年全国高中数学联赛江西赛区预赛试卷及详细解答Word下载.doc
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3．中，则使等式成立的充要条件是（）.
C．
由题设知，
反之也成立。
4．抛物线顶点在原点,对称轴为轴，焦点在直线上，则抛物线方程为（）.
D．
由顶点在原点，对称轴为轴知，抛物线方程为在中令知焦点为（4，0）,
5．设则二次曲线与必有（）.
（A）不同的顶点（B）不同的准线（C）相同的焦点（D）相同的离心率
当则表实轴为轴的双曲线，
二曲线有相同焦点;
当时，且，
表焦点在轴上的椭圆。
与已知椭圆有相同焦点。
6．连结正五边形的对角线交另一个正五边形，两次连结正五边形的对角线，又交出一个正五边形（如图），以图中线段为边的三角形中，共有等腰三角形（）个。
（A）50（B）75（C）85（D）100
C.
对于其中任一点P，以P为“顶”（两腰的公共点）的等腰三角形的个数记为[P]则.
由于图中没有等边三角形，则每个等腰三角形恰有一个“顶”。
据对称性可知。
因此等腰三角形共有个。
二、填空题（本题满分54分，每小题9分）
本题共有6小题，要求直接将答案写在横线上。
7．设适合等式则的值域是。
由将换为，有,两式消去得.
8．若对满足的任何角,都有
，则数组=。
。
左边
与右边比较得
9．等差数列3，10，17，…，2005与3，8，13，…，2003中，值相同的项有个。
58。
将二个数列的各项皆减3，化为0，7，14，…，2002与0，5，10，…，2000，前者为不大于2002的各数中7的倍数，后者可看成以上范围内的5的倍数，故公项为35的倍数.
∴
10．若对所有正数不等式都成立，则的最小值是。
由当时取等号，故的最小值是。
11．若为一个平方数，则正整数。
10。
，设有，于是有故
12．用标有1，2，3，15，40克的法码各一个，在某架无刻度的天平上称量重物，如果天平两端均可放置法码，那么该天平所能称出的不同克数（正整数的重物）至多有种。
55。
用1，2，3这三只法码，可称出区间中的全部整克数,增加15克的法码后，量程扩充了区间，再增加40克的法码后，
量程又扩充了三个区间：
，
但区间与有三个整数重复，计算上述各区间内的整数个数，则得能称出的不同克数共有6+13+（13+13+13）-3=55种。
三、解答题（本题满分60分，每小题20分）
13．直角三角形中，分别是直角边上的任意点，自向引垂线，垂足分别是。
证明：
四点共圆.
共圆,共圆，
又共圆,由共圆，得所以
故共圆.
14．的三条边长为，证明.
由于只要证：
……①
注意：
故由①，只要证……②
取等号当且仅当此时为正三角形，即
15．试求最小的正整数使得对于任何个连续正整数中，必有一数，其各位数字之和是7的倍数.
首先，我们可以指出12个连续正整数，例如994，995，…，999，1000，1001，…，1005，其中任一数的各位数字之和都不是7的倍数，因此，。
再证，任何连续13个正整数中，必有一数，其各位数字之和是7的倍数.对每个非负整数，称如下10个数所构成的集合:
为一个“基本段”，13个连续正整数，要么属于两个基本段，要么属于三个基本段。
当13个数属于两个基本段时，据抽屉原理，其中必有连续的7个数，属于同一个基本段；
当13个连续数属于三个基本段时，其中必有连续10个数同属于.现在设是属于同一个基本段的7个数，它们的各位数字之和分别是显然，这7个和数被7除的余数互不相同，其中必有一个是7的倍数.因此，所求的最小值为
二○○六年全国高中数学联赛江西省预赛试卷
答案及评分标准
2006年9月24日上午（8∶30-11∶00）
一、选择题（本题满分36分，每小题6分）
本题共有6小题，每小题均给出A，B，C，D四个结论，其中有且仅有一个是正确的。
不选、选错或选出的代表字母超过一个（不论是否写在括号内），一律得0分.
1．函数与的定义域和值域都是，且都有反函数，则函数的反函数是（）
由依次得
，互易得.
