湖北省武汉市武昌区届高三下学期质量检测数学试题Word格式.docx

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，则的离心率的取值范围为

5.2020年我国832个贫困县全部“摘帽”，脱贫攻坚战取得伟大胜利．湖北秭归是“中国脐橙之乡”，全县脐橙综合产值年均20亿元，被誉为促进农民增收的“黄金果”．已知某品种脐橙失去的新鲜度与其采摘后的时间（天）满足关系式：

.若采摘后10天，这种脐橙失去的新鲜度为10%，采摘后20天失去的新鲜度为20%，那么采摘下来的这种脐橙在多长时间后失去50%的新鲜度（已知，结果四舍五入取整数）

A.23天B.33天C.43天D.50天

6.某班有60名学生参加某次模拟考试，其中数学成绩近似服从正态分布，若，则估计该班学生数学成绩在120分以上的人数为

A.10B.9C.8D.7

7.展开式中的常数项为

A.B.C.8D.11

8.桌面上有3个半径为2021的球两两相外切，在其下方空隙中放入一个球，该球与桌面和三个球均相切，则该球的半径是

A.B.C.D.2021

二、选择题：

本题共4小题，每小题5分，共20分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。

全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分。

9.某学校为了促进学生德、智、体、美、劳全面发展，制订了一套量化评价标准．下表是该校甲、乙两个班级在某次活动中的德、智、体、美、劳的评价得分（得分越高，说明该项教育越好）。

下列说法正确的是

德

智

体

美

劳

甲班

9.5

9

8

乙班

8.5

A.甲班五项得分的极差为1.5

B.甲班五项得分的平均数高于乙班五项得分的平均数

C.甲班五项得分的中位数大于乙班五项得分的中位数

D.甲班五项得分的方差小于乙班五项得分的方差

10.已知函数在上的值域为，则实数的值可能取

A.1B.C.D.2

11.已知为抛物线：

的焦点．设是准线上的动点，过点作抛物线的两条切线，切点分别为，，线段的中点为，则

A.的最小值为4B.直线过点

C.轴D.线段的中垂线过定点

12.已知实数，，满足，且，则下列结论正确的是

A.的最小值为B.的最大值为

C.的最小值为D.取最小值时

三、填空题：

本题共4小题，每小题5分，共20分．

13.已知数列的前项和为，且满足，则_______.

14.抛掷3个骰子，事件为“三个骰子向上的点数互不相同”，事件为“其中恰好有一个骰子向上的点数为2”，则___________.

15.已知函数在上有两个极值点，则实数的取值范围是___________.

16.如图，在边长为2的正方形中，，分别是，的中点．若沿，及把这个正方形折成一个四面体，使，，三点重合，重合后的点记为，则：

（1）三棱锥外接球的表面积为___________；

（2）点到平面的距离为___________.

四、解答题：

本题共6小题，共70分。

解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。

17.（10分）

已知各项均为正数的数列的前项和为，，.

（1）求的通项公式；

（2）设，求数列的前项和.

18.（12分）

在①；

②；

③，这三个条件中选择两个，补充在下面问题中，使问题中的三角形存在，并求出的面积。

问题：

在中，，，是角，，所对的边，已知，补充的条件是_________和_________.

19.（12分）

如图，在正方体中，点在线段上，，点为线段上的动点，，且平面.

（1）求的值；

（2）求二面角的余弦值．

20.（12分）

某商场举行有奖促销活动，顾客购买一定金额商品后即可抽奖，每次抽奖都从装有4个红球、6个白球的甲箱和装有5个红球、5个白球的乙箱中，各随机摸出1个球，在摸出的2个球中，若都是红球，则获一等奖；

若只有1个红球，则获二等奖；

若没有红球，则不获奖．

（1）求顾客抽奖1次能获奖的概率；

（2）若某顾客有3次抽奖机会，记该顾客在3次抽奖中获一等奖的次数为，求的分布列和数学期望。

21.（12分）

已知椭圆：

的离心率为，焦距为2.

（1）求椭圆的方程；

（2）设，为椭圆上两点，为坐标原点，，点在线段上，且，连接并延长交椭圆于E，试问是否为定值？

若是定值，求出定值；

若不是定值，请说明理由。

22.（12分）

已知函数.

（1）求在处的切线方程；

（2）已知关于的方程有两个实根，，当时，求证：

.

数学参考答案

1.B2.D3.A4.C5.B6.B7.A8.B

9.AC10.ABC11.ABC12.ACD

13.答案：

14.答案：

15.答案：

16.答案：

（1）；

（2）

17.解：

（1）当时，由，得，即.

又，解得.

由，可知，

两式相减，得，即，

由于，可得，所以是首项为1，公差为3的等差数列，

所以.

（2）因为，所以，

18.解：

因为，所以.

又，所以，即.

∵，∴.

若选①，，∴，则，三角形不存在；

因此，只能选择②和③

∴，∴，∴，

与联立，解得，；

或，，

所以，符合条件的存在，且.

19.解：

（1）

方法一：

过作于，连结.

则，而，所以.

因为平面，平面，

平面平面，所以，

所以四边形是平行四边形，所以.

所以，即，所以.

方法二：

延长交线段的延长线于，连结.

因为平面，所以.

所以.又因为，

所以，即.

（2）方法一：

过作于，过作于，连结.

因为平面，，

又，所以平面.

所以是二面角的平面角.

设正方体的棱长为，则.

在中，，，，

在中，求得，

所以，即为所求.

以坐标原点，为轴，为轴，为轴，建立空间直角坐标系.

设正方体棱长为3，则，，，.

设平面的法向量为，，.

由，取，得，即.

取平面的法向量，则.

所以二面角的余弦值为.

20.解：

（1）记事件{从甲箱中摸出的1个球是红球}，{从乙箱中摸出的1个球是红球}，{顾客抽奖1次获一等奖}，{}，{顾客抽奖1次能获奖}.

由题意，与相互独立，与互斥，与互斥，

且，，.

因为，，

所以，

，

故所求概率为.

（2）顾客抽奖3次可视为3次独立重复试验，由

（1）知，顾客抽奖1次获一等奖的概率为，所以.于是

，，

，.

故的分布列为

1

2

3

的数学期望为.

21.解：

（1）由已知得且，所以，.

所以椭圆方程为.

（2）设点，，，

由，得，

设，则结合题意可知，所以.

将点代入椭圆方程，得.

即.

变形，得（*）

又因为，均在椭圆上，且，

所以，代入（*）式解得.

所以是定值，为.

22.解：

（1）因为，所以.

所以，在处的切线方程为.即.

（2）由

（1）知，在单调递减，在单调递增.

因为，.

当时，方程有两个实根，，则.

令，则.

所以在上单调递增，所以.

所以在上单调递增，所以，所以.

所以，所以.

当时，，所以.