秋人教必修2853第二课时平面与平面平行的性质Word文件下载.docx

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教材拓展补遗

[微判断]

1.若平面α∥平面β，l⊂平面β，m⊂平面α，则l∥m.（×

）

2.夹在两平行平面间的平行线段相等.（√）

提示　1.直线l和m也可能是异面直线.

[微训练]

1.已知长方体ABCD－A′B′C′D′，平面α∩平面ABCD＝EF，平面α∩平面A′B′C′D′＝E′F′，则EF与E′F′的位置关系是（　　）

A.平行B.相交C.异面D.不确定

解析　由面面平行的性质定理易得.

答案　A

2.若平面α∥平面β，直线a⊂α，点M∈β，过点M的所有直线中（　　）

A.不一定存在与a平行的直线

B.只有两条与a平行的直线

C.存在无数条与a平行的直线

D.有且只有一条与a平行的直线

解析　由于α∥β，a⊂α，M∈β，过M有且只有一条直线与a平行，故D项正确.

答案　D

[微思考]

1.两个平面平行，那么两个平面内的所有直线都相互平行吗？

提示　不一定.因为两个平面平行，所以分别在这两个平面内的任两条直线无公共点，它们平行或异面.

2.若平面α∥平面β，点P∈α，a∥β且P∈a，那么一定有a⊂α吗？

提示　一定有.∵a∥β，α∥β，∴a∥α或a⊂α.又∵P∈a，P∈α，∴a⊂α.

题型一　由面面平行的性质定理求线段长　

【例1】　如图，平面α∥β，A，C∈α，B，D∈β，直线AB与CD交于点S，且AS＝3，BS＝9，CD＝34，求CS的长.

解　设AB，CD共面γ，因为γ∩α＝AC，γ∩β＝BD，且α∥β，所以AC∥BD，

所以△SAC∽△SBD，所以＝，

即＝，所以SC＝17.

规律方法　应用平面与平面平行性质定理的基本步骤

【训练1】　已知平面α∥β∥γ，两条相交直线l，m分别与平面α，β，γ相交于A，B，C与D，E，F，若AB＝6，DE∶DF＝2∶5，则AC＝________.

解析　由面面平行的性质定理知AD∥BE∥CF，

所以＝，所以AC＝·

AB＝×

6＝15.

答案　15

题型二　利用面面平行的性质定理证明线线平行　

【例2】　如图所示，平面四边形ABCD的四个顶点A，B，C，D均在平行四边形A′B′C′D′外，且AA′，BB′，CC′，DD′互相平行，求证：

四边形ABCD是平行四边形.

证明　∵四边形A′B′C′D′是平行四边形，∴A′D′∥B′C′.

∵A′D′平面BB′C′C，B′C′⊂平面BB′C′C，

∴A′D′∥平面BB′C′C.同理AA′∥平面BB′C′C.

∵A′D′⊂平面AA′D′D，AA′⊂平面AA′D′D，

且A′D′∩AA′＝A′，∴平面AA′D′D∥平面BB′C′C.

又∵平面ABCD∩平面AA′D′D＝AD，平面ABCD∩平面BB′C′C＝BC，∴AD∥BC.

同理可证AB∥CD.∴四边形ABCD是平行四边形.

规律方法　

（1）利用面面平行的性质定理证明线线平行的关键是把要证明的直线看作是平面的交线，往往需要有三个平面，即有两平面平行，再构造第三个面与两平行平面都相交.

（2）面面平行⇒线线平行，体现了转化思想与判定定理的交替使用，可实现线线、线面及面面平行的相互转化.

【训练2】　如图，在三棱锥P－ABC中，D，E，F分别是PA，PB，PC的中点，M是AB上一点，连接MC，N是PM与DE的交点，连接NF，求证：

NF∥CM.

证明　因为D，E分别是PA，PB的中点，所以DE∥AB.

