高考真题和模拟题分项汇编数学理专题09 不等式推理与证明解析版Word格式文档下载.docx

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0B．3a<

3b

C．a3−b3>

0D．│a│>

│b│

【答案】C

【解析】取，满足，，知A错，排除A；

因为，知B错，排除B；

取，满足，，知D错，排除D，因为幂函数是增函数，，所以，故选C．

【名师点睛】本题主要考查对数函数性质、指数函数性质、幂函数性质及绝对值意义，渗透了逻辑推理和运算能力素养，利用特殊值排除即可判断．

3．【2019年高考北京卷理数】若x，y满足，且y≥−1，则3x+y的最大值为

A．−7B．1

C．5D．7

【解析】由题意作出可行域如图阴影部分所示.

设,

当直线经过点时,取最大值5.故选C．

【名师点睛】本题是简单线性规划问题的基本题型,根据“画､移､解”等步骤可得解.题目难度不大,注重了基础知识､基本技能的考查.

4．【2019年高考北京卷理数】在天文学中，天体的明暗程度可以用星等或亮度来描述．两颗星的星等与亮度满足m2−m1=lg，其中星等为mk的星的亮度为Ek（k=1，2）．已知太阳的星等是−26.7，天狼星的星等是−1.45，则太阳与天狼星的亮度的比值为

A．1010.1B．10.1

C．lg10.1D．10–10.1

【答案】A

【解析】两颗星的星等与亮度满足,令,

.

故选：

A．

【名师点睛】本题以天文学问题为背景,考查考生的数学应用意识､信息处理能力､阅读理解能力以及指数对数运算.

5．【2019年高考天津卷理数】设变量满足约束条件，则目标函数的最大值为

A．2B．3

C．5D．6

【解析】已知不等式组表示的平面区域如图中的阴影部分.

目标函数的几何意义是直线在轴上的截距，

故目标函数在点处取得最大值.

由，得，

所以.

故选C.

【名师点睛】线性规划问题，首先明确可行域对应的是封闭区域还是开放区域，分界线是实线还是虚线，其次确定目标函数的几何意义，是求直线的截距、两点间距离的平方、直线的斜率、还是点到直线的距离等等，最后结合图形确定目标函数最值或范围．即：

一画，二移，三求．

6．【2019年高考天津卷理数】设，则“”是“”的

A．充分而不必要条件

B．必要而不充分条件

C．充要条件

D．既不充分也不必要条件

【答案】B

【解析】化简不等式，可知推不出，

由能推出，

故“”是“”的必要不充分条件，

故选B.

【名师点睛】本题考查充分必要条件，解题关键是化简不等式，由集合的关系来判断条件.

7．【2019年高考浙江卷】若实数满足约束条件，则的最大值是

A．B．1

C．10D．12

【解析】画出满足约束条件的可行域如图中阴影部分所示。

因为，所以.

平移直线可知，当该直线经过点A时，z取得最大值.

联立两直线方程可得，解得.

即点A坐标为，

所以.故选C.

【名师点睛】解答此类问题，要求作图要准确，观察要仔细.往往由于由于作图欠准确而影响答案的准确程度，也有可能在解方程组的过程中出错.

8．【2019年高考浙江卷】若，则“”是“”的

A．充分不必要条件B．必要不充分条件

C．充分必要条件D．既不充分也不必要条件

【解析】当时，当且仅当时取等号，则当时，有，解得，充分性成立；

当时，满足，但此时，必要性不成立，综上所述，“”是“”的充分不必要条件.

【名师点睛】易出现的错误有，一是基本不等式掌握不熟，导致判断失误；

二是不能灵活的应用“赋值法”，通过特取的值，从假设情况下推出合理结果或矛盾结果.

9．【2019年高考全国II卷理数】中国有悠久的金石文化，印信是金石文化的代表之一．印信的形状多为长方体、正方体或圆柱体，但南北朝时期的官员独孤信的印信形状是“半正多面体”（图1）．半正多面体是由两种或两种以上的正多边形围成的多面体．半正多面体体现了数学的对称美．图2是一个棱数为48的半正多面体，它的所有顶点都在同一个正方体的表面上，且此正方体的棱长为1．则该半正多面体共有________个面，其棱长为_________．（本题第一空2分，第二空3分．）

【答案】26，

【解析】由图可知第一层与第三层各有9个面，计18个面，第二层共有8个面，所以该半正多面体共有个面．

如图，设该半正多面体的棱长为，则，延长与交于点，延长交正方体棱于，由半正多面体对称性可知，为等腰直角三角形，

，

即该半正多面体棱长为．

【名师点睛】本题立意新颖，空间想象能力要求高，物体位置还原是关键，遇到新题别慌乱，题目其实很简单，稳中求胜是关键．立体几何平面化，无论多难都不怕，强大空间想象能力，快速还原图形．

10．【2019年高考北京卷理数】李明自主创业，在网上经营一家水果店，销售的水果中有草莓、京白梨、西瓜、桃，价格依次为60元/盒、65元/盒、80元/盒、90元/盒．为增加销量，李明对这四种水果进行促销：

一次购买水果的总价达到120元，顾客就少付x元．每笔订单顾客网上支付成功后，李明会得到支付款的80%．

①当x=10时，顾客一次购买草莓和西瓜各1盒，需要支付__________元；

②在促销活动中，为保证李明每笔订单得到的金额均不低于促销前总价的七折，则x的最大值为__________．

【答案】①130；

②15.

