第三章--秩亏网平差(研究生)PPT格式课件下载.ppt

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法方程法方程u系数阵的行列式不为零，即系数阵的行列式不为零，即RR（NN）=2=2，非奇异，方程有唯，非奇异，方程有唯一解：

一解：

u经典平差法的条件：

经典平差法的条件：

是在控制网中必需设定设定足够的坐标起算数据；

33.1.1预备知识预备知识3.1预备知识如果不假设起始高程，设网中全部待定点为参数，则误差如果不假设起始高程，设网中全部待定点为参数，则误差方程为方程为：

法方程系数阵法方程系数阵：

可见，系数阵的行列式等于零可见，系数阵的行列式等于零,即是一个奇异阵，方程即是一个奇异阵，方程有无穷多组解。

有无穷多组解。

产生秩亏的原因产生秩亏的原因：

一是平差网形中缺少的必要起平差网形中缺少的必要起算数据个数，而不假设它，算数据个数，而不假设它，二是二是所设的未知数必所设的未知数必须独立。

须独立。

秩亏数秩亏数dd：

就是秩亏自由网中的基准亏损数，就是秩亏自由网中的基准亏损数，d=Rd=R（BB）-R-R（BB）（）（RR（BB）是）是BB的列满秩数，的列满秩数，RR（BB）是实际秩数。

）是实际秩数。

）如果网中不设起始数据或没有必要的起算数据，如果网中不设起始数据或没有必要的起算数据，而且又设所有网点坐标为参数，这样的平差问题而且又设所有网点坐标为参数，这样的平差问题称为称为秩亏自由网平差秩亏自由网平差。

怎么解算怎么解算秩亏自由网平差？

我们首先了解广义逆秩亏自由网平差？

我们首先了解广义逆矩阵。

矩阵。

33.1.1预备知识预备知识u一、广义逆矩阵一、广义逆矩阵1）广义逆）广义逆A-1、定义：

、定义：

设设A的秩的秩R（A）=rmin（n,m），满足下列矩阵方程，满足下列矩阵方程的的A-定义为定义为A的广义逆的广义逆2、广义逆广义逆A-的计算的计算A-广义逆的计算有多种方法，下面介绍测量中常用的简便法广义逆的计算有多种方法，下面介绍测量中常用的简便法当当A的秩的秩R（A）=rmin可将可将（n,m），可将，可将A分块成分块成33.1.1预备知识预备知识其中其中，则，则3.1预备知识算例算例1：

设矩阵：

设矩阵取取3.1预备知识2）最小范数逆）最小范数逆1、定义：

设设A的秩的秩R（A）=rmin（n,m），满足下列矩阵，满足下列矩阵方程的方程的定义为定义为A的最小范数逆。

的最小范数逆。

2、最小范数逆、最小范数逆的计算：

在自由网平差中，最小范的计算：

在自由网平差中，最小范数逆数逆常取常取3.1预备知识算例算例2：

设矩阵，计算最小范数逆，计算最小范数逆3）广义逆）广义逆A+（Moore-Penrose广义逆、伪逆）广义逆、伪逆）1、定义：

满足下列四个条件，即、定义：

满足下列四个条件，即2、A+的计算的计算当当A为对称方阵时：

为对称方阵时：

33.1.1预备知识预备知识3.1预备知识算例算例2：

设矩阵计算计算伪逆伪逆A+已知已知则：

则：

3.1预备知识二、相容线性方程组的广义逆解二、相容线性方程组的广义逆解设有相容线性方程组设有相容线性方程组其解存在，设为其解存在，设为Y，则有，则有按广义逆按广义逆A-有有此式称为方程组（此式称为方程组

（1）的相容条件，由此可知）的相容条件，由此可知上式为方程组（上式为方程组

（1）的一个特解。

）的一个特解。

齐次方程组齐次方程组的一般解为：

的一般解为：

因此非齐次方程组的一般解为：

3.3秩亏自由网平差秩亏自由网平差的函数模型为秩亏自由网平差的函数模型为相应的误差方程为相应的误差方程为随机模型为随机模型为法方程为法方程为法方程是相容方程组，其解有无穷多组法方程是相容方程组，其解有无穷多组三、秩亏自由网参数的最小二乘解三、秩亏自由网参数的最小二乘解3.3秩亏自由网平差问题的提出问题的提出:

