数列求和.docx
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数列求和
数列求和
(一)教学设计
教学目的:
能够利用“公式法”(等差,等比数列的前n项和公式,自然数的方幂和公式),“分解求和法”,“裂项求和法”等通项化归求和的常用方法,求一些特殊数列的和。
教学难点:
运用化归思想分析问题和解决问题。
教学过程:
一、复习提问:
师:
说出等差数列的前n项和公式?
生:
Sn=, Sn=(教师板书)
师:
说出等比数列的前n项和公式?
生:
Sn= Sn= (教师板书)
师:
条件q=1时,前n项和怎样计算?
生:
Sn=na1
二、讲解新课:
师:
今天我们将继续学习数列的求和问题。
(板书课题:
数列求和)
下面请同学们先看例1。
(出示投影)
例1
(1)求和:
(新教材P131,例3)
(2)求和:
师:
请同学们观察
(1)是否是等差数列或等比数列?
(估计学生会用等差,等比数列的定义来判断)
生:
否。
师:
既然不是等差数列,也不是等比数列,那么就不能直接用等差,等比数列的求和公式,请
同学们仔细观察一下此数列有何特征?
生:
上面各个括号内的式子均由两项组成,其中各括号内的前一项与后一项分别组成等比数列,
分别求出这两个等比数列的和,就能得到所求式子的和。
(1)当x≠0,x≠1,y≠1时
原式=
=
(以上化简过程,实际上是繁分式的化简应强调结果的完整)
师:
题中附加条件去掉,应该如何考虑?
请同学们课后思考。
师:
下面我们一起来研究
(2)由上题启发,对于一个数列的一项可分成若干项,使其重新组合
成等差或等比,那么本小题又是怎样来解呢?
(学生相互讨论,老师巡视,启发学生)
师:
我们可否通过对通项进行变形呢?
从而转化为等差或等比数列?
生:
(2)令k=1,2,3,……n
则:
1= ,
[引导学生自己归纳解法特点,养成学生解题后思考的良好习惯]
师:
这类数列的求和法叫分解求和法,基本方法是根据数列的通项公式,将原数列分解为两个
或两个以上的基本数列,然后再分别求和,
例2
(1)求和:
(2)求和:
师:
将各项分母通分,显然是行不通的,能否通过通项的特点,将每一项拆成两项的差,使它
们之间能互相抵消许多。
生:
(1) 令k=1,2,3,…n
则原式=
=
==
师:
请看第
(2)小题,此题形式与第
(1)小题相仿,哪位同学能大胆地试一试。
生:
(2)(此步骤一开始学生会仿照上题将通项裂开,未考虑到
令k=1,2,3,…n 系数,经启发可得出)
则原式=
=
(做到此处,学生会发现与上题不同,互相抵消的项不在前后项,此时,教师应耐心地分析各项间的关系,可以假设n=6,n=7时的情形,得出一般规律)
原式=
师:
这类数列求和的方法叫裂项相消求和法,基本方法是把数列各项拆成两项的差,使求和时
中间各项相互抵消。
[上例中,两个小题贯彻由浅入深的原则]
[讲完一个例题后,将例题引伸是教学中常做的一件事,它可以使学生的认识得到“升华”,
发展学生的思维,并起到触类旁通,举一反三的效果]
例3:
求数列:
1,,,的前n项和。
(启发学生,根据例1、例2的方法解决)
师:
例1、例2我们都是对通项进行分解而得到解决。
那么例3是否也可用同样的方法呢?
例3
中的通项是什么呢?
生:
=
=
师:
在求数列的前n项和时,往往需要先将通项公式进行变形,然后再求和。
例4:
已知数列[an]的前n项和为Sn=n2+2n,求和:
师:
由例3可知,此题也应把通项公式求出来,才能解决问题,请同学们考虑,通项公式的求
法。
(稍作停止,让学生回忆求通项的方法)
生:
当n≥2时,an=Sn-Sn-1=n2+2n-[(n-1)2+2(n-1)]
=n2+2n-(n2-2n+1+2n-2)
=2n+1
a1=S1=12+2·1=3 满足上式.
∴[an]的通项公式为an==2n+1
师:
很好!
那么有了数列的通项公式,这个问题就可以解决了。
生:
原式=
=
=
==
三、小结归纳:
师:
非等差(比)的特殊数列求和法。
1、设法转化为等差数列或等比数列,这一思考方法往往通过通项分解法来完成。
2、不能转化为等差(比)的特殊数列,往往通过裂项相消法求和。
四、课堂练习:
1、求和:
2、求和:
3、求和:
4、数列[an]的前n项和为Sn=n2,求
(以上练习完全与例题相仿,对所学知识加以巩固)
五、作业:
1、求数列:
1,1+2,1+2+3,…(1+2+3+…+n)…的前n项的和。
2、求数列:
1,1+2,1+2+22,…,(1+2+22+…+2n-1)…的前n项的和。
3、求数列:
1,1+a,1+a+a2,…(1++a+a2+…+an-1)…的前n项的和.
4、求数列:
9,99,999,9999,……的前n项和。
教案说明
(1)本节课的教学内容在现行高中新教材中,所占篇幅极小,只通过一个例题(P131例3)一个练习(P132,3),一个习题(P133,6)反映这一内容,但其重要性却不容忽视,首先如等差数列前N项和公式的是用“逆序相加法”,等比数列的前N项和公式的推导是用“错位相减法”。
这些求和的方法本身在教材中有所体现,只是没有系统安排,其次,在实际应用中,会经常碰到非等差(等比)数列的求和问题,此外,对今后学习数列的极限打好基础。
(2)一节课的素材虽然准备得很充分,但若搭配布局安排不当,就可能降低学生对所教内容的理解水平,不能充分发挥教材在培养学生思维品质方面的作用,因此,在设计教案时应重视一节课各部分,各环节间相互联系的功能所形成的最佳结构。
本节课是非等差(等比)的特殊数列求和的第一节课,安排了四个例题,四个课堂练习和四个课外作业题,例题和习题的安排上贯彻了由浅入深的原则,例1是用“分解求和法”来解的,例2是“裂项求和法”解题,这两种方法都用了通项化归的数学思想方法,例3、例4是在例1、例2的基础上作了一些引伸。
在有了通项化归这种思想后,例3、例4就显得很容易了,此外课堂练习,基本与例题相仿,作为巩固练习。
而作业题中,有一点难度,让学生课余进行思考。
(3)利用课堂教学的机会,有意识地将数学研究的某些思想方法渗透到教学过程中,课堂教学不能单纯传授知识,应在传授知识的同时注重能力的培养、在上述思想的指导下,这堂课的教学过程中,每个例题都让学生体会到通项化归的思想方法。
(4)提高课堂教学的实效,加快学生的思维节秦,不拖泥带水,该说的话,要说到点上,要说透,能少说的,就决不多说,尽量挤出时间让学生多练。
在讲解例题时,重点不是讲怎样解,而是讲为什么这样解,从而达到会解一类题,提高创新思维的能力。
摘自数学教育网