【解析】

（1）,顾客一次购买草莓和西瓜各一盒,需要支付元.

（2）设顾客一次购买水果的促销前总价为元,

元时,李明得到的金额为,符合要求.

元时,有恒成立,即,即元.

所以的最大值为.

【名师点睛】本题主要考查不等式的概念与性质､数学的应用意识､数学式子变形与运算求解能力,以实际生活为背景，创设问题情境，考查学生身边的数学，考查学生的数学建模素养.

11．【2019年高考天津卷理数】设，则的最小值为__________．

【答案】

【解析】方法一：

即，当且仅当时取等号成立.

又因为，当且仅当，即时取等号，结合可知，可以取到3，故的最小值为.

方法二：

当且仅当时等号成立，

故的最小值为.

【名师点睛】使用基本不等式求最值时一定要验证等号是否能够成立.

12．（四川省棠湖中学2019届高三高考适应性考试数学（理）试题）已知集合，，则

A．B．

C．D．

【解析】，，

故，故选C.

【名师点睛】本题考查集合的交集，属于基础题，解题时注意对数不等式的等价转化.

13．【广东省韶关市2019届高考模拟测试（4月）数学试题】若，满足约束条件，则的最大值为

【解析】变量，满足约束条件的可行域如图中阴影部分所示：

目标函数是斜率等于1、纵截距为的直线，

当直线经过可行域的点时，纵截距取得最小值，

则此时目标函数取得最大值，

由可得，

目标函数的最大值为：

5

C．

【名师点睛】本题考查线性规划的简单应用，考查计算能力以及数形结合思想的应用．

14．【山东省实验中学等四校2019届高三联合考试理科数学试题】已知实数，满足约束条件，则目标函数的最小值为

【解析】作出不等式组对应的平面区域如图：

目标函数的几何意义为动点到定点的斜率，

当位于时，此时的斜率最小，此时．

故选B．

【名师点睛】本题主要考查线性规划的应用以及两点之间的斜率公式的计算，利用z的几何意义，通过数形结合是解决本题的关键．

15．【黑龙江省大庆市第一中学2019届高三下学期第四次模拟（最后一卷）考试数学试题】设不等式组，表示的平面区域为，在区域内任取一点，则点的坐标满足不等式的概率为

【解析】画出所表示的区域如图中阴影部分所示，易知，

所以的面积为，

满足不等式的点，在区域内是一个以原点为圆心，为半径的圆面，其面积为，

由几何概型的公式可得其概率为，

故选A.

【名师点睛】本题考查由约束条件画可行域，求几何概型，属于简单题.

16．【山西省2019届高三高考考前适应性训练（三）数学试题】设，则

A．B．

C．D．

【解析】，

即，故.

又，所以.

故，所以选A.

【名师点睛】本题考查利用作差法、作商法比较大小，考查对数的化简与计算，考查分析计算，化简求值的能力，属中档题.

17．【陕西省2019年高三第三次教学质量检测数学试题】若正数满足，则的最小值为

C．D．3

【解析】由题意，因为，

则，

当且仅当，即时等号成立，

所以的最小值为，故选A.

【名师点睛】本题主要考查了利用基本不等式求最小值问题，其中解答中合理构造，利用基本不等式准确运算是解答的关键，着重考查了推理与运算能力，属于基础题.

18．【浙江省三校2019年5月份第二次联考数学卷】已知，则取到最小值时，

【解析】由，可得，且.

当且时等号成立，解得.

所以取到最小值时.故选D.

【名师点睛】本题考查基本不等式取得最值的条件，多次用不等式求最值时要注意不等式取等的条件要同时满足.

19．【北京市东城区2019届高三第二学期综合练习

（一）数学试题】某校开展“我身边的榜样”评选活动，现对3名候选人甲、乙、丙进行不记名投票，投票要求详见选票.这3名候选人的得票数（不考虑是否有效）分别为总票数的,,，则本次投票的有效率（有效票数与总票数的比值）最高可能为

C．96%D．98%

【解析】设投1票的有x,2票的y,3票的z，则,则,即,

由题投票有效率越高z越小，则x=0时，z=4,故本次投票的有效率（有效票数与总票数的比值）最高可能为96%.故选：

C.

【名师点睛】本题考查推理的应用，考查推理与转化能力，明确有效率与无效票之间的关系是解题关键,是中档题.

20．【西南名校联盟重庆市第八中学2019届高三5月高考适应性月考卷数学试题】甲、乙、丙、丁四个人参加某项竞赛，四人在成绩公布前做出如下预测：

甲说：

获奖者在乙丙丁三人中；

乙说：

我不会获奖，丙获奖；

丙说：

甲和丁中的一人获奖；

丁说：

乙猜测的是对的.

成绩公布后表明，四人中有两人的预测与结果相符，另外两人的预测与结果不相符.已知俩人获奖，则获奖的是

A．甲和丁B．甲和丙

C．乙和丙D．乙和丁

【解析】乙、丁的预测要么同时与结果相符，要么同时与结果不符，若乙、丁的预测成立，则甲、丙的预测不成立，可知矛盾，故乙、丁的预测不成立，从而获奖的是乙和丁，故选D.

【名师点睛】本题考查了逻辑推理能力，假设法是解决此类问题