高考数学理热点重点难点专练2三角函数与解三角形解析版Word文档下载推荐.docx

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解三角形类型的大题中，重点是角边转化，但是要注意两边必须同时转化，对于对应的面积的最大值问题以及周长的最值问题一般转化成基本不等式去求，但是在用基本不等式的时候应注意不等式等号成立的条件.

【常见题型限时检测】

（建议用时：

35分钟）

1．（2019·

吉林高考模拟（理））已知函数的最小正周期为，且对，恒成立，若函数在上单调递减，则的最大值是（）

A．B．C．D．

【答案】B

【解析】

【分析】先由最小正周期，求出，再由对，恒成立，得到，进而可得，求出其单调递减区间，即可得出结果.

【详解】

因为函数的最小正周期为，所以，

又对任意的，都使得，

所以函数在上取得最小值，则，，

即，

所以，

令，解得，

则函数在上单调递减，故的最大值是.

故选B

【名师点睛】

本题考查三角函数的图象及其性质，考查运算求解能力.

2．（2020·

云南高三月考（理））的三个内角，，所对的边分别为，，，若，，，则的面积等于（）

【答案】A

【分析】

先通过已知求出，进而根据求出，再利用正弦定理求出，则利用面积公式可求出的面积．

解：

，

又，为锐角，

由正弦定理得，

故选：

A．

本题考查正弦定理解三角形，以及求三角形的面积，关键是对公式的灵活应用，缺什么，求什么即可，是基础题．

3．（2019·

山东高考模拟（理））函数的图象可由的图象如何变换得到（）

A．向左平移个单位B．向右平移个单位

C．向左平移个单位D．向右平移个单位

由题意化简得，然后再把函数的图象经过平移后可得到所求答案．

由题意得

所以将函数的图象向右平移个单位可得到函数，即函数的图象．

故选B．

在进行三角函数图象的变换时要注意以下几点：

①变换的方向，即由谁变换到谁；

②变换

前后三角函数名是否相同；

③变换量的大小．特别注意在横方向上的变换只是对变量而言的，当的系数不是1时要转化为系数为1的情况求解．

4．（2019·

辽宁高考模拟（理））已知，则（）

【答案】C

根据二倍角公式求得，再利用诱导公式求得结果.

本题正确选项：

本题考查二倍角公式、诱导公式的应用，关键是能够利用诱导公式将所求角与已知角联系起来.

5．（2019·

辽宁高三月考（理））已知的面积为,则

（）

利用二倍角公式及平方关系求得，由面积公式求出，再由余弦定理

求解即可

因为,的面积为,又,所以,由余弦定理,得,,

C

本题考查正余弦定理，考查面积公式，意在考查计算能力，是基础题.

二、填空题

6．（2019·

江西新余一中高考模拟（理））已知平面四边形中，，，，，的面积为，______.

【答案】

由题意，根据余弦定理先求解出AB的长度；

设则∠DBA＝，利用余弦定理建立方程组即可求解BD的长度．

设（）,BD=x,则AD=2x，

在△ABC中，由余弦定理可得：

AC2＝BC2+AB2﹣2BC•AB•cos∠ABC=4，又，∴AB=6,BC=4，又=,∴；

在△ABD中，由余弦定理可得：

AD2＝BD2+AB2﹣2BD•AB•cos（，

计算得到即，由+=1，即+=1，解得-16+48=0，解得=12或4，又，>

-,所以=12，x=,

故答案为.

本题考查了正余弦定理的应用和计算能力．属于中档题．

7．（2019·

安徽高考模拟（理））在锐角中，，，则中线AD长的取值范围是_______;

本道题运用向量方法，计算AD的长度，同时结合锐角三角形这一条件，计算bc的范围，即可.

设，，对运用正弦定理，得到

，解得，结合该三角形为锐角三角形，得到不等式组

，解得，故，结合二次函数性质，得到，运用向量得到，

所以

，结合bc的范围，代入，得到的范围为

本道题考查了向量的加法运算，考查了锐角三角形判定定理，考查了二次函数的性质，关键将模长联系向量方法计算，难度偏难.

8．（2019·

浙江高考模拟）在锐角中，内角所对的边分别是，，，则__________．的取值范围是__________．

【答案】

由正弦定理可得的值.由正弦定理可以把表示为角的函数，由锐角三角形得出角的取值范围，进而可得的取值范围.

由正弦定理，可得，则.

由，可得，，

所以.

由是锐角三角形，可得，，则，

所以，.

所以.

本题考查正弦定理，综合运用三角恒等变换知识是解题关键.

三、解答题

9．（2019·

天津高考模拟（理））在中，对应的边为.已知.

（Ⅰ）求；

（Ⅱ）若，求和的值.

