北京市第一次普通高中学业水平合格性考试数学试题含答案.docx
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北京市第一次普通高中学业水平合格性考试数学试题含答案
2022年北京市第一次普通高中学业水平合格性考试
数学试卷
考
生
须
知
1．考生要认真填写考场号和座位序号。
2．本试卷共7页，分为两个部分，第一部分为选择题，27个小题（共81分）；第二部分为解答题，4个小题（共19分）
3．试题所有答案必须填涂或书写在答题卡上，在试卷上作答无效。
第一部分必须用2B铅笔作答；第二部分必须用黑色字迹的签字笔作答，作图时必须使用2B铅笔。
4．考试结束后，考生应将试卷、答题卡放在桌面上，待监考员收回。
参考公式：
锥体的体积公式，其中S为锥体的底面积，h为锥体的高．
第一部分（选择题共60分）
一、选择题共20小题，每小题3分，共60分。
在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项。
1．已知集合，则
A．B．C．D．
2．在复平面内，复数z对应的点的坐标是，则
A．B．C．D．
3．
A．B．C．D．
4．已知函数，则
A．是奇函数B．是偶函数
C．既是奇函数又是偶函数D．既不是奇函数也不是偶函数
5．
A．B．C．D．
6．函数的图象如图所示，则不等式的解集为
A．
B．
C．
D．
7．某天甲地降雨的概率为0.2，乙地降雨的概率为0.3．假定这一天甲、乙两地是否降雨相互之间没有影响，则两地都降雨的概率为
A．0.24B．0.14C．0.06D．0.01
8．下列函数中，在区间上单调递减的是
A．B．C．D．
9．如图，在直三棱柱中，是等腰直角三角形．若，则该直三棱柱的体积为
A．6B．12C．18D．24
10．已知向量，则
A．0B．1C．2D．3
11．“四边形为矩形”是“四边形为平行四边形”的
A．充分而不必要条件B．必要而不充分条件C．充分必要条件D．既不充分也不必要条件
12．函数的定义域为
A．B．C．D．
13．如图，已知四边形为矩形，则
A．B．C．D．
14．甲、乙两个学习小组各有5名同学，两组同学某次考试的语文、数学成绩如下图所示，其中“+”表示甲组同学，“*”表示乙组同学．
从这两个学习小组数学成绩高于80分的同学中任取一人，此人恰为甲组同学的概率是
A．0.25B．0.3C．0.5D．0.75
15．设m，n是两条不同的直线，是两个不同的平面，则下列命题中的真命题为
A．若，则B．若，则
C．若，则D．若，则
16．在中，，则
A．1B．2C．D．
17．已知a，b是实数，且，则
A．B．C．D．
18．已知，且，则的最小值为
A．1B．2C．3D．4
19．已知函数，，则
A．有最大值，有最小值B．有最大值，无最小值
C．无最大值，有最小值D．无最大值，无最小值
20．对于正整数n，记不超过n的正奇数的个数为，如，则
A．2022B．2020C．1011D．1010
第二部分（非选择题共40分）
二、填空题：
共4小题，每小题3分，共12分。
21．计算：
=___________．
22．某校举行演讲比赛，五位评委对甲、乙两位选手的评分如下：
甲 8.1 7.9 8.0 7.9 8.1
乙 7.9 8.0 8.1 8.5 7.5
记五位评委对甲、乙两位选手评分数据的方差分别为，则：
______（填“>”，“=”或“<”）．
23．对于温度的计量，世界上大部分国家使用摄氏温标（），少数国家使用华氏温标（），两种温标间有如下对应关系：
摄氏温标（）
…
0
10
20
30
40
50
…
华氏温标（）
…
32
50
68
86
104
122
…
根据表格中数值间呈现的规律，给出下列三个推断：
①对应；
②对应；
③存在某个温度，其摄氏温标的数值等于其华氏温标的数值．
其中所有正确推断的序号是_____________．
24．已知函数则________；方程的解为________．
三、解答题
25．已知函数（m是常数）的图象过点．
（1）求的解析式；
（2）求不等式的解集．
26．已知函数．
（1）写出的最小正周期；
（2）求在区间上的最大值．
27．阅读下面题目及其解答过程．
如图，已知正方体．
（Ⅰ）求证：
；
（Ⅱ）求证：
直线与平面不平行．
解：
（Ⅰ）如图，连接．
因为为正方体，
所以平面．
所以①___________．
因为四边形为正方形，
所以②__________．
因为，
所以③____________．
所以．
（Ⅱ）如图，设，连接．
假设平面．
因为平面，且平面平面④____________，
所以⑤__________．
又，
这样过点有两条直线都与平行，显然不可能．
所以直线与平面不平行．
以上题目的解答过程中，设置了①~⑤五个空格，如下的表格中为每个空格给出了两个选项，其中只有一个符合推理，请选出符合推理的选项，并填写在答题卡的指定位置（只需填写“A”或“B”）．
