关于所有全等三角形旋转难题.docx
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关于所有全等三角形旋转难题
可编写可改正
旋转
已知，如图，三角形ABC是等腰直角三角形，∠ACB=90°，F是AB的中点，直线l经过点C，分别过点A、B作l
的垂线，即AD⊥CE，BE⊥CE，
（1）如图1，当CE位于点F的右边时，求证：
△ADC≌△CEB；
（2）如图2，当CE位于点F的左边时，求证：
ED=BE-AD；
（3）如图3，当CE在△ABC的外面时，试猜想ED、AD、BE之间的数目关系，并证明你的猜想．
考点：
全等三角形的判断与性质．专题：
证明题；研究型．剖析：
（1）利用同角的余角相等得出∠CAD=∠BCE，进
而依据AAS证明△ADC≌△CEB．
（2）依据AAS证明△ADC≌△CEB后，得其对应边相等，从而获得ED=BE-AD．
（3）依据AAS证明△ADC≌△CEB后，得DC=BE，AD=CE，又有ED=CE+DC，从而获得ED=AD+BE．解答：
（1）证明：
∵AD⊥CE，BE⊥CE，
∴∠ADC=∠CEB=90°．
∵∠ACD+∠ECB=90°，∠CAD+∠ACD=90°，∴∠CAD=∠BCE（同角的余角相等）．
在△ADC与△CEB中
∠ADC=∠CEB∠CAD=∠BCEAC=BC，
∴△ADC≌△CEB（AAS）．
（2）证明：
∵AD⊥CE，BE⊥CE，
∴∠ADC=∠CEB=90°．
∵∠ACD+∠ECB=90°，∠CAD+∠ACD=90°，∴∠CAD=∠BCE（同角的余角相等）．
在△ADC与△CEB中
∠ADC=∠CEB∠CAD=∠BCEAC=BC，
∴△ADC≌△CEB（AAS）．
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可编写可改正
∴DC=BE，AD=CE．
又∵ED=CD-CE，
∴ED=BE-AD．
（3）ED=AD+BE．
证明：
∵AD⊥CE，BE⊥CE，
∴∠ADC=∠CEB=90°．
∵∠ACD+∠ECB=90°，∠CAD+∠ACD=90°，
∴∠CAD=∠BCE（同角的余角相等）．
在△ADC与△CEB中
∠ADC=∠CEB∠CAD=∠BCEAC=BC，
∴△ADC≌△CEB（AAS）．
∴DC=BE，AD=CE．
又∵ED=CE+DC，
∴ED=AD+BE．评论：
本题考察了全等三角形的判断和性质；利用全等三角形的对应边相等进行等量互换，证明线段之间的数目关系，这是一种很重要的方法，注意掌握
3.如图1、图2、图3，△AOB，△COD均是等腰直角三角形，∠AOB＝∠COD＝90o，
（1）在图1中，AC与BD相等吗，有如何的地点关系请说明原因。
（2）若△COD绕点O顺时针旋转必定角度后，抵达图2的地点，请问AC与BD还相等吗，还拥有那种地点关系吗为何
（3）若△COD绕点O顺时针旋转必定角度后，抵达图3的地点，请问AC与BD还相等吗还拥有上问中的地点关系吗为何
考点：
旋转的性质；全等三角形的判断与性质；等腰直角三角形．剖析：
（1）依据等腰三角形的两腰相等进行解答．
（2）证明△DOB≌△COA，依据全等三角形的对应边相等进行说明．解答：
解：
（1）相等．
2
可编写可改正
在图1中，∵△AOB，△COD均是等腰直角三角形，∠AOB=∠COD=90°，
∴OA=OB，OC=OD，
∴0A-0C=0B-OD，
∴AC=BD；
（2）相等．
在图2中，0D=OC，∠DOB=∠COA，OB=OA，
∴△DOB≌△COA，
∴BD=AC．评论：
本题考察了等腰三角形的性质、全等三角形的性质以及旋转问题，在旋转的过程中要注意哪些量是不变的，找出图形中的对应边与对应角．
4.（2008河南）．（9分）复习“全等三角形”的知识时，老师部署了一道作业题：
“如图①，已知在△ABC中，AB=AC，
P是△ABC内部随意一点，将AP绕A顺时针旋转至
AQ，使∠QAP=∠BAC，连结BQ、CP，则BQ=CP．”
小亮是个爱动脑筋的同学，他经过对图①的剖析，
证了然△≌△
，从而证得
=以后，将点
P
移到等
ABQ
ACP
BQCP
腰三角形ABC以外，原题中的条件不变，发现“BQ=CP”仍旧建立，请你就图②给出证明．
考点：
全等三角形的判断与性质；等腰三角形的性质．专题：
证明题；研究型．剖析：
本题的两个小题思路是一致
的；已知∠QAP=∠BAC，那么这两个等角同时减去同一个角（2题是加上同一个角），来证得∠QAB=∠PAC；而依据旋
转的性质知：
AP=AQ，且已知AB=AC，即可由SAS证得△ABQ≌△ACP，从而得出BQ=CP的结论．解答：
证明：
（1）∵
∠QAP=∠BAC，
∴∠QAP-∠BAP=∠BAC-∠BAP，
即∠QAB=∠CAP；
在△BQA和△CPA中，
AQ=AP∠QAB=∠CAPAB=AC，
∴△BQA≌△CPA（SAS）；
∴BQ=CP．
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可编写可改正