又DE平面ABC，AB⊂平面ABC，所以DE∥平面ABC，

同理DF∥平面ABC，且DE∩DF＝D，DE，DF⊂平面DEF，所以平面DEF∥平面ABC.

又平面PCM∩平面DEF＝NF，平面PCM∩平面ABC＝CM，所以NF∥CM.

题型三　平行关系的综合应用

【探究1】　在立体几何中，线线平行与线面平行、面面平行之间是如何相互转化的？

解　一般地，证明线面平行，可以转化为证明线线平行；

证明面面平行，可以转化为证明线面平行；

证明线线平行，可以利用线面平行或面面平行的性质定理来证明.

【探究2】　证明线面平行的方法有哪些？

解　

（1）利用线面平行的定义（无公共点）；

（2）利用线面平行的判定定理（aα，b⊂α，a∥b⇒a∥α）；

（3）利用面面平行的性质（α∥β，a⊂α⇒a∥β）；

（4）利用面面平行的性质（α∥β，aα，aβ，a∥α⇒a∥β）.

【探究3】　如图，在棱长为a的正方体ABCD－A1B1C1D1中，E，F，P，Q分别是BC，C1D1，AD1，BD的中点.

（1）求证：

PQ∥平面DCC1D1；

（2）求PQ的长；

（3）求证：

EF∥平面BB1D1D.

（1）证明　如图，连接AC，CD1.因为ABCD是正方形，且Q是BD的中点，所以Q是AC的中点，又P是AD1的中点，所以PQ∥CD1.

又PQ平面DCC1D1，CD1⊂平面DCC1D1，所以PQ∥平面DCC1D1.

（2）解　由

（1）易知PQ＝D1C＝a.

（3）证明　法一　取B1D1的中点O1，连接FO1，BO1，则有FO1∥B1C1且FO1＝B1C1.

又BE∥B1C1且BE＝B1C1，所以BE∥FO1，BE＝FO1，

所以四边形BEFO1为平行四边形，所以EF∥BO1.

又EF平面BB1D1D，BO1⊂平面BB1D1D，所以EF∥平面BB1D1D.

法二　取B1C1的中点E1，连接EE1，FE1，

则有FE1∥B1D1，EE1∥BB1，

且FE1∩EE1＝E1，FE1，EE1⊂平面EE1F，B1D1，BB1⊂平面BB1D1D，

所以平面EE1F∥平面BB1D1D.

又EF⊂平面EE1F，所以EF∥平面BB1D1D.

规律方法　线线平行、线面平行、面面平行是一个有机的整体，平行关系的判定定理、性质定理是转化平行关系的关键，其内在联系如图所示：

【训练3】　如图所示，在棱长为2的正方体ABCD－A1B1C1D1中，A1B1的中点是P，过点A1作与截面PBC1平行的截面，能否确定截面的形状？

如果能，求出截面的面积.

解　能.如图，分别取AB，C1D1的中点M，N，

连接A1M，MC，CN，NA1.

∵平面A1B1C1D1∥平面ABCD，平面A1MCN∩平面A1B1C1D1＝A1N，平面ABCD∩平面A1MCN＝MC，

∴A1N∥MC.同理A1M∥NC.

∴四边形A1MCN是平行四边形.

∵C1N＝C1D1＝A1B1＝A1P，C1N∥A1P，

∴四边形A1PC1N是平行四边形，

∴A1N∥PC1.同理A1M∥BP.

又∵A1N∩A1M＝A1，C1P∩PB＝P，A1N，A1M⊂平面A1MCN，C1P，PB⊂平面PBC1，

∴平面A1MCN∥平面PBC1.

故过点A1与截面PBC1平行的截面是平面A1MCN.

连接MN，作A1H⊥MN于点H.

由题意，易得A1M＝A1N＝，MN＝2.

∴四边形A1MCN是菱形，MH＝NH＝，∴A1H＝.

故S菱形A1MCN＝2S△A1MN＝2×

×

2×

＝2.

