经济数学基础线性代数之第1章行列式.docx
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经济数学基础线性代数之第1章行列式
第一单元行列式的定义
一、学习目标
通过本节课学习，理解行列式的递归定义，掌握代数余子式的计算，知道任何一个行列式就是代表一个数值，是可以经过特定的运算得到其结果的．
二、内容讲解
行列式
行列式的概念
什么叫做行列式呢？
譬如，有4个数排列成一个行方块，在左右两边加竖线。
即称为二阶行列式；
有几个概念要清楚，即
上式中，横向称行，共有两行；竖向称列，共有两列；
一般用表示第行第列的元素，如上例中的元素，，，．
再看一个算式称为三阶行列式，其中第三行为5，-7，0；第二列为–1，2，-7；元素，
又如，是一个四阶行列式．
而的代数余子式为
代数余子式就是在余子式前适当加正负号，正负号的规律是-1的指数是该元素的行数加列数．
问题思考：
元素的代数余子式是如何定义的？
代数余子式由符号因子与元素的余子式构成，即
三、例题讲解
例题1：
计算三阶行列式
分析：
按照行列式的递归定义，将行列式的第一行展开，使它成为几个二阶行列式之和，二阶行列式可以利用对角相乘法，计算出结果．
解：
四、课堂练习
计算行列式
利用阶行列式的定义选择答案．
将行列式中的字母作为数字对待，利用递归定义计算．注意在该行列式的第一行中，有两个零元素，因此展开式中对应的两项不用写出来了．
=+
五、课后作业
1.求下列行列式的第二行第三列元素的代数余子式
（1）
（2）
2．计算下列行列式
（1）
（2）
3．设
（1）由定义计算；
（2）计算，即按第二行展开；
（3）计算，即按第三行展开；
（4）按第四行展开．
1．
（1）
（2）
2．
（1）20
（2）24
3．
（1）1
（2）1 （3）1 （4）1
第二单元行列式的性质
一、学习目标
通过本节课的学习，掌握行列式的性质，并会利用这些性质计算行列式的值．
二、内容讲解
行列式的性质
用定义计算行列式的值有时是比较麻烦的，利用行列式的性质能够使计算变的比较容易了．
行列式的性质有七条，下面讲一讲几条常用的性质．在讲这些性质前，先给出一个概念：
把行列式D中的行与列按原顺序互换以后得到的行列式，称为D的转置行列式，记为．
如,
1．行列式的行、列交换，其值不变．如
这条性质说明行列式中，行与列的地位是一样的．
2．行列式的两行交换，其值变号．如
3．若行列式的某一行有公因子，则可提出．如
注意：
一个行列式与一个数相乘，等于该数与行列式的某行（列）的元素相乘．
À+2Á
4．行列式对行的倍加运算，其值不变．如倍加运算就是把一行的常数倍加到另一行上
注意：
符号“À+2Á”放在等号上面，表示行变换，放在等号下面表示列变换．
问题1：
将n阶行列式的最后一行轮换到第一行，这两个行列式的值有什么关系？
答案设n阶行列式，若将的最后一行轮换到第一行，得另一个n阶行列式，那么这两个行列式的值的关系为：
=
问题2：
如果行列式有两行或两行以上的行都有公因子，那么按性质3应如何提取？
答案按顺序将公因子提出.
三、例题讲解
例1计算行列式.
分析：
利用性质6，行列式可以按任一行（列）展开．本题按第一行逐步展开，计算出结果．
解：
===
我们将行列式中由左上角至右下角的对角线，称为主对角线．如例1中，行列式在主对角线以上的元素全为零，则称为下三角行列式．由例1的计算过程，可得这样规律：
下三角行列式就等于主对角线元素的积．同理，主对角线以下元素全为零的行列式，则称为上三角行列式，且上三角行列式也等于主对角线元素之积．今后，上、下三角行列式统称为三角行列式．
例2计算行列式
分析：
原行列式中第三行的元素是第一行的2倍，因此，利用行列式的倍加运算（性质5），使第三行的元素都变为0，得到行列式的值．
解：
=0
例3计算行列式
分析：
利用行列式的倍加运算（性质5），首先将某行（列）的元素尽可能化为0，再利用行列式可以按任一行（列）展开的性质（性质6），逐步将原行列式化为二阶行列式，计算出结果．
解：
Â+Ã
=
À+Á
=
通过此例可知，行列式两行成比例，则行列式为零．
三、课堂练习
练习1若，求行列式
利用行列式的性质3，将第一行的公因子3、第二行的公因子（-1）、第三行的公因子2提出．
利用行列式的性质3和性质2，将所要计算的行列式化为已知的行列式，再求其值．
练习2计算行列式
由性质4，若行列式中某列的元素均为两项之和，则可将其拆写成两个行列式之和．
在着手具体计算前，先观察一下此行列式有否特点？
有，其第三列的数字较大，但又都分别接近100、200、300和400，故将第三列的元素分别写成两项之和，再利用行列式的性质4将其写成两个行列式之和．注意，将第三列的元素分别写成两项之和时，还要考虑到结论“行列式中两列元素相同（或成比例），则该行列式的值为0”的利用．
五、课后作业
1．计算下列行列式
（1）
（2）
（3） （） （4）
2．证明
（1）
（2）
1．
（1）0
（2）-2 （3） （4）0
2.
