1982年(高考数学试题文理科)Word文件下载.doc
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1.第15项T15=
2.
三．（本题满分9分）
Y
1X
O
Y
1
OX
在平面直角坐标系内，下列方程表示什么曲线？
画出它们的图形。
1．
2．
1.得2x-3y-6=0图形是直线。
2.化为图形是椭圆。
四．（本题满分12分）
已知圆锥体的底面半径为R，高为H。
求内接于这个圆锥体并且体积最大的圆柱体的高h（如图）。
A
DcH
h
BE
2R
设圆柱体半径为r高为h。
由△ACD∽△AOB得
由此得
圆柱体体积
由题意，H＞h＞0，利用均值不等式，有
（注：
原“解一”对h求导由驻点解得。
）
五．（本题满分15分）
（要写出比较过程）。
解一：
当>
1时，
解二：
六．（本题满分16分）
A
MP（ρ，θ）
X
O
NB
如图：
已知锐角∠AOB=2α内有动点P，PM⊥OA，PN⊥OB，且四边形PMON的面积等于常数c2。
今以O为极点，∠AOB的角平分线OX为极轴，求动点P的轨迹的极坐标方程，并说明它表示什么曲线。
设P的极点坐标为（ρ，θ）∴∠POM=α-θ，∠NOM=α+θ，
OM=ρcos（α-θ）,PM=ρsin（α-θ）,
ON=ρcos（α+θ）,PN=ρsin（α+θ）,
四边形PMON的面积
这个方程表示双曲线。
由题意，
动点P的轨迹是双曲线右面一支在∠AOB内的一部分。
七．（本题满分16分）
已知空间四边形ABCD中AB=BC，CD=DA，M，N，P，Q分别是边AB，BC，CD，DA的中点（如图）求证MNPQ是一个矩形。
B
M
R
AN
QD
KS
P
C
证：
连结AC，在△ABC中，
∵AM=MB，CN=NB，∴MN∥AC。
在△ADC中，∵AQ=QD，CP=PD，
∴QP∥AC。
∴MN∥QP。
同理，连结BD可证MQ∥NP。
∴MNPQ是平行四边形。
取AC的中点K，连BK，DK。
∵AB=BC，∴BK⊥AC，
∵AD=DC，∴DK⊥AC。
因此平面BKD与AC垂直。
∵BD在平面BKD内，∴BD⊥AC。
∵MQ∥BD，QP∥AC，∴MQ⊥QP，即∠MQP为直角。
故MNPQ是矩形。
八．（本题满分18分）
Y
x2=2qy
y2=2px
A1
OA2A3X
抛物线y2=2px的内接三角形有两边与抛物线x2=2qy相切，证明这个三角形的第三边也与x2=2qy相切。
不失一般性，设p>
0,q>
0.又设y2=2px的内接三角形顶点为
A1（x1,y1）,A2（x2,y2）,A3（x3,y3）
因此y12=2px1，y22=2px2，y32=2px3。
其中y1≠y2,y2≠y3,y3≠y1.
依题意，设A1A2，A2A3与抛物线x2=2qy相切，要证A3A1也与抛物线x2=2qy相切。
因为x2=2qy在原点O处的切线是y2=2px的对称轴，所以原点O不能是所设内接三角形的顶点。
即（x1,y1）,（x2,y2）,（x3,y3），都不能是（0，0）;
又因A1A2与x2=2qy相切，所以A1A2不能与Y轴平行，即x1≠x2,y1≠-y2,直线A1A2的方程是
同理由于A2A3与抛物线x2=2qy相切，A2A3也不能与Y轴平行，即
x2≠x3,y2≠-y3,同样得到
由
（1）
（2）两方程及y2≠0,y1≠y3,得y1+y2+y3=0.
由上式及y2≠0,得y3≠-y1，也就是A3A1也不能与Y轴平行。
今将y2=-y1-y3代入
（1）式得：
（3）式说明A3A1与抛物线x2=2qy的两个交点重合，即A3A1与抛物线x2=2qy相切。
所以只要A1A2，A2A3与抛物线x2=2qy相切，则A3A1也与抛物线x2=2qy相切。
九．（附加题，本题满分20分，计入总分）
已知数列和数列其中
1．用p,q,r,n表示bn，并用数学归纳法加以证明;
2．求
1.∵1=p,n=pn-1,∴n=pn.
又b1=q,
b2=q1+rb1=q（p+r）,
b3=q2+rb2=q（p2+pq+r2）,…
设想
用数学归纳法证明：
当n=2时，等式成立;
设当n=k时，等式成立，即
则bk+1=qk+rbk=
即n=k+1时等式也成立。
所以对于一切自然数n≥2，都成立。
一九八二年（文科）
一．（本题满分8分）
二．（本题满分7分）
求（-1+i）20展开式中第15项的数值;
第15项T15=
三．（本题满分7分）
方程
曲线名称
图形
1.
4x2+y2=4
椭圆
y
ox
x-3=0
直线
y
见上图。
四．（本题满分10分）
已知求的值。
三角换元法解亦可。
五．（本题满分10分）
以墙为一边，用篱笆围成长方形的场地，并用平行于一边的篱笆隔开（如图）。
已知篱笆的总长为定值L，这块场地的长和宽各为多少时场地的面积最大？
最大面积是多少？
设长方形场地的宽为x，则长为L-3x，它的面积
当宽时，这块长方形场地的面积最大，这时的长为最大面积为
答：
略。
六．（本题满分12分）
已知正方体ABCD-A1B1C1D1的棱长为，
1．用平面A1BC1截去一角后，求剩余部分的体积;
2．求A1B和B1C所成的角。
D1C1
A1B1
DC
AB
D1C1
A1B1
D
C
AB
1.∵BB1⊥平面A1B1C1D1，∴△A1B1C1是棱锥B-A1B1C1的底，BB1是棱锥的高，△A1B1C1的面积=，
截下部分体积=
剩余部分体积=
2.连结D1C和D1B1，∵，∴四边形A1BCD1是平行四边形，∴A1B∥D1C，∴∠B1CD1即A1B与B1C所成的角，
∵正方体各面上对角线的长度相等，即D1B1=B1C=D1C，
∴△D1CB1是等边三角形。
∴∠D1CB1=600，
∴A1B与B1C成600的角。
七．（本题满分12分）
已知定点A，B且AB=2，如果动点P到点A的距离和到点B的距离之比为2∶1，求点P的轨迹方程，并说明它表示什么曲线。
选取AB所在直线为横轴，从A到B为正方向，以AB中点O为原点，过O作AB的垂线为纵轴，则A为（-，0），
B为（，0），设P为（x,y）。
因为x2,y2两项的系数相等，且缺xy项，所以轨迹的图形是圆。
八．（本题满分16分）
求的值。
九．（本题满分18分）
O
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