在秩亏自由网平差中在秩亏自由网平差中,如果像经典平差平差如果像经典平差平差那样那样,只要求遵循最小二乘原则求未知参数的解只要求遵循最小二乘原则求未知参数的解,将不可将不可能取得唯一确定的估计量能取得唯一确定的估计量;

解决方法解决方法:

为了得唯一确定的估计量为了得唯一确定的估计量,需要在遵循最小二需要在遵循最小二乘原则基础上乘原则基础上附加另外条件附加另外条件;

附加条件的前提附加条件的前提:

该条件的确定应保证所求得的未知数该条件的确定应保证所求得的未知数的估计量是最优的的估计量是最优的.u这样的最优解是唯一存在的这样的最优解是唯一存在的,它就是法方程的它就是法方程的最小范数最小范数解解!

3.3秩亏自由网平差（五）秩亏法方程的最小范数解（五）秩亏法方程的最小范数解设满足法方程的一个解为设满足法方程的一个解为X,X,取其平方和的开方为取其平方和的开方为称为向量称为向量XX的范数的范数,几何意义是向量的长度。

几何意义是向量的长度。

最小范数满足条件最小范数满足条件,称为最小范数条件称为最小范数条件,其表达式为其表达式为法方程若有一解法方程若有一解XX满足其范数最小满足其范数最小,这个解就称为最小范数解。

这个解就称为最小范数解。

3.3秩亏自由网平差求最小范数的法方程解过程求最小范数的法方程解过程：

即求下列数学解：

得：

则则3.3秩亏自由网平差u值得说明的是：

在值得说明的是：

在秩亏自由网平差中，最小范数逆可取秩亏自由网平差中，最小范数逆可取，与伪，与伪逆的条件相比，最小范数逆条件仅是逆的条件相比，最小范数逆条件仅是其中的两个条件，由于只有满足其中的两个条件，由于只有满足44各条件的伪逆才是唯一存各条件的伪逆才是唯一存在，因此最小范数逆不是唯一的，但是最小范数解却是唯一在，因此最小范数逆不是唯一的，但是最小范数解却是唯一存在的。

了解这一点对于研究自由网平差理论十分重要，下存在的。

了解这一点对于研究自由网平差理论十分重要，下面作出证明面作出证明。

已知最小范数逆满足两个条件已知最小范数逆满足两个条件与满足下列一个条件是一致的与满足下列一个条件是一致的二、秩亏自由网平差广义逆解法二、秩亏自由网平差广义逆解法3.3秩亏自由网平差设有两个最小范数设有两个最小范数和和，相应的最小范数解为：

，相应的最小范数解为：

按最小范数按最小范数的条件，则的条件，则即：

即：

两边右乘两边右乘得得或或上式成立，必须满足上式成立，必须满足右乘任意向量右乘任意向量Y，得：

，得：

因为因为，故有，故有即即可见最小范数逆不是唯一的，但是最小范数解却是唯一的可见最小范数逆不是唯一的，但是最小范数解却是唯一的数学模型数学模型:

按照附有条件的间接平差得法方程：

三、秩亏自由网平差伪观测值法三、秩亏自由网平差伪观测值法33.33秩亏自由网平差秩亏自由网平差求解法方程，可得未知参数的解为：

求解法方程，可得未知参数的解为：

3.3秩亏自由网平差各类自由网各类自由网SS和和GG的确定的确定11、水准网情况（、水准网情况（=1=1）22、测边网情况（、测边网情况（=3,m=3,m为网中三角点数目）为网中三角点数目）3.3秩亏自由网平差33、测角网情况（、测角网情况（=4=4）44、边角网情况（、边角网情况（=3=3）边角自由网与测边网的边角自由网与测边网的SS完全相同。

完全相同。

3.3秩亏自由网平55、GPSGPS网情况（网情况（=3=3）（与水准网情况类似）（与水准网情况类似）伪观测法平差算例伪观测法平差算例3.3秩亏自由网平四、用直接解法求解秩亏自由网四、用直接解法求解秩亏自由网11.原理原理由由在在的约束下，可导出的约束下，可导出个相关的法方程个相关的法方程将法方程写成将法方程写成（11）（22）3.3秩亏自由网平即即（3）其中，其中，为为个线性无关的方程组，个线性无关的方程组，为为的非的非奇异方阵，则满足奇异方阵，则满足的解也一定满足的解也一定满足。