空格序号
选项
①
A． B．
②
A． B．
③
A．平面 B．平面
④
A． B．
⑤
A． B．与为相交直线
28．给定集合，为定义在D上的函数，当时，，且对任意，都有___________．
从条件①、条件②、条件③这三个条件中选择一个作为已知，补充在横线处，使存在且唯一确定．
条件①：
；
条件②：
；
条件③：
．
解答下列问题：
（1）写出和的值；
（2）写出在上的单调区间；
（3）设，写出的零点个数．
2022年北京市第一次普通高中学业水平合格性考试
数学试卷
考
生
须
知
1．考生要认真填写考场号和座位序号。
2．本试卷共7页，分为两个部分，第一部分为选择题，27个小题（共81分）；第二部分为解答题，4个小题（共19分）
3．试题所有答案必须填涂或书写在答题卡上，在试卷上作答无效。
第一部分必须用2B铅笔作答；第二部分必须用黑色字迹的签字笔作答，作图时必须使用2B铅笔。
4．考试结束后，考生应将试卷、答题卡放在桌面上，待监考员收回。
参考公式：
锥体的体积公式，其中S为锥体的底面积，h为锥体的高．
第一部分（选择题共60分）
一、选择题共20小题，每小题3分，共60分。
在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项。
题目
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
答案
D
D
B
B
A
C
C
B
D
B
题目
11
12
13
14
15
16
17
18
19
20
答案
A
A
C
C
B
D
A
B
C
C
第二部分（非选择题共40分）
二、填空题：
共4小题，每小题3分，共12分。
21．1
【解析】
【详解】
.
故答案为1
22．
【解析】
【分析】
计算出，由此确定正确答案.
【详解】
甲的得分平均值为，
.
乙的得分平均值为，
，
所以.
故答案为：
23．①②③
【解析】
【分析】
根据条件可得，然后逐项分析即得.
【详解】
设摄氏温标为x，对应的华氏温标为y,
根据表格数据可知
∴，即，
∴时，，时，，故①②正确；
由，可得，即摄氏温标对应的华氏温标为，故③正确.
故答案为：
①②③.
24． －2 1
【解析】
【分析】
根据分段函数的性质求解即可.
【详解】
2×（－1）＝－2；
x＜0时，f（x）＜0，故f（x）＝1＞0时，x≥0，则，解得x＝1.
故答案为：
－2；1.
25．
（1）；
（2）.
【解析】
【分析】
（1）把点代入解析式可得，即得；
（2）利用一元二次不等式的解法即得.
（1）
由题意，，
所以．
所以的解析式为．
（2）
不等式等价于．
解得．
所以不等式的解集为．
26．
（1）
（2）
【解析】
【分析】
（1）根据解析式写出最小正周期；
（2）根据正弦函数的单调性判断函数在区间上的单调性，从而求出最值.
（1）
的最小正周期为：
.
（2）
因为，所以．
当，即时，取得最大值．
27．（Ⅰ）①A ②B ③B；（Ⅱ）④A ⑤A
【解析】
【分析】
结合线面垂直、线面平行的知识对“解答过程”进行分析，从而确定正确答案.
【详解】
要证明，可通过证明平面来证得，
要证明平面，可通过证明来证得，
所以①填A，②填B，③填B.
平面与平面的交线为，所以④填A，
由于平面，因为平面，且平面平面，
根据线面平行的性质定理可知，，所以⑤填A.
28．答案详见解析
【解析】
【分析】
判断条件③不合题意.选择条件①②、则先求得当时，的表达式，然后结合函数的解析式、单调性、零点，对
（1）
（2）（3）进行分析，从而确定正确答案.
【详解】
依题意的定义域为，
当时，.
对于条件③，对任意，都有，
以替换，则，这与矛盾，所以条件③不合题意.
若选条件①，当时，，.
（1）.
（2）对于函数，
任取，
，
其中，当时，，，
所以在上递减.
当时，，，
所以在上递增.
所以在区间，.
同理可证得：
在上递增，在上递减，.
当时，，
由上述分析可知，在上递增，在上递减.且.
（3），
由
（2）的分析可画出的大致图象如下图所示，
所以，当或或时，的零点个数是0；
当或时，的零点个数是1；
当或时，的零点个数是2．
若选条件②，当时，，
由得，
（1）.
（2）对于函数，
根据上述分析可知：
在上递减，在上递增，
且在区间，.
对于，任取，
.
其中.当时，，
递增；当时，，递减.
所以的增区间为，减区间为.且.
（3），
结合上述分析画出的大致图象如下图所示，
所以当时，的零点个数是0；当时，的零点个数是2．
【点睛】
利用函数的单调性的定义求函数的单调性，主要是计算出的符号.求解函数零点问题，可利用分离参数法，结合函数图象来进行求解.
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