（1）提示：
利用性质5，将第一行化成零行．
（2）提示：
利用性质5，将第三行的元素化成“0 0 1”，再按第三行展开，并推出等号右边结果．
第三单元行列式的计算
一、学习目标
通过本节课的学习，掌握行列式的计算方法．
二、内容讲解
行列式的计算
行列式=按任何一行（列）展开
下面用具体例子说明．
=
一个具体的行列式就是代表具体的一个数．再看一个三阶行列式．
可以按任何一行（列）展开
按第一行展开===8
按第三列展开===8
注意：
1．行列式计算一般按零元素较多的行（列）展开．
2．代数余子式的正负号是有规律的，一正一负相间隔．
问题：
试证
答案左边=
=右边
三、例题讲解
例计算行列式
分析：
由性质6可知，行列式可以按任何一行（列）展开来求值．因为第二、三行，第四列的零元素都较多，所以可选择其一展开，再进一步将其展成二阶行列式，并计算结果．
解：
按第三行展开
=
===
四、课堂练习
练习1计算行列式
根据定义，按第一行展开，使其成为两个三阶行列式之和．
因为行列式第一行有较多的零元素，所以可采用“降阶法”，即先按第一行展开，使其成为两个三阶行列式之和，然后再计算两个三阶行列式降阶，最后求出结果． =
练习2计算行列式
为了避免分数运算，先作变换“第一行加上第二行的2倍，即À+Á2；第三行加上第二行的-2倍，即Â+Á（-2）；第四行加上第二行的-2倍，即Ã+Á（-2）”．
该行列式没有明显特点，采用哪种方法计算都可以，这里用“化三角行列式”的方法进行计算．注意尽量避免分数运算．
À+Á2
Â+Á（-2）
Ã+Á（-2）
五、课后作业
1．计算下列行列式：
（1）
（2）
（3） （4）
2．计算阶行列式
1．
（1）48
（2）4 （3）-3 （4）-340
2.
第四单元克拉默法则
一、学习目标
克拉默法则是行列式在解线性方程组中的一个应用，通过本节课的学习，要知道克拉默法则求线性方程组解的条件，了解克拉默法则的结论．
二、内容讲解
克拉默法则
设个未知数的线性方程组为
（1）
记行列式称为方程组
（1）的系数行列式．将中第列的元素分别换成常数而得到的行列式记作．
克拉默法则如果线性方程组
（1）的系数行列式，那
么它有惟一解
（2）
证将
（2）式分别代入方程组
（1）的第个方程的左端的中，有
（3）
将（3）中的按第列展开，再注意到中第列元素的代数余子式和中第列元素的代数余子式是相同的，因此有
（4）
把（4）代入（3），有
…+…
把小括弧打开重新组合得
因由性质6和性质7
故上式等于，即
下面再证明方程组
（1）的解是惟一的．设
为方程组
（1）的任意一组解．于是
（5）用，，…分别乘以（5）式的第一、第二、…、第n个等式，再把n个等式两边相加，得
根据性质6和性质7，上式即为
因为，所以 克拉默法则有以下两个推论：
推论1 如果齐次线性方程组的系数行列式，那么
它只有零解．
推论2 齐次线性方程组有非零解的必要条件是系数行列式．
问题：
对任一线性方程组都可用克拉默法则求解吗？
答案不对．当线性方程组中的未知量个数与方程个数不一样；或未知量个数与方程个数相同，但其系数行列式等于零时，不能使用克拉默法则．
三、例题讲解
例利用克拉默法则解下列方程组
分析：
这是一个两个变量、两个方程的方程组，它满足了克拉默法则一个条件．克拉默法则的另一个条件是要求系数行列式的值不等于零．因此，先求出方程组的系数行列式的值，若它的值不等于零，说明该方程组有惟一解，然后求常数项替代后的行列式的值，再用克拉默法则给出的公式求出解．
解：
因为系数行列式
且，，所以，
四、课堂练习
取什么值时，下列方程组有唯一解？
有唯一解时求出解．
对行列式作变换“第二行加上第一行的1倍，即Á+À；第三行加上第一行的-1倍，即Â+À（-1）”．
这是三个未知量三个方程的线性方程组，由克拉默法则知，当系数行列式D≠0时，方程组有唯一解．所以，先求系数行列式的值．
五、课后作业
用克莱姆法则解下列方程组
1.2．
1．，，，2.，，，
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