（Ⅰ）（Ⅱ）

（Ⅰ）先根据正弦定理化边为角，再根据两角和正弦公式化简得结果，（Ⅱ）根据余弦定理求，代入条件求得，解得，最后根据两角和余弦定理得结果.

（Ⅰ）解：

由条件，得，又由，得.

由，得，故.

（Ⅱ）解：

在中，由余弦定理及，

有，故.

由得，因为，故.

因此，.

解三角形问题，多为边和角的求值问题，这就需要根据正、余弦定理结合已知条件灵活转化边和角之间的关系，从而达到解决问题的目的.

10．（2019·

广东高考模拟（理））在中，角所对的边分别为，

；

（1）证明：

为等腰三角形；

（2）若为边上的点，，且，，求的值．

（1）证明见解析；

（2）．

（1）根据已有等式，利用正弦定理作角化边，可得，最后再由余弦定理把所有角都化为边的等式得；

最后，根据等式可化简出，故可证为等腰三角形.

（2）由，，可得，然后，就可以根据角的相等关系，根据余弦定理或相似关系列出等式进行求解即可.

（1），由正弦定理得：

由余弦定理得：

化简得：

所以即，

故为等腰三角形．

（2）如图，

由已知得，，

，

又，

得，由

（1）可知，得．

解法二：

取的中点，连接．由

（1）知，

由已知得，

．

解法三：

由已知可得，由

（1）知，，

即，即，

本题考查解三角形的问题，

（1）题的关键就是利用正弦定理和余弦定理作角化边的转化，

（2）题的难点在于根据已有关系化简出相应的等式关系求解，难度属于一般题.

11．（2019·

江西高三月考（理））已知向量，函数．

（1）求函数的最小正周期及单调递增区间；

（2）在中，三内角的对边分别为，已知函数的图像经过点，成等差数列，且，求a的值．

（1），

（2）

（1）利用向量的数量积和二倍角公式化简得，故可求其周期与单调性；

（2）根据图像过得到，故可求得的大小，再根据数量积得到的乘积，最后结合余弦定理和构建关于的方程即可．

（1），

最小正周期：

由得，

所以的单调递增区间为；

（2）由可得：

所以．

又因为成等差数列，所以

而，

12．（2017·

四川高考模拟（理））若函数f（x）=Asin（ϖx+φ）（A＞0，的部分图象如图所示．

（I）设x∈（0，）且f（α）=，求sin2a的值；

（II）若x∈[]且g（x）=2λf（x）+cos（4x﹣）的最大值为，求实数λ的值．

（1）

（2）

试题分析：

（Ⅰ）由函数的图象求出最值和周期，可得，进而求出值，可得函数的解析式，再利用和差公式进行求解；

（Ⅱ）分类讨论满足条件的实数的值，综合讨论结果，可得答案.

试题解析：

（Ⅰ）由图得，A=2．…

，解得T=π，

于是由T=，得ω=2．…

∵，即，

∴，即，k∈Z，又，故，

∴．…

由已知，即，

因为，所以，

∴．

∴=

=

=．…

（Ⅱ）由（Ⅰ）知，

=，…

∵x∈，于是0≤≤，

∴0≤≤1．…

①当λ＜0时，当且仅当=0时，g（x）取得最大值1，与已知不符．

②当0≤λ≤1时，当且仅当=λ时，g（x）取得最大值2λ2+1，

由已知得2λ2+1=，解得λ=．

③当λ＞1时，当且仅当=1时，g（x）取得最大值4λ﹣1，

由已知得4λ﹣1=，解得λ=，矛盾．

综上所述，λ=．…

：

由三角函数的图象求函数的解析式的一般思路：

先利用最高点和最低点的纵坐标列出关于的方程组求得值，利用相邻零点间的距离、相邻对称轴间的距离、零点和对称轴间的距离求出值，再代入最高点或最低点的坐标求出值.

13．（2019·

山东高三期中）△ABC中，角A、B、C对边分别是a、b、c，满足．

（Ⅰ）求角A的大小；

（Ⅱ）求的最大值，并求取得最大值时角B、C的大小．

（1）；

（2）.

（Ⅰ）由已知，·

由余弦定理得，∴，

∵，∴．

（Ⅱ）∵，∴，.

∵，∴，

∴当，取最大值，解得．

14．（2019·

安徽高考模拟（理））在中，分别为角的对边，且有

（Ⅰ）求角；

（Ⅱ）若的内切圆面积为，当的值最小时，求的面积．

（Ⅰ）；

（Ⅱ）

（Ⅰ）利用两角和差余弦公式可将已知等式化简为，从而求得；

结合可求得结果；

（Ⅱ）根据内切圆面积可知内切圆半径为，由内切圆特点及切线长相等的性质可得到，代入余弦定理中可得到与的关系，利用基本不等式可构造不等式求得，从而得到当时，取得最小值，将代入三角