2．集合由满足如下条件的函数组成：
当时，有，对于两个函数，
以下关系中成立的是（）
．
，取，
则.
中，则比式等于
如图易知，
因此选
4．抛物线上两点关于直线对称，若，则的值是（）.
由以及
得，
5．椭圆的中心，右焦点，右顶点，右准线与轴的交点依次为，则的最大值为（）.
不能确定.
.（时取等号）
6．函数的值域为（）
的定义域为则，令，则
因，则.
本题共有6小题，要求直接将答案写在横线上.
7．若，则.
.
由条件得，
8．数列由全体正奇数自小到大排列而成，并且每个奇数连续出现次，，如果这个数列的通项公式为，则
由，即当时，
，所以，于是，
9．为实数，满足，则的最大值为.
设，则
，（当时取等号）.
10．若集合中的每个元素都可表为中两个不同的数之积，则集中元素个数的最大值为.
从中每次取一对作乘积，共得个值，但其中有重复，重复的情况为，共种，因此集合中至多有个数.
11．作出正四面体每个面的中位线，共得条线段，在这些线段中，相互成异面直线的“线段对”有个.
个“线段对”.
任取一条中位线考虑，所在的侧面没有与异面的线段；
含点的另一个侧面恰有一条中位线与异面；
不含的侧面恰有两条中位线与异面；
因此与异面的中位线共有条，即含有线段的异面“线段对”共有个，于是得异面“线段对”个，（其中有重复）.
但每一个异面“线段对”中有两条线段，故恰被计算了两次，因此得个异面“线段对”.
12．用五种不同的颜色给图中的“五角星”的五个顶点染色，（每点染一色，有的颜色也可以不用）使每条线段上的两个顶点皆不同色，则不同的染色方法有种.
种.
将其转化为具有五个扇形格的
圆盘染五色，使邻格不同色的染色问题。
设有个扇形格的圆盘染五色的方法数
为，则有
，于是
13．设为正数，证明：
证：
对归纳，时显然成立等号；
设时结论对于任意个正数成立，
当时，对于任意个正数，据假设有
，…5分
所以
只要证，…
平方整理，只要证，
……10分
由柯西不等式
……………15分
即
所以
即成立，因此当时结论成立.故由归纳法知，所证不等式成立.…………20分
14．三角形中，是的中点，、、分别是边上的点，且△的外接圆交线段于若点满足：
在圆中，由于弦故圆周角，因此，
、、、与、、、分别共圆，于是…………………5分
设点在边上的射影分别为、、，则
△∽△∽△，故由得，
设△的内心为今证四点共圆：
连因分别共圆，
则，
又由，，所以△∽△
因此
而所以因为故得，因此、、、四点共圆，于是……………10分
延长AM交的外接圆于则AO为该外接圆的直径,于是且因此,点O是所在圆的圆心,从而为⊙O的切线.
延长AD交⊙O于T,则∽,所以,又由∽,得,因故...②………………………15分
延长到,使，则为平行四边形,
...③
由②得...
由③、得∽
所以，,即BPM=CPD.…………………20分
15．数列满足：
，（其中表示的整数部分，），试求的值.
观察数列开初的一些项：
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
16
17
18
19
20
24
28
33
38
44
50
57
64
72
80
88
我们注意到，数列严格单增，每个正整数，顺次在数列中出现，并且除了首项之外，每个形如的数连续出现三次，其它数各连续出现两次.…5分
一般地，我们可证明数列的以下性质：
若记，则,
若记则当时，有…10分
对归纳.据上面所列出的项可知，当时结论成立.设性质对于成立，即在时，，则
再对满足的归纳：
当时，由于，则，
因为，则
设当时，均有，则当时，因为
…
即有，所以
由于
故由归纳法，当时，
特别是，当时，上式成为
又由，当，有
由可知，对于当时，亦有
，从而性质成立.…………………15分
因为，取，则，，
因此.…………………20分
二○○七年全国高中数学联赛江西省预赛试卷
2007年9月23日上午（8∶30-11∶00）
一、选择题（本题满分36分，每小题6分）
1、为互不相等的正数，，则下列关系中可能成立的是（）．
、；
、；
、；
、；
2、设，又记则（
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