平方差公式与完全平方公式试题含答案Word文件下载.docx

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∵

∴∴=

∵，∴

例3：

计算19992-2000×

1998

〖解析〗此题中2000=1999+1，1998=1999-1，正好符合平方差公式。

19992-2000×

1998=19992-（1999+1）×

（1999-1）

=19992-（19992-12）=19992-19992+1=1

例4：

已知a+b=2，ab=1，求a2+b2和（a-b）2的值。

〖解析〗此题可用完全平方公式的变形得解。

a2+b2=（a+b）2-2ab=4-2=2

（a-b）2=（a+b）2-4ab=4-4=0

例5：

已知x-y=2，y-z=2，x+z=14。

求x2-z2的值。

〖解析〗此题若想根据现有条件求出x、y、z的值，比较麻烦，考虑到x2-z2是由x+z和x-z的积得来的，所以只要求出x-z的值即可。

因为x-y=2，y-z=2，将两式相加得x-z=4，所以x2-z2=（x+z）（x-z）=14×

4=56。

例6：

判断（2+1）（22+1）（24+1）……（22048+1）+1的个位数字是几？

〖解析〗此题直接计算是不可能计算出一个数字的答案，故有一定的规律可循。

观察到1=（2-1）和上式可构成循环平方差。

（2+1）（22+1）（24+1）……（22048+1）+1

=（2-1）（22+1）（24+1）……（22048+1）+1

=24096

=161024

因为当一个数的个位数字是6的时候，这个数的任意正整数幂的个位数字都是6，所以上式的个位数字必为6。

例7．运用公式简便计算

（1）1032

（2）1982

（1）1032=（100+3）2=1002+2⨯100⨯3+32=10000+600+9=10609

（2）1982=（200-2）2=2002-2⨯200⨯2+22=40000-800+4=39204

例8．计算

（1）（a+4b-3c）（a-4b-3c）

（2）（3x+y-2）（3x-y+2）

（1）原式=[（a-3c）+4b][（a-3c）-4b]=（a-3c）2-（4b）2=a2-6ac+9c2-16b2

（2）原式=[3x+（y-2）][3x-（y-2）]=9x2-（y2-4y+4）=9x2-y2+4y-4

例9．解下列各式

（1）已知a2+b2=13，ab=6，求（a+b）2，（a-b）2的值。

（2）已知（a+b）2=7，（a-b）2=4，求a2+b2，ab的值。

（3）已知a（a-1）-（a2-b）=2，求的值。

（4）已知，求的值。

分析：

在公式（a+b）2=a2+b2+2ab中，如果把a+b，a2+b2和ab分别看作是一个整体，则公式中有三个未知数，知道了两个就可以求出第三个。

（1）∵a2+b2=13，ab=6

∴（a+b）2=a2+b2+2ab=13+2⨯6=25（a-b）2=a2+b2-2ab=13-2⨯6=1

（2）∵（a+b）2=7，（a-b）2=4

∴a2+2ab+b2=7①a2-2ab+b2=4②

①+②得2（a2+b2）=11，即

①-②得4ab=3，即

（3）由a（a-1）-（a2-b）=2得a-b=-2

（4）由，得即

即

例10．四个连续自然数的乘积加上1，一定是平方数吗？

为什么？

由于1⨯2⨯3⨯4+1=25=52

2⨯3⨯4⨯5+1=121=112

3⨯4⨯5⨯6+1=361=192

……得猜想：

任意四个连续自然数的乘积加上1，都是平方数。

设n，n+1，n+2，n+3是四个连续自然数

则n（n+1）（n+2）（n+3）+1=[n（n+3）][（n+1）（n+2）]+1=（n2+3n）2+2（n2+3n）+1

=（n2+3n）（n2+3n+2）+1=（n2+3n+1）2

∵n是整数，∴n2，3n都是整数∴n2+3n+1一定是整数

∴（n2+3n+1）是一个平方数∴四个连续整数的积与1的和必是一个完全平方数。

二、乘法公式的用法

（一）、套用:

这是最初的公式运用阶段，在这个环节中，应弄清乘法公式的来龙去脉，准确地掌握其特征，为辨认和运用公式打下基础，同时能提高学生的观察能力。

例1.计算：

原式

（二）、连用:

连续使用同一公式或连用两个以上公式解题。

例2.计算：

例3.计算：

三、逆用:

学习公式不能只会正向运用，有时还需要将公式左、右两边交换位置，得出公式的逆向形式，并运用其解决问题。

例4.计算：

四、变用:

题目变形后运用公式解题。

例5.计算：

五、活用:

把公式本身适当变形后再用于解题。

这里以完全平方公式为例，经过变形或重新组合，可得如下几个比较有用的派生公式：

灵活运用这些公式，往往可以处理一些特殊的计算问题，培养综合运用知识的能力。

例6.已知，求的值。

例7.计算：

三、学习乘法公式应注意的问题

（一）、注意掌握公式的特征，认清公式中的“两数”．

　　例1计算（-2x2-5）（2x2-5）

　　分析：

本题两个因式中“-5”相同，“2x2”符号相反，因而“-5”是公式（a+b）（a-b）=a2-b2中的a，而“2x2”则是公式中的b．

　　解：

原式=（-5-2x2）（-5+2x2）=（-5）2-（2x2）2=25-4x4．

例2计算（-a2+4b）2

运用公式（a+b）2=a2+2ab+b2时，“-a2”就是公式中的a，“4b”就是公式中的b；

若将题目变形为（4b-a2）2时，则“4b”是公式中的a，而“a2”就是公式中的b．（解略）

（二）、注意为使用公式创造条件

　　例3计算（2x+y-z+5）（2x-y+z+5）．

粗看不能运用公式计算，但注意观察，两个因式中的“2x”、“5”两项同号，“y”、“z”两项异号，因而，可运用添括号的技巧使原式变形为符合平方差公式的形式．

原式=〔（2x+5）+（y-z）〕〔（2x+5）-（y-z）〕=（2x+5）2-（y-z）2=4x2+20x+25-y+2yz-z2．

　　例5计算（2+1）（22+1）（24+1）（28+1）．

此题乍看无公式可用，“硬乘”太繁，但若添上一项（2-1），则可运用公式，使问题化繁为简．

原式=（2-1）（2+1）（22+1）（24+1）（28+1）=（22-1）（22+1）（24+1）（28+1）=（24-1）（24+1）（28+1）

　　=（28-1）（28+1）=216-1

（三）、注意公式的推广

计算多项式的平方，由（a+b）2=a2+2ab+b2，可推广得到：

（a+b+c）2=a2+b2+c2+2ab+2ac+2bc．

　　可叙述为：

多项式的平方，等于各项的平方和，加上每两项乘积的2倍．

　　例6计算（2x+y-3）2

原式=（2x）2+y2+（-3）2+2·

2x·

y+2·

2x（-3）+2·

y（-3）=4x2+y2+9+4xy-12x-6y．

（四）、注意公式的变换，灵活运用变形公式

　　例7　　

（2）已知：

x+2y=7，xy=6，求（x-2y）2的值．

粗看似乎无从下手，但注意到乘法公式的下列变形：

x2+y2=（x+y）2-2xy，x3+y3=（x+y）3-3xy（x+y），（x+y）2-（x-y）2=4xy，问题则十分简单．

（2）（x-2y）2=（x+2y）2-8xy=72-8×

6=1．

例8计算（a+b+c）2+（a+b-c）2+（a-b+c）+（b-a+c）2．

直接展开，运算较繁，但注意到由和及差的完全平方公式可变换出（a+b）2+（a-b）2=2（a2+b2），因而问题容易解决．

原式=[（a+b）+c]2+[（a+b）-c]2+[c+（a-b）]2+[c-（a-b）]2=2[（a+b）2+c2]+2[c2+（a-b）2]

　　=2[（a+b）2+（a-b）2]+4c2

　　=4a2+4b2+4c2

　　（五）、注意乘法公式的逆运用

　　例9计算（a-2b+3c）2-（a+2b-3c）2．

若按完全平方公式展开，再相减，运算繁杂，但逆用平方差公式，则能使运算简便得多．

原式=[（a-2b+3c）+（a+2b-3c）][（a-2b+3c）-（a+2b-3c）]=2a（-4b+6c）=-8ab+12ac．

　　例10计算（2a+3b）2-2（2a+3b）（5b-4a）+（4a-5b）2

此题可以利用乘法公式和多项式的乘法展开后计算，但逆用完全平方公式，则运算更为简便．

原式=（2a+3b）2+2（2a+3b）（4a-5b）+（4a-5b）2=[（2a+3b）+（4a-5b）]2=（6a-2b）2=36a2-24ab+4b2．

四、怎样熟练运用公式：

（一）、明确公式的结构特征

这是正确运用公式的前提，如平方差公式的结构特征是：

符号左边是两个二项式相乘，且在这四项中有两项完全相同，另两项是互为相反数；

等号右边是乘式中两项的平方差，且是相同项的平方减去相反项的平方．明确了公式的结构特征就能在各种情况下正确运用公式．

（二）、理解字母的广泛含义

乘法公式中的字母a、b可以是具体的数，也可以是单项式或多项式．理解了字母含义的广泛性，就能在更广泛的范围内正确运用公式．如计算（x+2y－3z）2，若视x+2y为公式中的a，3z为b，则就可用（a－b）2=a2－2ab+b2来解了。

（三）、熟悉常见的几种变化

有些题目往往与公式的标准形式不相一致或不能直接用公式计算，此时要根据公式特征，合理调整变化，使其满足公式特点．

常见的几种变化是：

1、位置变化如（3x+5y）（5y－3x）交换3x和5y的位置后即可用平方差公式计算了．

2、符号变化如（－2m－7n）（2m－7n）变为－（2m+7n）（2m－7n）后就可用平方差公式求解了（思考：

不变或不这样变，可以吗？

）

3、数字变化如98×

102，992，912等分别变为（100－2）（100+2），（100－1）2，（90+1）2后就能够用乘法公式加以解答了．

4、系数变化如（4m+）（2m－）变为2（2m+）（2m－）后即可用平方差公式进行计算了．

5、项数变化如（x+3y+2z）（x－3y+6z）变为（x+3y+4z－2z）（x