Δx趋于0时，5＋3Δx趋于5，所以曲线y＝3x2－x在点A（1,2）处的切线斜率是5.

所以切线方程为y－2＝5（x－1），

即5x－y－3＝0.

[一点通]　求曲线在点（x0，f（x0））处的切线方程的步骤：

（1）求出函数y＝f（x）在点x0处的导数f′（x0）；

（2）根据直线的点斜式方程，得切线方程为

y－f（x0）＝f′（x0）·

（x－x0）．

4．曲线y＝x2在点（1,1）处的切线与坐标轴所围成的三角形的面积为（　　）

A.B.

C．1D.2

f′

（1）＝li

＝li＝li（2＋Δx）＝2.

则曲线在点（1,1）处的切线方程为y－1＝2（x－1），

即y＝2x－1.

因为y＝2x－1与坐标轴的交点为（0，－1），，

所以所求三角形的面积为S＝×

1×

A

5．求曲线f（x）＝在点（－2，－1）处的切线方程．

∵点（－2，－1）在曲线y＝上，

∴曲线y＝在点（－2，－1）处的切线斜率就等于y＝在x＝－2处的导数．

∴k＝f′（－2）＝li

＝li＝li

＝－，

∴曲线y＝在点（－2，－1）处的切线方程为y＋1＝－（x＋2），整理得x＋2y＋4＝0.

导数几何意义的综合应用

[例3]　已知抛物线y＝2x2＋1，求：

（1）抛物线上哪一点处的切线的倾斜角为45°

？

（2）抛物线上哪一点处的切线平行于直线4x－y－2＝0?

（3）抛物线上哪一点处的切线垂直于直线x＋8y－3＝0?

[精解详析]　设点的坐标为（x0，y0），则

Δy＝2（x0＋Δx）2＋1－2x－1＝4x0·

Δx＋2（Δx）2.

∴＝4x0＋2Δx.

当Δx趋于零时，趋于4x0.

即f′（x0）＝4x0.

（1）∵抛物线的切线的倾斜角为45°

，

∴切线的斜率为tan45°

＝1，

即f′（x0）＝4x0＝1，得x0＝，该点为.

（2）∵抛物线的切线平行于直线4x－y－2＝0，

∴切线的斜率为4，

即f′（x0）＝4x0＝4，得x0＝1，该点为（1,3）．

（3）∵抛物线的切线与直线x＋8y－3＝0垂直，

∴切线的斜率为8，

即f′（x0）＝4x0＝8，得x0＝2，该点为（2,9）．

[一点通]　解答此类题目时，所给的直线的倾斜角或斜率是解题的关键，由这些信息得知函数在某点处的导数，进而可求此点的横坐标．解题时注意解析几何中直线方程知识的应用，如直线的倾斜角与斜率的关系，直线的平行、垂直等．

6．曲线y＝x2－3x在点P处的切线平行于x轴，则点P的坐标为________．

根据题意可设切点为P（x0，y0），

∵Δy＝（x＋Δx）2－3（x＋Δx）－（x2－3x）

＝2xΔx＋（Δx）2－3Δx，

∴＝2x＋Δx－3.

∴f′（x）＝li＝li（2x＋Δx－3）＝2x－3.

由f′（x0）＝0，即2x0－3＝0，得x0＝，

代入曲线方程得y0＝－.

所以点P坐标为.

7．已知函数y＝f（x）的图像在点M（1，f

（1））处的切线方程是y＝x＋2，则f

（1）＋f′

（1）＝________.

由导数的几何意义，易得f′

（1）＝，由切线方程得f

（1）＝×

1＋2＝，所以f

（1）＋f′

（1）＝3.

3

8．求经过点（2,0）且与曲线y＝相切的直线方程．

可以验证点（2,0）不在曲线上，设切点为P（x0，y0）．由y′＝li

＝li

＝li＝－.

故所求直线方程为y－y0＝－（x－x0）．

由点（2,0）在所求的直线上，得xy0＝2－x0，

再由P（x0，y0）在曲线y＝上，得x0y0＝1，

联立可解得x0＝1，y0＝1，

所以直线方程为x＋y－2＝0.

求曲线的切线方程，首先要判断所给点是否在曲线上．若在曲线上，可用切线方程的一般方法求解；

若不在曲线上，可设出切点，写出切线方程，结合已知条件求出切点坐标或切线斜率，从而得到切线方程．

1．函数y＝f（x）＝1－3x在x＝2处的导数为（　　）

A．－3　　　　　　　　　　B．－2

C．－5D.－1

Δy＝f（2＋Δx）－f

（2）＝－3Δx，＝－3，Δx趋于0时，趋于－3.

2．抛物线y＝x2在点Q（2,1）处的切线方程为（　　）

A．x－y－1＝0B．x＋y－3＝0

C．x－y＋1＝0D.x＋y－1＝0

f′

（2）＝li

＝li＝1，

∴过点（2,1）的切线方程为y－1＝1·

（x－2），

即x－y－1＝0.故选A.

3.已知曲线C：

y＝x3的图像如图所示，则斜率等于3，且与曲线C相切的直线有（　　）

A．1条

B．2条

C．3条

D．不确定

由y＝x3得＝＝＝3x2＋3x·

Δx＋（Δx）2，则y′＝li[3x2＋3x·

Δx＋（Δx）2]＝3x2，由3x2＝3，得x＝±

1，即存在2条斜率等于3且与曲线C相切的直线，故选B.

B

4．已知函数y＝f（x）的图像如图所示，则f′（xA）与f′（xB）的大小关系是（　　）

A．f′（xA）>

f′（xB）

B．f′（xA）<

C．f′（xA）＝f′（xB）

D．不能确定

由图像易知，点A，B处的切线斜率kA，kB满足kA<

kB<

0.由导数的几何意义，得f′（xA）<

f′（xB）．

5．已知曲线y＝2x2＋4x在点P处切线斜率为16，则点P坐标为________．

设P（x0,2x＋4x0），

则f′（x0）＝

＝＝4x0＋4，

又∵f′（x0）＝16，

∴4x0＋4＝16，∴x0＝3，∴P（3,30）．

（3,30）

6.如图，函数f（x）的图像是折线段ABC，其中A，B，C的坐标分别为（0,4），（2,0），（6,4），则li＝________.

由导数的概念和几何意义知，li＝f′

（1）＝kAB＝＝－2.

－2

7．已知点P（2，－1）在曲线f（x）＝上．求：

（1）曲线在点P处的切线的斜率；

（2）曲线在点P处的切线方程．

（1）将P（2，－1）的坐标代入f（x）＝，得t＝1，

∴f（x）＝.

∴f′

（2）＝

＝

＝＝1，

曲线在点P处的切线斜率为1.

（2）由

（1）知曲线在点P处的切线方程为

y－（－1）＝x－2，即x－y－3＝0.

8．求与曲线y＝x2相切，且与直线x＋2y＋1＝0垂直的直线方程？

设切点为P（x0，y0），可得所求切线的斜率

k＝li＝li（2x0＋Δx）＝2x0，

又直线x＋2y＋1＝0的斜率为－，由所求切线与该直线垂直得（2x0）·

＝－1，

得x0＝1，则y0＝x＝1，

所以所求切线的方程为y－1＝2（x－1），即y＝2x－1.

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