记记3.3秩亏自由网平则则（4）为求即满足为求即满足，又使，又使的的，构造，构造函数函数（5）令令3.3秩亏自由网平得得即即将（将（6）代入）代入得得令令则有秩亏自由网的法方程则有秩亏自由网的法方程（8）故故（9）（6）（7）3.3秩亏自由网平（10）即即可以证明，可以证明，。

证明略。

2.2.计算步骤计算步骤

（1）根据平差问题，选取）根据平差问题，选取t个平差参数和近似值个平差参数和近似值（），列出误差方程），列出误差方程3.3秩亏自由网平（22）计算）计算（3）计算）计算（4）计算未知参数）计算未知参数3.4自由网拟稳平差p我我国周江文研究员针对变形监测网提出了一种所国周江文研究员针对变形监测网提出了一种所谓拟稳平差的自由网平差方法。

谓拟稳平差的自由网平差方法。

1、自由网拟稳平差原理、自由网拟稳平差原理设不稳定未知数X1，稳定未知数为X2，则误差方程为最小二乘原理：

最小二乘原理：

3.4自由网拟稳平差法方程：

法方程：

最小范数：

平差方法的实质稳定，未知参数拟合于它们的初值平差方法的实质稳定，未知参数拟合于它们的初值拟合稳定点的平差拟合稳定点的平差拟稳平差拟稳平差3.4自由网拟稳平差、不稳定、稳定参数改正数不稳定、稳定参数改正数即即为列满秩为列满秩可将法方程分块为：

可将法方程分块为：

其中：

3.4自由网拟稳平差满秩对称方阵满秩对称方阵奇异奇异秩亏网平差秩亏网平差：

即全部点拟合于它们的初值即全部点拟合于它们的初值拟稳平差：

拟稳平差：

即使稳定点拟合于它们的初值即使稳定点拟合于它们的初值因此，应首先消去不稳定未知数因此，应首先消去不稳定未知数然后再按上式解用约化的方法。

然后再按上式解用约化的方法。

3.4自由网拟稳平差约化并未消除秩方，因为约化并未消除秩方，因为仍为仍为奇异阵奇异阵的解不唯一的解不唯一为获唯一最优解，附加为获唯一最优解，附加的最小范数条件的最小范数条件令：

令：

最小范数逆最小范数逆则则3.4自由网拟稳平差令令：

拟稳平差解为：

的权逆阵的权逆阵按：

按：

平差自由网，拟稳平差的基本思想。

将将带入下列方程，求得带入下列方程，求得3.4自由网拟稳平差在该平差中：

在该平差中：

稳定未知数个数稳定未知数个数应满足不等式应满足不等式即：

在稳定点的数大于等于秩方数（必要起算数），即：

在稳定点的数大于等于秩方数（必要起算数），且全部未知数中存在不稳定的未知数。

且全部未知数中存在不稳定的未知数。

如果取如果取不存在，不存在，为网中全部未知数，则为网中全部未知数，则自由网平差自由网平差如果：

如果：

等于秩方数等于秩方数，秩不变，秩不变，零阵零阵经典平差经典平差p可见，自由网平差的方法分为可见，自由网平差的方法分为

（1）经典自由网平差；

经典自由网平差；

（22）重心基准的秩亏自由网）重心基准的秩亏自由网;

（3）（3）拟稳平差拟稳平差。

所遵循的原则是所遵循的原则是:

u随着所选取基准随着所选取基准PX不同，平差准则也会变化。

不同，平差准则也会变化。

四四.基准的坐标转换法基准的坐标转换法由于各类自由网平差后求得观测值改正数由于各类自由网平差后求得观测值改正数V完全相同，所以平完全相同，所以平差后的网形相似，因此可以通过相似变换使得各类坐标值相差后的网形相似，因此可以通过相似变换使得各类坐标值相互转化。

在实际工作中，经常先进行经典平差或秩亏网平差，互转化。

在实