一、素养落地

1.通过面面平行性质定理的探索、发现、应用，重点培养数学抽象素养，提升逻辑推理和直观想象素养.

2.常用的面面平行的性质：

（1）两个平面平行，其中一个平面内的任意一条直线平行于另一个平面；

（2）平行于同一个平面的两个平面平行；

（3）两条直线被三个平行平面所截，截得的线段长成比例；

（4）经过平面外一点有且只有一个平面与已知平面平行.

3.空间中各种平行关系相互转化的示意图

二、素养训练

1.下列命题：

①一条直线与两个平行平面中的一个平面相交，必与另外一个平面相交；

②如果一个平面平行于两个平行平面中的一个平面，必平行于另一个平面；

③夹在两个平行平面间的平行线段相等.

其中正确的命题的个数为（　　）

A.1B.2C.3D.0

解析　根据面面平行的性质知①②③正确，故选C.

答案　C

2.平面α∥平面β，点A，C∈α，B，D∈β，则直线AC∥直线BD的充要条件是（　　）

A.AB∥CDB.AD∥CB

C.AB与CD相交D.A，B，C，D四点共面

解析　充分性：

A，B，C，D四点共面，由平面与平面平行的性质知AC∥BD.必要性显然成立.

3.如图，不同在一个平面内的三条平行直线和两个平行平面相交，每个平面内以交点为顶点的两个三角形是（　　）

A.相似但不全等的三角形

B.全等三角形

C.面积相等的不全等三角形

D.以上结论都不对

解析　由面面平行的性质定理，得AC∥A′C′，

则四边形ACC′A′为平行四边形，∴AC＝A′C′.

同理BC＝B′C′，AB＝A′B′，∴△ABC≌△A′B′C′.

答案　B

4.如图，在正方体ABCD－A1B1C1D1中，侧面对角线AB1，BC1上分别有两点E，F，且B1E＝C1F.求证：

EF∥平面ABCD.

证明　过E作EG∥AB交BB1于点G，连接GF，

则＝.

∵B1E＝C1F，B1A＝C1B，

∴＝.∴FG∥B1C1∥BC，

易得EG∥平面ABCD，

FG∥平面ABCD，

又∵EG∩FG＝G，EG，FG⊂平面EFG，

∴平面EFG∥平面ABCD，

又∵EF⊂平面EFG，∴EF∥平面ABCD.

三、审题答题

示范（三）　平行关系的相互转化和综合应用

【典型示例】（12分）如图，在正方体ABCD－A1B1C1D1中①，

平面AB1D1∥平面C1BD②；

（2）试找出体对角线A1C与平面AB1D1和平面C1BD的交点E，F③，并证明：

A1E＝EF＝FC④.

联想解题

看到①想到利用正方体中线、面平行的性质.

看到②想到证明面∥面的方法：

线∥线⇒线∥面⇒面∥面.

看到③想到利用基本实事3找直线和平面的交点.

看到④想到利用面∥面的性质和平行直线的性质证明.

满分示范

解　

（1）因为在正方体ABCD－A1B1C1D1中，AD綉B1C1，

所以四边形AB1C1D是平行四边形，所以AB1∥C1D.2分

又因为C1D⊂平面C1BD，AB1平面C1BD，

所以AB1∥平面C1BD.

同理，B1D1∥平面C1BD.4分

又因为AB1∩B1D1＝B1，AB1⊂平面AB1D1，B1D1⊂平面AB1D1，所以平面AB1D1∥平面C1BD.6分

（2）如图，设A1C1与B1D1交于点O1，连接AO1，与A1C交于点E.

又因为AO1⊂平面AB1D1，

所以点E也在平面AB1D1内，

所以点E就是A1C与平面AB1D1的交点.

连接AC交BD于O，连接C1O与A1C交于点F，则点F就是A1C与平面C1BD的交点.8分

下面证明A1E＝EF＝FC.