常微分方程》应用题及答案文档格式.docx
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8、设有微分方程
y'
2y
2x1
（x）,其中（x）。
试求在（，）内的连续函
0x1
数yy（x）使之在（，1）和1,内部满足所给方程，且满足条件y（0）0。
9、设位于第一象限的曲线yf（x）过点—,-，其上任一点P（x,y）处的法线与y轴的
22
交点为Q,且线段PQ被x轴平分。
（1）求曲线yf（x）的方程；
（2）已知曲线ysinx在［0,］上的弧长为|，试用|表示曲线yf（x）的弧长s。
10、求微分方程xdy（x2y）dx0的一个解yy（x），使得由曲线yy（x）与直线
x1,x2以及x轴所围成的平面图形绕x轴旋转一周的旋转体体积最小。
11、设曲线L位于xOy平面的第一象限内，L上任一点M处的切线与y轴总相交，交点记
33
为A，已知|MA||OA|，且L过点-,-，求L的方程。
22
12、设曲线L的极坐标方程为rr（）,M（r,）为L上任一点，M°
（2,0）为L上一定点,若极径0M。
，OM与曲线L所围成的曲边扇形面积值等于L上Mo,M两点间弧长值的
一半，求曲线L的方程。
13、设y1x和科2xlnx是二阶齐次线性方程y”p（x）y'
q（x）y0的两个解，求
p（x）,q（x）以及该方程的通解。
14、设对任意x0，曲线yf（x）上点（x,f（x））处的切线在y轴上的截距等于
1x
-f（t）dt，求f（x）的一般表达式。
x0
2exf（x），且f（0）0,g（0）2，
15、设函数f（x）,g（x）满足f'
（x）g（x）,g'
（x）
dx。
求g（x）f（x）
01x（1x）2
所满足的微分方程;
224
18、.对于任意简单闭曲线l,恒有门2xyf（x）dx[f（x）x]dy0
L
其中f（x）在（，）有连续的导数，且f（0）=2.求f（x）.
19、设f（x）满足f（x）=f（1-x）,求f（x）
20、设（x）ex（xu）（u）du,其中（x）为连续函数，求（x）
o
21、人工繁殖细菌，其增长速度和当时的细菌数成正比。
（1）如果4小时的细菌数为原细菌数的2倍，那么经过12小时应有多少？
44
（2）如在3小时的时候，有细菌数10个，在5小时的时候有410个，那么在开始时有多少个细菌？
应用题答案
1、解：
首先从导数定义出发，证明
f（x）处处可微，并求出f（x）与f（X）满足的关系,
最后定出f（x）。
f（Xo）f（x。
0）f（x°
）f（0）得到
由于f（x）不恒为零，设f（x00）0，因而
f（x）f（0）
解得f（x）cef'
（0）x
又由f（0）1所以f（x）ef'
（0）x
2、解:
（1）F（x）f（x）g（x）f（x）g（x）g（x）f（x）
222
[f（x）g（x）]2f（x）g（x）（2e）2F（X）
于是F（x）满足一阶线性微分方程y2y4e2x
（2）按一阶线性微分方程的通解公式，
F（x）e2dX4e2xe2dXdxCe2x4e4xdxCe2xCe2x
由F（0）f（0）g（0）0得C1，
于是F（x）e2xe2x.
3、解：
方程两端同时对x求导，得到f（x）3f（x）2e2x
由题设知道
f（0）0
e0
1。
故令
f（x）
y即得
y
3y
c2x
2e
yx
3dx
eC
2e2x
e
3dx3x
dxe3xC
2eXdxCe3x2e2x
由y
x01
得到C
3
3x2x
于疋f（x）3e2e.
f（xhx）h，则mylmf（xhx）.f（x）hf（x）
5、解：
由题意可知，等式的每一项都是x的可导函数，于是等式两边对x求导，得
t
tf（xt）tf（x）1
f（u）du
（1）
在
（1）式中令x1,
由f
（1）5，得
tf（t）5t
f（u）du,
（2）
2
则f（t）是（0,）内的可导函数，
（2）式两边对
t求导，得
f（t）tf'
（t）5f（t）,
即f'
（t）-。
2t
上式两边求积分，得
f（t）-lntC
55
由f⑴一，得C—。
于
二是f（t）-（lnt
1）。
6、解：
令u
tx,du
xdt,
原方程变为
of（u）duf（x）xsinx
即
xf（x）
2・
xsinx.
两边求导数，得到
f（x）xf
2xsinxx2cosx
f'
2sinx
xcosx
积分得
f（x）2cosxxdsinx
2cosxxsinxcosxC
cosxxsinxC.
7、解：
首先从题设可求得f
（1）1,方程两边求导得—
xf（x）x
（x）.
—考虑
xyx
xx（y）,方程可化为伯努利方程
dx1
——x
且y
x1
dyy
令ux2
du
2x
3dx
dy
2_,
-dy
—（
u
ey
C
2ey
变量还原得
~2-
2-y
或者
记yf（x）,得
又因为f
（1）1，代入上式可得C=-。
2小
u2
1
23
dy—
f2（x）
-3/、
C.
即42f3（x）5.
x33
8、解:
1时,
2y
2dx
C1
dx
2xe
2xdx
C1e2x1
y（0）
代入得
所以
（x1）
通解为
y2y0
C2e
（x
1）
1处y（x）是连续的
是若补充函数值
C2
limC2e2x
x‘八
C2e2
lim
x10
（e2x1）
e21.
是所求的函数。
1，则得到（
y（x）
（1e2）
9、解：
（1）曲线yf（x）在点P（x,y）处的法线方程为
为法线上任意一点的坐标，令X0，则
）上连续函数是所求的函数
Yy
-（Xy
、，x
Yy-
x），其中（X,Y）
故Q点坐标为
0,y
-。
由题设知
yy—'
0
，即2ydy
xdx0。
2x
2y2
C（C为任意常数）。
由yx
1m
知
C1，故曲线
f（x）的方程为
x2y1（x
0,y0）。
（2）曲线y
sinx在［0,］上的弧长为
l22J
cos2xdx.
故其弧长为
_dx_dx
解得zexxexdx
x（xC）。
即y2x2
Cx。
由于所求曲线在第
象限内，故
Cx
x。
再以条件y—
—
-代入得
—。
于是曲线方程为
y、—x
12乂1
rd
2020
（0
x—）.
12、解：
由已知条件得
■r2
r'
2d
两边对
求导得
r2-.r2r'
2，
r.厂，
从而
dr
d。
r<
r21
因为
arcsin—C，
r
arcsinC
r,r21
由条件r（0）2，知C，故所求曲线L的方程为rsin—m1。
66
13、解:
由y1
1,
y10,y2
Inx
1,y2
-；
分别代入方程得到
P（
x）xq（x）
p（x）（lnx
q（x）xlnx
⑵
）-
P（x）
得p（x
-即
把
p（x）
代入
（1）
式得
q（x）
11
所以原方程为y丄y—y0
xx
又由于yi/y2InX不为常数，*,y是齐次方程的基本解组原方程的通解为yoxc2xlnx。
Yf（x）f'
（x）（Xx）
、f（t）dtx[f（x）xf'
（x）]，
14、解：
曲线yf（x）上点（x,f（x））处的切线方程为过令X0，得截距Yf（x）xf'
（x）。
由题意，知
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