（2）BQ=CP仍旧建立，原因以下：
∵∠QAP=∠BAC，
∴∠QAP+∠PAB=∠BAC+∠PAB，
即∠QAB=∠PAC；
在△QAB和△PAC中，
AQ=AP∠QAB=∠PACAB=AC，
∴△QAB≌△PAC（SAS），
∴BQ=CP．评论：
本题主要考察了等腰三角形的性质以及全等三角形的判断和性质；选择并利用三角形全等是正确解答本题的重点．
5.（2009山西太原）将一张透明的平行四边形胶片沿对角线剪开，获得图①中的两张三角形胶片
△ABC和
△DEF．且△ABC≌△DEF。
将这两张三角形胶片的极点
B与极点E重合，把△DEF绕点B顺时针方向旋
转，这时AC与DF订交于点O．
①当△DEF旋转至如图②地点，点B（E），C，D在同向来线上时，AFD与DCA的数目关系是．
②当△DEF持续旋转至如图③地点时，
（1）中的结论还建立吗AO与DO存在如何的数目关系请说明原因．
点：
旋转的性质；全等三角形的判断与性质．专题：
研究型．剖析：
（1）依据外角的性质，得∠AFD=∠D+∠ABC，
∠DCA=∠A+∠ABC，从而得出∠AFD=∠DCA；
（2）建立．由△ABC≌△DEF，可证明∠ABF=∠DEC．则△ABF≌△DEC，从而证出∠AFD=∠DCA；
（3）BO⊥AD．由△ABC≌△DEF，可证得点B在AD的垂直均分线上，从而证得点O在AD的垂直均分线上，则直线
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可编写可改正
BO是AD的垂直均分线，即BO⊥AD．解答：
解：
（1）∠AFD=∠DCA（或相等）．
（2）∠AFD=∠DCA（或建立），原因以下：
方法一：
由△ABC≌△DEF，得AB=DE，BC=EF（或BF=EC），∠ABC=∠DEF，∠BAC=∠EDF．∴∠ABC-∠FBC=∠DEF-∠
CBF，
∴∠ABF=∠DEC．
在△ABF和△DEC中，AB=DE∠ABF=∠DECBF=EC
∴△ABF≌△DEC，∠BAF=∠EDC．
∴∠BAC-∠BAF=∠EDF-∠EDC，∠FAC=∠CDF．
∵∠AOD=∠FAC+∠AFD=∠CDF+∠DCA，
∴∠AFD=∠DCA．
方法二：
连结AD．同方法一△ABF≌△DEC，
∴AF=DC．
由△ABC≌△DEF，得FD=CA．
在△AFD≌△DCA，AF=DCFD=CAAD=DA
∴△AFD≌△DCA，∠AFD=∠DCA．
（3）如图，BO⊥AD．
方法一：
由△ABC≌△DEF，点B与点E重合，
得∠BAC=∠BDF，BA=BD．
∴点B在AD的垂直均分线上，
且∠BAD=∠BDA．
∵∠OAD=∠BAD-∠BAC，∠ODA=∠BDA-∠BDF，
∴∠OAD=∠ODA．
∴OA=OD，点O在AD的垂直均分线上．∴直线BO是AD的垂直均分线，BO⊥AD．
方法二：
延伸BO交AD于点G，同方法一，OA=OD．
在△ABO和△DBO中，AB=DBBO=BOOA=OD
∴△ABO≌△DBO，∠ABO=∠DBO．
在△ABG和△DBG中，AB=DB∠ABG=∠DBGBG=BG
∴△ABG≌△DBG，∠AGB=∠DGB=90°．
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可编写可改正
∴BO⊥AD．评论：
本题考察了三角形全等的判断和性质以及旋转的性质，是基础知识要娴熟掌握．
例1正方形ABCD中，E为BC上的一点，F为CD上的一点，BE+DF=EF，求∠EAF的度数.
AD
F
B
E
C
考点：
旋转的性质；全等三角形的判断与性质；正方形的性质．剖析：
延伸
EB使得BG=DF，易证△ABG≌△ADF（SAS）可得AF=AG，进
而求证△AEG≌△AEF可得∠EAG=∠EAF，再求出∠EAG+∠EAF=90°即可解题．解答：
解：
延伸
EB使得BG=DF，
在△ABG和△ADF中，
由AB=AD∠ABG=∠ADF=90°BG=DF，
可得△ABG≌△ADF（SAS），
∴∠DAF=∠BAG，AF=AG，
又∵EF=DF+BE=EB+BG=EG，AE=AE，
∴△AEG≌△AEF（SSS），
∴∠EAG=∠EAF，
∵∠DAF+∠EAF+∠BAE=90°
∴∠EAG+∠EAF=90°，
∴∠EAF=45°．
答：
∠EAF的角度为45°．评论：
本题考察了正方形各内角均为直角，考察了全等三角形的判断，考察了全等三角形对应边、对应角
相等的性质，本题中求证∠EAG=∠EAF是解题的重点．
B
例2D为等腰RtABC斜边AB的中点，DM⊥DN,DM,DN分别交BC,CA于点E,F。
（1）当MDN绕点D转动时，求证DE=DF。
（2）若AB=2，求四边形DECF的面积。
A
E
MCA
F
N
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可编写可改正
考点：
旋转的性质；全等三角形的判
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