届高三第一次模拟考试理科数学试题Word文件下载.docx
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已知：
满足：
①当时，恒成立；
②都有.
①都有；
②当时，.
若关于的不等式对恒成立，则的取值范围是（）
第Ⅱ卷
本卷包括必考题和选考题两部分。
第13-21题为必考题，每个试题考生都必须作答。
第22～23题为选考题，考生根据要求作答。
二、填空题：
本题共4小题，每小题5分。
13、的展开式中各项系数的和为2，则该展开式中常数项为.
14、已知椭圆的左右焦点是，设是椭圆上一点，在上的投影的大小恰好为，且它们的夹角为，则椭圆的离心率为.
15、若平面区域夹在两条平行直线之间，则当这两条平行直线间的距离最短时，它们的斜率是.
16、在中，且，边上的中线长为，则的面积是.
三、解答题：
解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。
17、（本小题满分12分）
已知数列的前项和为，，且，.
（1）求证：
数列为等差数列，并求数列的通项公式；
（2）设，求数列的前项和.
18、（本小题满分12分）
如图4，多面体中，平面为正方形，，，，二面角的余弦值为，且.
（1）证明：
（2）求平面与平面所成锐二面角的余弦值.
19、（本小题满分12分）
某厂生产不同规格的一种产品，根据检测标准，其合格产品的质量与尺寸之间近似满足关系式（为大于0的常数）.按照某项指标测定，当产品质量与尺寸的比在区间内时为优等品.现随机抽取6件合格产品，测得数据如下：
尺寸
38
48
58
68
78
88
质量
16.8
18.8
20.7
22.4
24
25.5
质量与尺寸的比
0.442
0.392
0.357
0.329
0.308
0.290
（3）现从抽取的6件合格产品中再任选3件，记为取到优等品的件数，试求随机变量的分布列和期望；
（4）根据测得数据作了初步处理，得相关统计量的值如下表：
75.3
24.6
18.3
101.4
（i）根据所给统计量，求关于的回归方程；
（ii）已知优等品的收益（单位：
千元）与的关系为，则当优等品的尺寸为何值时，收益的预报值最大？
附：
对于样本，其回归直线的斜率和截距的最小二乘估计公式分别为：
，，.
20、（本小题满分12分）
已知抛物线的焦点为，直线交于两点.
（5）若直线过焦点，过点作轴的垂线，交直线于点，求证：
点的轨迹为的准线；
（6）若直线的斜率为1，是否存在抛物线，使得的斜率之积，且的面积为16，若存在，求的方程；
若不存在，说明理由.
21、（本小题满分12分）
已知函数，其中.
（7）设是的导函数，讨论的单调性；
（8）证明：
存在，使得恒成立，且在区间内有唯一解.
请考生在第22，23题中任选一题作答。
作答时一定要用2B铅笔在答题卡上把所选题目对应的题号涂黑（都没涂黑的视为选做第22题）。
22、（本小题满分10分）
选修：
坐标系与参数方程
在平面直角坐标系中，曲线的参数方程为.以坐标原点为极点，轴的正半轴为极轴建立极坐标系，曲线的极坐标方程为.
（9）求曲线的极坐标方程；
（10）射线与曲线，分别交于，两点（异于原点），定点，求的面积.
23、（本小题满分10分）
不等式选讲
已知函数
（11）若，求不等式的解集；
（12）关于的不等式有解，求实数的取值范围.
参考答案及评分标准
题号
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
答案
A
B
D
B
D
C
第13~21题为必考题，每个试题考生都必须作答。
第22~23题为选考题，考生根据要求作答。
13
14
15
16
或
说明：
15题只答一个数不给分（即得0分）
17．（本小题满分12分）
（1）法一：
∵，
∴-----------------2分
又
∴数列是首项为2，公差为1的等差数列------------------------3分
∴，即：
---------------4分
当时，，
当时，
∴，------------------6分
法二：
，
即①
故②
②-①得：
化简得：
-----------------2分
又由①可知，即
是首项为2，公差为2的等差数列，-----------------3分
-----------------4分
，-----------------5分
是首项为2，公差为1的等差数列.-----------------6分
（2）法一：
解：
由（Ⅰ）得：
设数列的前项和分别为，则-----------7分
记，数列的前项和为
当时，，则
当时，
∴---------------------11分
∴----------------------12分
由
（1）知
设，①
则②
（13）-②得------------8分
-----------------10分
又，-----------------11分
，-----------------12分
法三：
由
（1）知：
-----------------8分
又，-----------------11分
-----------------12分
18．（本小题满分12分）
（1）证明：
∵，，，由勾股定理得：
--------1分
又正方形中，……2分
且，∴面----3分
∵面，∴平面平面----4分
（注：
第
（1）只有一种证明方法，必须前面两个线线垂直和都出现，下面的3、4分才能给分，只写一个，本题只给1分。
上面一个垂直各占1分。
）
（2）解：
由（Ⅰ）知是二面角的平面角……5分
作于，则，
由平面平面，平面平面，面得：
面------6分（第6分给在OE=2上，如果后面E的坐标写对，也可给这1分）
如图，建立空间直角坐标系，
则、、、∴
的一个方向向量---7分
设面的一个法向量，
则，……8分
取，得：
-----9分
其他法向量坐标可按比例正确给，比如之类，也是正确的）
又面一个法向量为：
---10分
∴----11分
设面与面所成二面角为，由为锐角得：
----12分
最后需要根据条件作答案为“正值”的说明，只算法向量答案，不做文字说明，扣1分。
（第
（2）问解法2）
∵∴（）……7分
则……8分
令，得，……9分（后面步骤相同）
（第
（2）问解法3）
以D点建系的解法，求出来的法向量与以上建系的坐标一样。
（第
（2）问解法4：
几何法）
连结BD，
延长CB至G，使得GB=BC=2，连结GA并延长交CD的延长线于H，连结EH
过C作的延长线于点K，连结BK……5分
∵B为CG中点，AB//CD∴A为GH中点，∴HD=CD=4
∴BD//GH∴GH//EF，∴H、A、G、E、F共面……6分
由
（1）知∴又∵∴
∴为所求二面角的一个平面角……8分
∵而
∴……9分∴……10分
∴……11分
∵为锐角∴面与面
所成二面角的锐角余弦值为……12分
19．（本小题满分12分）
（1）解：
由已知，优等品的质量与尺寸的比在区间内，即
则随机抽取的6件合格产品中，有3件为优等品，3件为非优等品-----------1分
现从抽取的6件合格产品中再任选3件，则取到优等品的件数--------2分
，，（算对两个给1分）
，----------------------------3分
的分布列为
----------------------------4分
----------------------------5分
对（）两边取自然对数得，
令，得，且，----------------------------6分
（ⅰ）根据所给统计量及最小二乘估计公式有，
----------------------------7分
，得，故----------------------8分
所求y关于x的回归方程为----------------------------9分
（ⅱ）由（ⅰ）可知，，则
由优等品质量与尺寸的比，即----10分
令，
当时，取最大值----------------------------12分
即优等品的尺寸（mm），收益的预报值最大.
20．
（1）证明：
依题意得，直线的斜率存在，过焦点，故设其方程为：
设点,，
由得：
，则---------------------------2分
直线，直线----------------------------3分
，-------------------------
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