2.4内积空间的标准正交基PPT推荐.ppt

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标准正交集。

标准正交集的性质：

（1）任何标准正交集都是线性无关的。

）任何标准正交集都是线性无关的。

（2）若（）若（e1,e2,en）是标准正交序）是标准正交序列，则每一个列，则每一个xSpane1,e2,en都都可以唯一的表示为可以唯一的表示为（3）对于任何线性无关的序列（对于任何线性无关的序列（xi），可以），可以应用格拉姆应用格拉姆-施密特标准正交化方法得到施密特标准正交化方法得到一个标准正交序列（一个标准正交序列（ei），使得对每一个），使得对每一个n属于属于N都有都有Spane1,e2,en=Spanx1,x2,xn2.4.2内积空间的标准正交系内积空间的标准正交系定义定义2.4.3（傅里叶级数）（傅里叶级数）设（设（en）是内积空间）是内积空间X中的一个标准正中的一个标准正交系，任给交系，任给xX，则称级数，则称级数为矢量为矢量x关于正交系（关于正交系（en）的傅里叶级数，）的傅里叶级数，称为称为x关于关于en的傅里叶系数。

的傅里叶系数。

定理定理2.4.4设设en是是X中的标准正交集，中的标准正交集，M是由是由en中中m个矢量张成的线性子空间，个矢量张成的线性子空间，即即M=Spane1,e2,em，对任意的，对任意的xX，级数，级数是是x在在M上的正交投影。

上的正交投影。

而且有：

定理定理2.4.5若（若（en）是内积空间）是内积空间X（无穷维（无穷维的）的标准正交系，的）的标准正交系，xX，则有下列贝，则有下列贝塞尔不等式成立：

塞尔不等式成立：

定理定理2.4.6若（若（en）是内积空间）是内积空间X的标准的标准正交系，正交系，M=Spane1,e2,en，xX，对任意的，对任意的m维数组（维数组（1,2,n）有）有2.4.3内积空间的标准正交基内积空间的标准正交基定义定义2.4.7（内积空间的完全标准正交系或（内积空间的完全标准正交系或标准正交基）标准正交基）在内积空间在内积空间X中的标准正交系（中的标准正交系（en）被称作是完全的，是指被称作是完全的，是指X中不存在与所有中不存在与所有en正交的非零元素。

正交的非零元素。

定理定理2.4.8设（设（en）是希尔伯特空间）是希尔伯特空间X中中的标准正交系，的标准正交系，xX，则等式，则等式成立的充要条件是：

（成立的充要条件是：

（en）是完全的。

）是完全的。

上式也称为帕塞法耳等式。

定理定理2.4.9如果（如果（en）是希尔伯特空间）是希尔伯特空间X中的标准正交基，则任意的中的标准正交基，则任意的xX都可以都可以表示为表示为定义（完备的）定义（完备的）设（设（en）是内积空间）是内积空间X中的标准正交系，如果对于每一个中的标准正交系，如果对于每一个xX，帕塞法耳等式帕塞法耳等式恒成立，则称（恒成立，则称（en）是）是完备的完备的。

定理定理设（设（en）是希尔伯特空间）是希尔伯特空间X中的一中的一个规范（标准）正交系，则下列性质等价：

个规范（标准）正交系，则下列性质等价：

（1）（）（en）是完备的；

）是完备的；

（2）（）（en）是完全的；

）是完全的；

（3）对于）对于X中任一元素中任一元素x，级数，级数在在X中收敛于中收敛于x；

（4）对）对X中任意两个元素中任意两个元素x，y有有2.4.4常用标准正交基举例常用标准正交基举例1、勒让德多项式、勒让德多项式通项：

通项：

另外，拉普拉斯方程在求坐标系下分离变量另外，拉普拉斯方程在求坐标系下分离变量得到勒让德方程得到勒让德方程为勒让德多项式的级数表示为勒让德多项式的级数表示注意到注意到,故可方便地得出前几个勒让德多项式故可方便地得出前几个勒让德多项式:

勒让德多项式的图形可通过计算机绘图勒让德多项式的图形可通过计算机绘图（如如MATLAB）得到得到当当时满足时满足3、拉盖尔多项式、拉盖尔多项式氢原子的定态薛定谔方程氢原子的定态薛定谔方程分离变量，得到分离变量，得到